解析的半群

数学において、解析半群は強連続半群の一種である。解析半群は偏微分方程式の解法に用いられる。強連続半群と比較して、解析半群は初期値問題に対する解の正則性、微小生成子の摂動に関する結果の精度、そして半群の種類と微小生成子のスペクトルの関係性において優れている。

意味

Γ( t ) = exp( At ) をバナッハ空間( X , ||·||) 上の、無限小生成元Aを持つ強連続な1パラメータ半群とする。Γ が解析半群であるとは、

• 0 < θ  < π/2に対して 、連続線型演算子exp( At ) :  X  →  Xはt  ∈ Δ _θまで拡張できる。

${\displaystyle \Delta _{\theta }=\{0\}\cup \{t\in \mathbb {C} :|\mathrm {arg} (t)|<\theta \},}$

そして、 s、  t  ∈ Δ _θに対して通常の半群条件が成り立ちます： exp( A 0) = id、 exp( A ( t  +  s )) = exp( At ) exp( As )、そして、各x  ∈  Xに対して、 exp( At ) xはtで連続です。

• そして、すべてのt∈Δθ\{0}に対して、  exp( At ₎ は均一演算子位相の意味でtに関して解析的である。

キャラクター設定

解析半群の無限小生成元には次のような特徴があります。

バナッハ空間X上の閉じた稠密定義 線型作用素 Aが解析的半群の生成元となるための必要十分 条件 は、半平面Re( λ ) >  ωがAのレゾルベント集合に含まれ、さらに、作用素Aのレゾルベントに対して次 式が成り立つような定数Cが存在することである。 ${\displaystyle R_{\lambda }(A)}$

${\displaystyle \|R_{\lambda }(A)\|\leq {\frac {C}{|\lambda -\omega |}}}$

Re( λ ) >  ωに対してである。このような作用素はセクター型と呼ばれる。この場合、レゾルベント集合は実際には次の形のセクターを含む。

${\displaystyle \left\{\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|<{\frac {\pi }{2}}+\delta \right\}}$

δ > 0の場合には 、このセクターでも同様のレゾルベント推定が成り立つ。さらに、半群は

${\displaystyle \exp(At)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }e^{\lambda t}(\lambda \mathrm {id} -A)^{-1}\,\mathrm {d} \lambda ,}$

ここでγはe ^{− iθ} ∞からe ^{+ iθ} ∞までの任意の曲線であり、 γは完全にセクター内にある。

${\displaystyle {\big \{}\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|\leq \theta {\big \}},}$

ただし、π/2 <  θ  < π/2 +  δです。

参考文献

• レナルディ, マイケル; ロジャース, ロバート C. (2004).偏微分方程式入門. 応用数学テキスト 13 (第2版). ニューヨーク: シュプリンガー出版社. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR  2028503。