アンペールの回路法則
電流（Iとマーク）が流れる電線の周りの磁場（Bとマーク、赤い磁力線で表示）

古典電磁気学において、アンペールの回路法則（単にアンペールの法則、あるいはエルステッドの法則と呼ばれることもある） [ 1 ]は、閉ループの周りの磁場の循環と、そのループを通過する電流を関連付けています。

この法則は、ハンス・クリスチャン・エルステッドが1820年に電流が磁場を生成するという発見に着想を得たものです。この発見は、アンドレ＝マリー・アンペールらによる理論的・実験的研究を促し、最終的に現代的な形でこの法則が定式化されることにつながりました。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは1855年にこの法則を発表しました。1865年には、変位電流項を導入することで、この法則を一般化し、時間とともに変化する電流を説明できるようにしました。この方程式は、しばしばアンペール・マクスウェルの法則と呼ばれ、[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]、古典電磁気学の基礎を形成するマクスウェル方程式の一つです。

背景

エルステッドの実験を示すコンパスとワイヤーの装置[ 5 ]

19世紀初頭まで、電気と磁気は完全に別の現象であると考えられていました。[ 6 ]この見解は、1820年にデンマークの物理学者ハンス・クリスチャン・エルステッドが電流が磁気効果を生み出すことを発見したことで変わりました。彼は、電流が流れる電線の近くに置かれたコンパスの針が、電線に対して垂直になるように振れることを観察しました。[ 7 ] [ 8 ]一連の実験で、エルステッドは電流が近くの磁極に影響を与え、その効果が電線から外側に広がることを実証しました。また、この磁気の影響によって電線の周囲に渦が形成されることも観察しました。[ 6 ]

エルステッドの発見は、電気と磁気の関係に関する多くの研究のきっかけとなりました。 アンドレ＝マリー・アンペールは、2本の電流を流す導線間の磁力を調べ、アンペールの力の法則を発見しました。1850年代、スコットランドの数理物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、これらの結果と他の結果を一つの数理法則へと一般化しました。マクスウェルの回路法則の原型は、1854年にウィリアム・トムソン（後にケルビン卿に叙せられる）との書簡の中で議論され、1855年の論文「ファラデーの力線について」[ 9 ]で発表されましたが、これは流体力学との類似性に基づいていました。[ 10 ]

元の回路法則は、磁場とそれを生み出す電流を関連付けており、与えられた電流に関連する磁場、または与えられた磁場に関連する電流を決定するために使用できます。ただし、この法則は、閉回路に定常かつ連続的に流れる電流を含む静磁気状況にのみ適用されます。電場が時間とともに変化するシステムでは、（このセクションで示されている）元の法則にマクスウェル補正と呼ばれる項を追加して修正する必要があります（下記参照）。

同等の形式

元の回路法則はいくつかの異なる形式で記述できますが、それらはすべて最終的に同等です。

  • 「積分形式」と「微分形式」。これらの形式は完全に同値であり、ケルビン・ストークスの定理によって関連付けられています（以下の「証明」セクションを参照）。
  • SI単位系を使用する形式と、CGS単位系を使用する形式があります。他の単位系も使用できますが、稀です。このセクションではSI単位系を使用し、CGS単位系については後ほど説明します。
  • B磁場またはH磁場のいずれかを用いる形式。これら2つの形式は、それぞれ全電流密度と自由電流密度を用いる。B磁場とH磁場は、非磁性材料における構成方程式B = μ 0 H （ μ 0は磁気定数）で関係付けられる。

説明

元の回路法則の積分形式は、ある閉曲線C （任意だが閉じていなければならない）の周りの磁場の線積分である。曲線Cは、電流が通過する面S （これも任意だが閉じていない。Sに囲まれた3次元の体積は存在しないため）を囲み、電流を囲む。この法則を数学的に表現すると、ある経路の周りの磁場の循環（線積分）と、その閉じた経路を通過する電流（面積分）との関係となる。 [ 11 ] [ 12 ]

全電流（自由電流と束縛電流の合計）の観点から見ると、閉曲線Cの周りの磁場B（単位：テスラ、T）の線積分は、面S （ Cで囲まれた面）を通過する全電流I encに比例します。自由電流の観点から見ると、閉曲線Cの周りの磁場H（単位：アンペア/メートル、 A·m −1）の線積分は、面Sを通過する自由電流I f,encに等しくなります。

SI単位で書かれた元の回路法則の形式
積分形式 微分形式
B磁場と全電流 の使用∮CB⋅dl＝μ0∬SJ⋅dS＝μ0私enc{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }}∇×B＝μ0J{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
Hフィールドと自由電流 の利用∮CH⋅dl＝∬SJf⋅dS＝私f、enc{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =I_{\mathrm {f,enc} }}∇×H＝Jf{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }}
  • Jは総電流密度（アンペア/平方メートル、A·m −2）である。
  • J fは自由電流密度のみであり、
  • ∮ Cは閉曲線Cの周りの閉線積分であり、
  • ∬ S は曲線Cで囲まれた曲面S上の面積分を表す。
  • ·はベクトルの内積であり、
  • d lは曲線Cの微小要素（微分）です（つまり、微小線分の長さに等しい大きさのベクトルで、方向は曲線Cの接線で与えられます）。
  • d Sは、面Sの微小要素のベクトル面積です（つまり、大きさが微小面要素の面積に等しく、方向が面Sに垂直なベクトルです。法線の方向は、右手の法則により、曲線Cの方向と一致している必要があります）。曲線Cと面Sの詳細な説明については、以下を参照してください。
  • ∇ ×は回転演算子です。

曖昧さと記号の慣習

右手の法則を使って磁場の方向を見つける

上記の定義には多くの曖昧な点があり、明確にし、慣例を選択する必要があります。

  1. まず、これらの用語のうち 3 つは、符号の曖昧性と関連しています。線積分∮ Cは、ループをどちらの方向 (時計回りまたは反時計回り) にも回ることができます。ベクトル領域d S は、表面に垂直な2 つの方向のいずれかを指すことができます。また、 I encは表面Sを通過する正味の電流で、一方向に通過する電流から他方向に通過する電流を引いたものですが、どちらの方向も正として選択できます。これらの曖昧さは、右手の法則によって解決されます。右手の手のひらを積分領域に向け、人差し指を線積分の方向に沿って指し、伸ばした親指は、ベクトル領域d Sに選択する必要がある方向を指します。また、 d Sと同じ方向に流れる電流は、正としてカウントする必要があります。右手の握りの法則は、符号を決定するためにも使用できます。
  2. 第二に、曲線Cを境界とする面Sは無数に存在します（ワイヤループ上の石鹸膜を想像してください。膜に息を吹きかけると膜が変形することがあります）。これらの面のうちどれを選択すればよいでしょうか？例えば、ループが単一の平面上にない場合、明白な選択肢は一つもありません。答えは、どちらでも構わないということです。静磁気の場合、電流密度はソレノイド状であるため（次のセクションを参照）、発散定理と連続の式から、境界Cを持つ任意の面を通る磁束は、同じ符号規則であれば同じになります。実際には、通常は（境界が与えられた）最も都合の良い面を選択して積分します。

自由電流と束縛電流

教科書的に最も単純な状況で発生する電流は「自由電流」に分類されます。例えば、電線や電池を流れる電流などです。一方、「束縛電流」は、磁化や分極が可能なバルク材料において発生します。（あらゆる物質はある程度磁化や分極が可能です。）

物質が磁化されると（例えば、外部磁場の中に置くなど）、電子はそれぞれの原子に束縛されたまま、原子核の周りを特定の方向に周回しているかのように振る舞い、ミクロな電流を生成します。これらの原子からの電流をすべて集めると、マクロな電流と同じ効果が生じ、磁化された物体の周りを永久に循環します。この磁化電流J Mは、「束縛電流」の一因となります。

束縛電流のもう一つの発生源は束縛電荷です。電界が印加されると、分極物質では正と負の束縛電荷が原子間距離を超えて分離し、束縛電荷が移動すると分極が変化し、「束縛電流」にもう一つ寄与する分極電流J Pが生成されます。

自由電荷と束縛電荷による 全電流密度Jは次のようになります。

J＝Jf+JM+JP、{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,}

J fは「自由」または「伝導」電流密度です。

微視的に見れば、すべての電流は基本的に同じです。しかしながら、束縛電流を自由電流とは異なる方法で扱う必要がある実用的な理由がしばしばあります。例えば、束縛電流は通常、原子次元を超える次元で発生するため、より大きな次元を対象としたより単純な理論を利用したい場合があります。その結果、Bと微視的電流（自由電流、磁化電流、分極電流を含む）で表される、より微視的なアンペールの回路法則は、 Hと自由電流のみで表される、以下の等価な形で表されることがあります。自由電流と束縛電流の詳細な定義、およびこれら2つの定式が同等であることの証明については、以下の「証明」セクションを参照してください。

回路法則の当初の定式化の欠点

回路法則に関して、より詳細な検討が必要な重要な問題が2つあります。まず、電荷の連続方程式に関する問題です。ベクトル解析において、回転の発散に関する恒等式は、ベクトル場の回転の発散は常にゼロでなければならないことを示しています。したがって 、元のアンペールの回路法則は 、すなわち電流密度がソレノイド的で あることを示唆しています 。 ∇⋅（∇×B）＝0、{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0\,,}∇⋅J＝0、{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0\,,}

しかし、一般的には、現実は電荷の連続の式に従います。 これは、時間とともに変化する電荷密度に対しては非ゼロです。一例として、プレート上に時間とともに変化する電荷密度が存在するコンデンサ回路が挙げられます。[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]∇⋅J＝−∂ρ∂t、{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,,}

第二に、電磁波の伝播に関する問題があります。例えば、自由空間では、 磁場の法則は 回転 磁場が非回転であることを示していますが、電荷の連続の式との整合性を保つためには、 J＝0、{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {0} \,,}∇×B＝0、{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} \,,}∇×B＝1c2∂E∂t。{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}

これらの状況を「解決」するには（上記の式を使用）、変位電流の寄与を回路法則の電流項に追加する必要があります。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、誘電体渦海における分極電流として変位電流を考案し、これを用いて磁場を流体力学的および機械的にモデル化した。[ 18 ]彼は1861年の論文「物理的な力線について」の中で、この変位電流をアンペールの回路法則の式112に追加した。 [ 19 ]

変位電流

自由空間では、変位電流は電界の時間変化率と関係があります。

誘電体においても、変位電流への上記のような寄与は存在しますが、変位電流への主要な寄与は、誘電体材料中の個々の分子の分極に関係しています。誘電体内では電荷が自由に流れることはできませんが、分子内の電荷は電界の影響下でわずかに動きます。印加電界下では分子内の正電荷と負電荷が分離し、分極状態が増加します。この状態は分極密度Pとして表されます。分極状態の変化は電流と等価です。

変位電流への両方の寄与は、変位電流を次のように定義することで組み合わされます。[ 13 ] ここで、変位電場は次のように定義されます。 ここで、ε 0は電気定数、ε r は相対静電誘電率、Pは分極密度です。この式を変位電流の式のDに代入すると、2つの成分が得られます。 JD＝∂∂tD（r、t）、{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\,t)\,,}D＝ε0E+P＝ε0εrE、{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\mathbf {E} \,,}JD＝ε0∂E∂t+∂P∂t。{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.}

右辺の第一項は、真空中であってもどこにでも存在します。これは実際の電荷の移動を伴いませんが、それにもかかわらず、あたかも実際の電流であるかのように、磁場を伴います。一部の研究者は、この寄与のみに変位電流という名称を用いています。 [ 20 ]

右側の 2 番目の項は、マクスウェルが最初に考案した変位電流であり、誘電体材料の個々の分子の分極に関連付けられています。

マクスウェルによる変位電流の当初の説明は、誘電体媒体で生じる状況に焦点を当てていました。現代のポストエーテル時代において、この概念は物質媒体が存在しない状況、例えば充電真空コンデンサの極板間の真空に適用されるように拡張されました。変位電流は、電磁気理論のいくつかの要件を満たすため、今日では正当化されています。すなわち、自由電流が流れない領域における磁場の正確な予測、電磁場の波動伝播の予測、そして電荷密度が時間とともに変化する場合に電荷が保存されるという要件です。より詳細な議論については、変位電流を参照してください。

元の法則の拡張：アンペール・マクスウェル方程式

次に、分極電流を含めることで回路方程式を拡張し、元の回路法則の適用範囲の制限を改善します。

自由電荷を束縛電荷とは別に扱うと、 H場に関するマクスウェル補正を含む式は（H場は磁化電流を含むためJ Mは明示的に現れないので、H場と注も参照のこと）[ 21 ] （積分形）となる。ここで、Hは磁場H （「補助磁場」、「磁場強度」、または単に「磁場」とも呼ばれる）、Dは電気変位場、J fは囲まれた伝導電流または自由電流密度である。微分形では、 ∮CH⋅dl＝∬S（Jf+∂D∂t）⋅dS{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }∇×H＝Jf+∂D∂t。{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,.}

一方、すべての電荷を同じ立場で扱うと（束縛電荷か自由電荷かに関係なく）、一般化アンペール方程式（マクスウェル・アンペール方程式とも呼ばれる）は積分形式になります（以下の「証明」セクションを参照）。

∮CB⋅dl＝∬S（μ0J+μ0ε0∂E∂t）⋅dS{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

微分形式では、

∇×B＝μ0J+μ0ε0∂E∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}

どちらの形式においても、Jには磁化電流密度[ 22 ]と伝導電流密度、分極電流密度が 含まれる。つまり、アンペール・マクスウェル方程式の右辺の電流密度は以下の通りである。 ここで、電流密度J Dは変位電流、Jは自由電荷と束縛電荷の移動による電流密度への寄与である。∇ ⋅ D = ρであるため、アンペールの元の定式化における電荷連続性の問題はもはや問題にならない。[ 23 ] ε 0 ⁠Jf+JD+JM＝Jf+JP+JM+ε0∂E∂t＝J+ε0∂E∂t、{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {D} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,}∂E​/∂ t⁠、自由空間での波の伝播が可能になりました。

変位電流を加えることで、マクスウェルは光が電磁波の一種であると（正しく）仮説を立てることができました。この重要な発見に関する議論については、 電磁波方程式を参照してください。

同等性の証明

自由電流に関する回路法則の定式化が全電流に関する定式化と等価であることの証明

この証明では、方程式が 方程式と同等である ことを示します。ここでは積分形式ではなく微分形式のみを扱っていることに注意してください。ただし、ケルビン・ストークスの定理 により、微分形式と積分形式はそれぞれの場合で同等であるため、これで十分です。 ∇×H＝Jf+∂D∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}1μ0（∇×B）＝J+ε0∂E∂t。{\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}(\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}

分極密度Pを導入します。これはEおよびDと次の関係があります。 D＝ε0E+P。{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,.}

次に、磁化密度Mを導入します。これはBおよびHと以下の関係を持ちます。 また、束縛電流と以下の関係を持ちます。 ここで 、は磁化電流密度、 は分極電流密度 と呼ばれます。B について、以下の式を仮定します。 1μ0B＝H+M{\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M} }Jbound=∇×M+∂P∂t=JM+JP,{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} },\end{aligned}}}JM=∇×M,{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} ,}JP=∂P∂t,{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}},}1μ0∇×B=∇×(H+M)=∇×H+JM=Jf+JP+ε0∂E∂t+JM.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times \mathbf {B} &=\nabla \times \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\\&=\nabla \times \mathbf {H} +\mathbf {J} _{\mathrm {M} }\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }.\end{aligned}}}

したがって、束縛電流の定義を参照すると、 次のように示されることになります。 1μ0(∇×B)=Jf+Jbound+ε0∂E∂t=J+ε0∂E∂t,{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\nabla \times \mathbf {B} )&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},\end{aligned}}}

アンペールの回路法則（CGS単位）

cgs単位では、マクスウェル補正を含む方程式の積分形は次のようになります。 ここで、 cは光速です。 ∮CB⋅dl=1c∬S(4πJ+∂E∂t)⋅dS,{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}

この方程式の微分形（これもマクスウェル補正を含む）は ∇×B=1c(4πJ+∂E∂t).{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).}

参照

注記

  1. ^ Ltd, Palgrave Macmillan (2016-04-30). 「アンペールの法則」.物理学辞典. Springer. ISBN 978-1-349-66022-3。
  2. ^フライシュ、ダニエル (2008). 『マクスウェル方程式の学生向けガイド』 ケンブリッジ大学出版局. p. 83. ISBN 9781139468473。
  3. ^ガーグ、アヌパム（2012年）『古典電磁気学入門』プリンストン大学出版局、125頁。ISBN 9780691130187。
  4. ^ Katz, Debora M. (2016). 『科学者とエンジニアのための物理学：基礎と接続、拡張版』 Cengage Learning. p. 1093. ISBN 9781337364300。
  5. ^ O. Zajkovによるプレゼンテーション（2015年）、マケドニア、スコピエの聖キリル・メトディウス大学物理学研究所。
  6. ^ a bダリゴール、オリヴィエ (2003). 『アンペールからアインシュタインまでの電気力学』オックスフォード: オックスフォード大学出版局. pp.  4– 6. ISBN 978-0-19-850593-8。
  7. ^エルステッド、HC (1820). 「電流が磁針に及ぼす影響に関する実験」Annals of Philosophy 16 .ロンドン: Baldwin, Craddock, Joy: 273.
  8. ^ HAM Snelders, 「エルステッドによる電磁気学の発見」、アンドリュー・カニンガム、ニコラス・ジャーディン共著 (1990年) 『ロマン主義と科学』CUPアーカイブ、p. 228、ISBN 0521356857。
  9. ^クラーク・マクスウェル、ジェームズ (1890). 「ファラデーの力線について」ニューヨーク、ドーバー出版。
  10. ^ダリゴル、オリヴィエ (2003). 『アンペールからアインシュタインまでの電気力学』オックスフォード: オックスフォード大学出版局. pp.  139– 142, 172– 173. ISBN 978-0-19-850593-8。
  11. ^ Knoepfel, Heinz E. (2000). Magnetic Fields: A comprehensive theory treatise for practical use . Wiley. p. 4. ISBN 0-471-32205-9。
  12. ^オーウェン、ジョージ・E. (2003).電磁気理論（1963年版の再版）. クーリエ・ドーバー出版. p. 213. ISBN 0-486-42830-3。
  13. ^ a bジャクソン、ジョン・デイビッド (1999).古典電気力学（第3版）. Wiley. p.  238. ISBN 0-471-30932-X。
  14. ^グリフィス, デイビッド・J. (1999).電気力学入門（第3版）. ピアソン/アディソン・ウェスレー. pp.  322– 323. ISBN 0-13-805326-X。
  15. ^オーウェン、ジョージ・E. (2003).電磁気理論. ミネオラ、ニューヨーク州: ドーバー出版. p. 285. ISBN 0-486-42830-3。
  16. ^ビリンガム、J.; キング、AC (2006). 『ウェーブモーション』 ケンブリッジ大学出版局. p. 179. ISBN 0-521-63450-4。
  17. ^スレーター, JC; フランク, NH (1969).電磁気学（1947年版の再版）. クーリエ・ドーバー出版. p. 83. ISBN 0-486-62263-0。
  18. ^シーゲル、ダニエル・M. (2003).マクスウェルの電磁気理論における革新：分子渦、変位電流、そして光. ケンブリッジ大学出版局. pp.  96– 98. ISBN 0-521-53329-5。
  19. ^クラーク・マクスウェル、ジェームズ (1861). 「物理的な力の線について」(PDF) .哲学雑誌・科学ジャーナル.
  20. ^例えば、グリフィス、デイビッド・J.（1999年）『電気力学入門』アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：プレンティスホール、 323ページ 、 ISBNを参照。 0-13-805326-X。およびTai L. Chow (2006).電磁気理論入門. Jones & Bartlett. p. 204. ISBN 0-7637-3827-1。
  21. ^ロガルスキ、ミルチャ・S.; パーマー、スチュアート・B. (2006).アドバンスト・ユニバーシティ・フィジックス. CRCプレス. p. 267. ISBN 1-58488-511-4。
  22. ^ロガルスキ、ミルチャ・S.; パーマー、スチュアート・B. (2006).アドバンスト・ユニバーシティ・フィジックス. CRCプレス. p. 251. ISBN 1-58488-511-4。
  23. ^磁化電流は磁化の回転として表すことができるため、その発散はゼロであり、連続の式には寄与しません。磁化電流を参照してください。

さらに読む

  • グリフィス、デイビッド・J. (1998). 『電気力学入門（第3版）』 プレンティス・ホール. ISBN 0-13-805326-X。
  • ティプラー、ポール (2004). 『科学者とエンジニアのための物理学：電気、磁気、光、そして初等現代物理学（第5版）』 WHフリーマン. ISBN 0-7167-0810-8。
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