交代符号行列

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}}$

サイズ3の7つの交代符号行列

数学において、交代符号行列（こうかくちょうぎゃく）とは、0、1、-1からなる正方行列で、各行と各列の和が1で、各行と各列の非ゼロ要素の符号が交互に入れ替わる行列である。これらの行列は順列行列を一般化したものであり、ドジソン凝縮を用いて行列式を計算する際に自然に生じる。 ^{[ 1 ]}また、これらは統計力学におけるドメイン壁境界条件付き6頂点モデルとも密接に関連している。これらは、ウィリアム・ミルズ、デイヴィッド・ロビンズ、ハワード・ラムゼイによって前者の文脈で初めて定義された。

例

順列行列は交代符号行列であり、どの要素も−1に等しくない場合に限り、交代符号行列は順列行列となります。

置換行列ではない交代符号行列の例は次の通りである。

パズルの絵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

交代符号行列定理

交代符号行列定理は、交代符号行列 の数は${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.}$

この数列の最初の数項（n = 0, 1, 2, 3, …）は

1、1、2、7、42、429、7436、218348、…（OEISのシーケンスA005130）。

この定理は1992年にドロン・ツァイルバーガーによって初めて証明されました。 ^{[ 2 ]} 1995年にグレッグ・クーパーバーグは、ドメイン壁境界条件を持つ6頂点モデルのヤン・バクスター方程式に基づいて、アナトリ・イゼルギンによる行列式の計算を使用した短い証明を与えました。 ^{[ 4 ]} 2005年にイルゼ・フィッシャーによって、いわゆる演算子法^を使用して3番目の証明が与えられ^ました。^{[ 5 ]}

ラズモフ・ストロガノフ問題

2001年、A. RazumovとY. StroganovはO(1)ループモデル、完全充填ループモデル（FPL）、およびASMの関係を予想した。^{[ 6 ]} この予想は2010年にCantiniとSportielloによって証明された。^{[ 7 ]}

参考文献

1. Hone, Andrew NW (2006)、「ドッジソン凝縮、交互符号、そして正方氷」、ロンドン王立協会哲学論文集、364 (1849): 3183– 3198、Bibcode : 2006RSPTA.364.3183H、doi : 10.1098/rsta.2006.1887、MR  2317901
2. Zeilberger, Doron、「交代符号行列予想の証明」、 Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996)、R13。
3. Kuperberg, Greg、「交代符号行列予想のもう一つの証明」、 International Mathematics Research Notes (1996)、139-150。
4. 「6頂点モデルの行列式」、AG Izergin他1992年J. Phys. A : Math. Gen. 25 4315。
5. Fischer, Ilse (2005). 「改良された交代符号行列定理の新たな証明」. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 114 ( 2): 253– 264. arXiv : math/0507270 . Bibcode : 2005math......7270F . doi : 10.1016/j.jcta.2006.04.004 .
6. Razumov, AV, Stroganov Yu.G.,スピン鎖と組み合わせ論, Journal of Physics A , 34 (2001), 3185-3190.
7. L. CantiniとA. Sportiello、「ラズモフ・ストロガノフ予想の証明」Journal of Combinatorial Theory, Series A、 118 (5)、(2011) 1549–1574、

さらに読む

• Bressoud, David M. , Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture , MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, DC, 1999. ISBN 978-0521666466
• Bressoud, David M.および Propp, James、「交代符号行列の予想はどのように解決されたか」、アメリカ数学会誌、46 (1999)、637–646。
• ミルズ、ウィリアム H.、ロビンズ、デビッド P.、ラムゼイ、ハワード Jr.、「マクドナルド予想の証明」、Inventiones Mathematicae、66 (1982)、73–87。
• ミルズ、ウィリアム H.、ロビンズ、デビッド P.、およびラムゼイ、ハワード Jr.、「交代符号行列と降順平面分割」、組み合わせ理論ジャーナル、シリーズ A、34 (1983)、340–359。
• Propp, James、「交互符号行列の多様な側面」、離散数学および理論計算機科学、離散モデル特集号: 組合せ論、計算、幾何学(2001 年 7 月)。
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., O(1)ループモデルの基底状態ベクトルの組合せ的性質, Theor. Math. Phys. , 138 (2004), 333–337.
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., 異なる境界条件と交代符号行列の対称性クラスを持つO(1)ループモデル], Theor. Math. Phys. , 142 (2005), 237–243, arXiv : cond-mat/0108103
• ロビンズ、デイビッド P.、「物語」、数学インテリジェンサー、13 (2)、12–19 (1991)、doi : 10.1007/BF03024081。${\displaystyle 1,2,7,42,429,7436,\dots }$
• Zeilberger, Doron、「洗練された交代符号行列予想の証明」、New York Journal of Mathematics 2 (1996)、59–68。

外部リンク

• MathWorldにおける交代符号行列のエントリ
• FindStatデータベースの交互符号行列エントリ