解析的正則化

物理学および応用数学において、解析的正則化とは、特異作用素を含む第一種フレドホルム積分方程式として表される境界値問題を、等価な第二種フレドホルム積分方程式に変換する手法である。後者は解析的に解くのが容易であり、点収束性を持つため、有限要素法や有限差分法といった離散化手法を用いて研究することができる。計算電磁気学では、解析的正則化法として知られている。数学において初めて用いられたのは、作用素理論の発展期であり、その後正式に名前が付けられた。^[1]

方法

解析的正則化は以下のように進行する。まず、境界値問題を積分方程式として定式化する。作用素方程式として書くと、以下のようになる。

GX=Y

は境界条件と不均一性を表し、は関心のある場を表し、積分演算子は問題の物理的性質に基づいてXからYがどのように与えられるかを表す。次に、はに分解される。ここでは可逆であり、のすべての特異点を含み、は正則である。演算子を分解し、の逆数を乗じると、方程式は次のようになる。 $Y$ $X$ $G$ $G$ $G_{1}+G_{2}$ $G_{1}$ $G$ $G_{2}$ $G_{1}$

X+G_{1}^{-1}G_{2}X=G_{1}^{-1}Y

または

X+AX=B

これは、構成によりが要素であるヒルベルト空間上でコンパクトとなるため、2 番目のタイプのフレドホルム方程式になります。 $A$ $B$

一般的に、それぞれの問題に対して複数の選択肢が考えられます。^[1] $\mathbf {G} _{1}$

参考文献

^ ab Nosich, AI (1999). 「波動散乱および固有値問題における解析的正則化法：基礎と解法のレビュー」. IEEE Antennas and Propagation Magazine . 41 (3). 米国電気電子学会 (IEEE): 34– 49. Bibcode :1999IAPM...41...34N. doi :10.1109/74.775246. ISSN 1045-9243.

Santos, FC; Tort, AC; Elizalde, E (2006年5月10日). 「平行面間の閉じ込め量子場の解析的正則化」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (21). IOP Publishing: 6725– 6732. arXiv : quant-ph/0511230 . Bibcode :2006JPhA...39.6725S. doi :10.1088/0305-4470/39/21/s73. ISSN 0305-4470. S2CID 18855340.
Panin, Sergey B.; Smith, Paul D.; Vinogradova, Elena D.; Tuchkin, Yury A.; Vinogradov, Sergey S. (2009年1月5日). 「ラプラス方程式のディリクレ問題の正則化：回転面」.電磁気学. 29 (1). Informa UK Limited: 53– 76. doi :10.1080/02726340802529775. ISSN 0272-6343. S2CID 121978722.
クライナート、Ｈ． Schulte-Frohlinde、V. (2001)、φ4 理論の重要な特性、 1-474ページ、ISBN 978-981-02-4659-4、2008年2月26日にオリジナルからアーカイブされ、2011年2月24日に取得、ペーパーパックISBN 978-981-02-4659-4（オンラインでも入手可能）。解析的正則化については第8章をご覧ください。

外部リンク

無限に薄く有限幅のストリップシステムからのE偏波散乱
Tuchkin, Yu. A. (2002). 「ボウル型回転スクリーンによる波の回折に対する解析的正規化法」.超広帯域短パルス電磁気学 5.ボストン: Kluwer Academic Publishers. pp. 153– 157. doi :10.1007/0-306-47948-6_18. ISBN 0-306-47338-0。

[nosich-1] Nosich, AI (1999). 「波動散乱および固有値問題における解析的正則化法：基礎と解法のレビュー」. IEEE Antennas and Propagation Magazine . 41 (3). 米国電気電子学会 (IEEE): 34– 49. Bibcode :1999IAPM...41...34N. doi :10.1109/74.775246. ISSN 1045-9243.