アンビエント建築

共形幾何学において、アンビエント構築とは、チャールズ・フェファーマンとロビン・グラハム^[1]による構成を指し、n次元の共形多様体が、あるポアンカレ多様体の境界として（アンビエントに）実現されるか、あるいはある擬リーマン多様体の天球として実現されます。

アンビエント構成は、計量の共形類のみを用いて行われるという意味で標準的である。つまり、共形不変である。しかし、この構成は、ある近似次数まで漸近的にしか成立しない。一般に、この拡張を臨界次数を超えて続けるには障害が存在する。この障害自体はテンソルの性質を持ち、（共形）障害テンソルとして知られている。これは、ワイルテンソルとともに、共形微分幾何学における2つの原始不変量のうちの1つである。

障害テンソルとは別に、アンビエント構成はGJMS演算子として知られる共形不変微分演算子のクラスを定義するために使用できます。^[2]

関連する構造としてトラクター バンドルがあります。

概要

アンビエント構築のためのモデル平坦幾何学は、ミンコフスキー空間における原点を除いた未来のヌル円錐である。無限遠の天球は共形多様体Mであり、円錐内のヌル光線はM上の線束を決定する。さらに、ヌル円錐は円錐の生成子の方向に退化する計量を持つ。

この平坦なモデル空間におけるアンビエント構築は、次のような問いを投げかける。そのような線束とその退化した計量が与えられている場合、標準的な方法で計量をヌルコーンからどの程度まで拡張し、アンビエントミンコフスキー空間を復元することができるだろうか？ 形式的には、退化した計量は拡張問題にディリクレ境界条件を与え、拡張された計量がリッチ平坦であることが自然な条件となる（通常の共形接続の正規化のため）。

アンビエント構築は、まず退化した計量を持つ自然なヌルラインバンドルNを構築し、次にN ×(-1,1)上の関連するディリクレ問題を解くことによって、 Mが共形曲面である場合にこれを一般化します。

詳細

このセクションでは、まずヌルラインバンドルの構築の概要を示し、次にそのアンビエント拡張の概要を示します。

ヌルラインバンドル

Mが共形多様体であり、[ g ] がM上で定義された共形計量を表すとする。π : N → M を、共形計量のすべての代表によって定義された T ^* M ⊗ T ^* Mの同語的部分束とする。固定された背景計量g ₀に関して、N は計量のすべての正の倍数 ω ² g _{0から構成される。R} ^+のNへの自然な作用は、次式で与えられる 。

${\displaystyle \delta _{\omega }g=\omega ^{2}g}$

さらに、Nの全体空間はトートロジー的な退化計量を持ちます。なぜなら、pが π : N → Mのファイバーの点であり、共形表現g _pに対応する場合、

${\displaystyle h_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(\pi _{*}X,\pi _{*}Y).}$

この計量は垂直方向に沿って退化する。さらに、NへのR ⁺作用に関して2次同次となる。

${\displaystyle \delta _{\omega }^{*}h=\omega ^{2}h}$

Xをスケーリング作用を生成する垂直ベクトル場とすると、以下の性質が直ちに明らかになる 。

h ( X ,-) = 0

L _X h = 2 h、ここでL _Xはベクトル場Xに沿ったリー微分です。

周囲の空間

N ^~ = N × (-1,1)とし、自然包含i  : N → N ^~とする。拡大 δ _ωは自然にN ^~に拡張され、したがって拡大の生成元Xも N ~ に拡張される。

N ^~上のアンビエント計量は、ロレンツ計量h ^~であって、

• 計量は同次である: δ _ω ^* h ^~ = ω ² h ^~
• メトリックはアンビエント拡張です: i ^* h ^~ = h、ここでi ^*は自然な包含に沿ったプルバックです。
• メトリックはリッチフラットです: Ric( h ^~ ) = 0。

M上で、共形計量gの固定された代表値と局所座標系x = ( x ⁱ ) が選択されたと仮定する。これらは、Nのファイバー内の点を( x , t ² g ( x ))と同一視することで、 N上の座標を誘導する。ここで、 t > 0 はファイバー座標である。(これらの座標では、X = t ∂ _tである。) 最後に、 ρ がN ^~におけるNの定義関数であり、拡大に関して次数 0 の同次である場合、 ( x , t ,ρ) はN ^~の座標である。さらに、次数 2 の同次である任意の拡大計量は、これらの座標で次の形式で表すことができる。

${\displaystyle h^{\sim}=t^{2}g_{ij}(x,\rho )dx^{i}dx^{j}+2\rho dt^{2}+2tdtd\rho ,\,}$

ここで、g _{ijは、与えられた共形代表値である}g ( x ,0) = g ( x )を満たすn^ ²関数である。

計算してみると、リッチ平坦度は次の微分方程式と等価であることが分かります。ここで、プライムは ρ に関する微分です。

${\displaystyle \rho g_{ij}''-\rho g^{kl}g_{ik}'g_{jl}+{\tfrac {1}{2}}\rho g^{kl}g_{kl}'g_{ij}'+{\frac {2-n}{2}}g_{ij}'-{\tfrac {1}{2}}g^{kl}g_{kl}'g_{ij}+\mathrm {Ric} (g)_{ij}=0.}$

この方程式をρのべき級数として正式に解くことで、ヌル錐からのアンビエント計量の漸近展開が得られる。例えば、ρ = 0 を代入して解くと、

g _ij ^′ ( x ,0) = 2 P _ij

ここで、 Pはスハウテンテンソルです。次に、再度微分し、既知の値g _ij ^′ ( x ,0)を式に代入すると、2階微分はバッハテンソルの倍数であることがわかります。以下同様に続きます。

参照

• AdS/CFT通信
• ホログラフィック原理

参考文献

1. Fefferman, C. および Graham, R. 「共形不変量」、Élie Cartan et les Mathématiques d'Aujourdui、Asterisque (1985)、95-116。
2. Graham, R., Jenne, R., Mason, LJ, Sparling, GAJ「ラプラシアンの共形不変べき乗I：存在」、Jour. Lond. Math. Soc、46 (1992)、557-565。

• チャールズ・フェファーマン、ロビン・グラハム、C. (2007). 「アンビエント・メトリック」arXiv : 0710.0919 [math.DG].