アナトリー・カラツバ

アナトリー・アレクセーエヴィッチ・カラツバ
生まれる	（1937年1月31日）1937年1月31日 グロズヌイ、ソビエト連邦
死亡	2008年9月28日（2008年9月28日）（71歳） モスクワ、ロシア
母校	モスクワ国立大学
科学者としてのキャリア
フィールド	数学者
博士課程の指導教員	NMコロボフ

アナトリー・アレクセーヴィチ・カラツバ（ロシア語：Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба、ソビエト連邦、グロズヌイ、1937年1月31日 -ロシア、モスクワ、2008年9月28日^{[ 1 ]}）は、解析数論、p進数、ディリクレ級数の分野で研究を行ったロシアの数学者である。

彼は学生時代と社会人時代のほとんどをモスクワ国立大学の機械工学・数学部に所属し、1966年に「三角関数の和と中間値定理の方法」と題する博士号を取得した。 ^{[ 2 ]}その後、科学アカデミーのステクロフ数学研究所に勤務した。^{[ 2 ]}

彼の教科書『解析的数論の基礎』は1975年と1983年の2版が出版された。^{[ 2 ]}

カラツバアルゴリズムは、乗算のための最も古い分割統治アルゴリズムとして知られており、その直接的な一般化であるトゥーム・クックアルゴリズムの特別なケースとして生き続けています。^{[ 3 ]}

アナトリー・カラツバの主な研究成果は160以上の研究論文とモノグラフとして出版されている。^{[ 4 ]}

彼の娘で数学者のエカテリーナ・カラツバもFEE 法を構築しました。

情報科学の研究

モスクワ国立ロモノーソフ大学の学生だったカラツバは、アンドレイ・コルモゴロフのセミナーに出席し、コルモゴロフが提起した2つの問題の解を発見しました。これはオートマトン理論の発展に不可欠であり、数学における高速アルゴリズム理論という新たな分野を切り開きました。

オートマタ

エドワード・F・ムーアの論文^{[ 5 ]} では、オートマトン（またはマシン）は、状態、入力記号、出力記号を持つ装置として定義されています。その構造と実験に関する9つの定理が証明されています。後に、このようなマシンはムーアマシンと呼ばれるようになりました。論文の末尾の「新たな問題」の章で、ムーアは定理8と9で得た推定値を改善する問題を定式化しています。 ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

定理8（ムーア）

任意のマシンが与えられ、2 つの状態をそれぞれ区別できる場合、この実験の終了時にの状態を識別する長さ の実験が存在します。${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle S}$

1957年、カラツバは定理8において、実験の長さの推定値を改善するというムーアの問題を完全に解決する2つの定理を証明した。

定理A（カラツバ）

が、その 2 つの状態がそれぞれ区別できるような機械である場合、長さが最大 ​​の分岐実験が存在し、これを使用して、実験の終了時の状態を見つけることができます。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$ ${\displaystyle S}$

定理B（カラツバ）

それぞれの状態が互いに区別できるマシンが存在し、実験終了時のマシンの状態を見つける最短の実験の長さは に等しくなります。${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$

これら2つの定理は、カラツバが4年生の時に、4年生のプロジェクトの基礎として証明しました。対応する論文は、1958年12月17日に「Uspekhi Mat. Nauk」誌に投稿され、1960年6月に出版されました。^{[ 6 ]}後に「ムーア-カラツバ定理」という名前が付けられたこのカラツバの結果は、今日（2011年）まで、オートマトン理論と計算の複雑さの理論の同様の問題の両方で唯一の正確な（推定の唯一の正確な非線形順序）非線形結果であり続けています。

数論の研究

AAカラツバの主な研究成果は160以上の研究論文とモノグラフとして出版された。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

p進法

AAKaratsubaは三角和の理論において新しい-進法を構築した。 ^{[ 11 ]} いわゆる-和 の推定値は、${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\cdots +a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,}$

^{[ 12 ]}は、素数のべき乗を法とするディリクレ級数の零点の新しい境界、および次の形式のウォーリング合同の数の漸近式 を導いた。${\displaystyle L}$

${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},}$

を法とする整数係数の多項式の小数部の分配問題の解決に。AA Karatsubaは、オイラー-ヴィノグラドフの「埋め込み原理」を -進形式で実現し、ワーリング型の合同式の解の数を推定する際に ヴィノグラドフ数の -進類似を計算した最初の人物である^{[ 13 ] 。}${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u}$

と仮定し、さらにが素数である場合を考える。Karatsubaは、その場合、任意の自然数に対して が存在し、任意の自然数はに対して(1)の形で表すことができ、 に対して が存在し、合同式(1)に解が存在しないことを証明した。 ${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)}$ ${\displaystyle P^{r}\leq Q<P^{r+1},\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12}}{\sqrt {n}},\quad Q=p^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 144}$ ${\displaystyle p_{0}=p_{0}(n)}$ ${\displaystyle p_{0}>p_{0}(n)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t\geq 20r+1}$ ${\displaystyle t<r}$ ${\displaystyle N}$

カラツバによって発見されたこの新しいアプローチは、三角関数の和のヴィノグラドフ法で中心的な役割を果たす ヴィノグラドフ平均値定理の新しい- 進証明につながりました。${\displaystyle p}$

AAカラツバの-進法のもう一つの要素は、未知数の局所的な-進変換を犠牲にして、不完全な方程式系から完全な方程式系への移行を行うことである。^{[ 14 ]}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

任意の自然数とする。不等式 によって整数 を求める。連立方程式を考える。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{t}\leq r\leq m_{t+1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}}\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}\end{cases}}}$

${\displaystyle 1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}m_{2}m_{s}m_{s+1}=n.}$

カラツバは、この連立方程式の解の数が推定値を満たすこと を証明した。${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle k\geq 6rn\log n}$

${\displaystyle I_{k}\ll P^{2k-\delta },\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.}$

変数が小さな素因数を持つ数を通る不完全方程式系に対して、カラツバは変数の乗法変換を適用した。これにより、三角関数の和の本質的に新しい推定値と、そのような方程式系に対する新しい平均値定理が導かれた。

テリー問題における特異積分の収束指数に関する華洛庸問題

${\displaystyle p}$ AAKaratsubaの-進法には、関数の小さな値を持つ点の集合の測度をそのパラメータ（係数など）の値で推定する手法と、逆に、実数および-進計量におけるこの集合の測度でそれらのパラメータを推定する手法が含まれます。Karatsuba法のこの側面は、三角積分の推定において特に明確に現れ、Hua Luogengの問題の解決につながりました。1979年、Karatsubaは学生のG.I. ArkhipovとV.N. Chubarikovとともに、積分の収束指数を求めるHua Luogeng問題の 完全な解^{[ 15 ]を得ました。}${\displaystyle p}$

${\displaystyle \vartheta _{0}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\cdots +\alpha _{1}x)}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1},}$

ここで、は固定数です。 ${\displaystyle n\geq 2}$

この場合、収束指数とは、が で収束し、 が で発散するような値 を意味します。ただし、は任意に小さい値です。積分はで収束し、 で発散する ことが示されました。 ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle 2k>\gamma +\varepsilon }$ ${\displaystyle 2k<\gamma -\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle 2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$ ${\displaystyle 2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$

同時に、積分に関する同様の問題が解かれました。 ここで、は整数であり、条件を満たします。${\displaystyle \vartheta _{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots +\alpha _{r}x^{r})}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}d\alpha _{m}\ldots d\alpha _{r},}$ ${\displaystyle n,m,\ldots,r}$ ${\displaystyle 1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

カラツバとその学生たちは、 の場合には積分が収束し、の場合には発散することを証明した。 ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ ${\displaystyle 2k>n+m+\ldots +r}$ ${\displaystyle 2k\leq n+m+\ldots +r}$

積分とは、いわゆるプルーエ・タリー・エスコット問題の研究で生じる。カラツバと彼の学生は、タリー問題の多次元版に関連する一連の新しい結果を得た。特に、 がの形式を 持つ変数 ( ) の多項式で、 零自由項 が の係数からなる-次元ベクトルである場合、積分 : はについて収束することを証明した。ここでは数 のうち最大のものである。この結果は最終的なものではないが、収束指数の境界の改善に関連する三角積分理論の新しい分野を生み出した(IA イクロモフ、MA チャキエフ他)。 ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{r})\,=\,\sum \limits _{\nu _{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{\nu _{r}=0}^{n_{r}}\alpha (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})x_{1}^{\nu _{1}}\ldots x_{r}^{\nu _{r}},}$ ${\displaystyle m=(n_{1}+1)\ldots (n_{r}+1)-1}$ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \vartheta _{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}\cdots \int \limits _{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots ,x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}{\biggr |}^{2k}d{\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle 2k>mn}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ ${\displaystyle \vartheta _{2}}$

複数の三角関数の和

1966年から1980年にかけて、カラツバは^{[ 16 ] [ 17 ]} （学生のGIアルヒポフとVNチュバリコフの参加を得て）多重ヘルマン・ワイル三角和の理論、すなわち次の形式の和を 開発した。

${\displaystyle S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}$ 、 どこ、${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}}$

${\displaystyle A}$ は実係数の系である。この理論の中心となるのは、ヴィノグラードフの三角関数の和の理論と同様に、次の平均値定理である。 ${\displaystyle \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})}$

を自然数、、とする。さらに、をユークリッド空間 : および ::における形式 :: 、、 の-次元立方体とする。 : と の任意の に対して、の値は次のように推定できる。 ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}}$ ${\displaystyle P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})}$ ${\displaystyle m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1}$ ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}}$ ${\displaystyle J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA}$ ${\displaystyle \tau \geq 0}$ ${\displaystyle K\geq K_{\tau }=m\tau }$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}}$ 、：

ここで、、、、、および自然数は、:: 、となります。 ${\displaystyle \varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}}$ ${\displaystyle \gamma \varkappa =1}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })}$ ${\displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }}$ ${\displaystyle \nu _{1},\dots ,\nu _{r}}$ ${\displaystyle -1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0}$ ${\displaystyle s=1,\dots ,r}$

平均値定理と多次元平行六面体の交差多重度に関する補題は、カラツバによって得られた多重三角和の推定値の基礎となる（二次元の場合はGIアルキポフ^{[ 18 ]}によって導出された）。を条件 を満たす数の最小公倍数で表すと、推定値は成立する。 ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle q(t_{1},\dots ,t_{r})}$ ${\displaystyle t_{1}+\dots t_{r}\geq 1}$ ${\displaystyle Q_{0}\geq P^{1/6}}$

${\displaystyle |S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }}$ 、

ここで、 は整数 の約数の数、は数 の異なる素約数の数です。 ${\displaystyle \tau (Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \nu (Q)}$ ${\displaystyle Q}$

ウォーリング問題におけるハーディ関数の推定

ハーディ・リトルウッド・ラマヌジャン・ヴィノグラドフ法の -進形式を三角関数の和の推定に適用し、和を小さな素因数を持つ数に適用することで、カラツバは^{[ 19 ]}ウォーリング問題におけるよく知られたハーディ関数の新しい推定値を得た( の場合)。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(n)}$ ${\displaystyle n\geq 400}$

${\displaystyle \!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

ウォーリング問題の多次元類似

ウォーリング問題のその後の研究では、カラツバは次のような2次元の問題の一般化 ^{[ 20 ]を得た。}

方程式のシステムを考えてみましょう

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$ 、、 ​${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$

ここで、は同じ位数または増加率を持つ正の整数が与えられ、および は未知数であり、これらも正の整数です。この系には、 の場合には解が存在し、の場合には、 が存在し、系には解が存在しません。 ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$ ${\displaystyle x_{\varkappa },y_{\varkappa }}$ ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$ ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$ ${\displaystyle N_{i}}$

ゼロの局所表現に関するアルティン問題

エミール・アルティンは、任意の次数dの形式によるゼロの - 進表現に関する問題を提起した。アルティンは当初、現在ではp 進体がC ₂体であると説明される結果を予想した。言い換えれば、ゼロの非自明な表現は、変数の数が少なくともd ^{2であれば発生する。これは}、ガイ・テルジャニアンの例によって、当てはまらないことが示された。カラツバは、形式によるゼロの非自明な表現を持つためには、変数の数がd次で多項式よりも速く増加する必要があることを示した。この数は、次数に依存して、実際にはほぼ指数関数的に増加するはずである。カラツバと彼の弟子のアルキポフは、^{[ 21 ]}任意の自然数に対して が存在し、任意の に対してより小さい次数の整数係数を持つ形式が存在し、その変数の数は、、 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(r)}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq 2^{u}}$

${\displaystyle u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)} _{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}}$

2進数ではゼロの自明な表現しか持たない。また、任意の奇数素数を法とする場合にも同様の結果を得た。 ${\displaystyle p}$

短期クロスターマン和の推定

カラツバは^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} (1993-1999)、短いクロスターマン和、すなわち次の形式の三角和 を推定する新しい方法を 開発した。

${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr )}},}$

ここで、 はと 互いに素な数の集合を通過し、 の要素の数は本質的に より小さく、記号はを法としての逆数である合同類を表します。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n^{*}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle nn^{*}\equiv 1(\mod m)}$

1990年代初頭まで、このタイプの推定値は、主に、被加数の数がより大きい和について知られていました（HD Kloosterman、IM Vinogradov、H. Salié、 L. Carlitz、S. Uchiyama、A. Weil ）。唯一の例外は、が固定された素数で指数が無限大に増加する形式の特別なモジュライでした（このケースは、AG PostnikovによってVinogradovの方法を用いて研究されました）。Karatsubaの方法により、被加数の数がを超えないKloosterman和を推定することが可能になります。 ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle m=p^{\alpha }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle m^{\varepsilon },}$

そして場合によっては

${\displaystyle \exp {\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}},}$

ここで、は任意の小さな定数である。この主題に関するカラツバの最後の論文^{[ 25 ]}は、カラツバの死後に出版された。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$

カラツバ法のさまざまな側面は​​、解析数論の以下の問題に応用されています。

• 形式 : の小数部分の和の漸近線を求める。 ここで、 は条件 を満たす整数を順に通過し、モジュール(Karatsuba)を割り切れない素数を順に通過する。${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{p\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{*}+bp}{m}}{\biggr \}},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n,m)=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$

•  と互いに素な整数、、 について、形式 : : の不等式の解の個数の下限値を求める(Karatsuba)。${\displaystyle \alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$
• セグメント内の任意の実数を次の形式の小数部で近似する精度：${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},}$  ：ここで、、、（ 唐つば）。 ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$ ${\displaystyle (n,m)=1}$ ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• ブルン・ティッチマーシュの定理におけるより正確な定数 ：${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$  :は等差数列を超えずそれに属する素数の数です ( J. Friedlander、H. Iwaniec )。 ${\displaystyle \pi (x;q,l)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {q}}}$

• 形式の数の積の最大素因数の下限値：

${\displaystyle n^{3}+2}$ 、 （DRヒースブラウン）; ${\displaystyle N<n\leq 2N}$

• 次の形式の素数は無限に存在することを証明する。

${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ ( J. フリードランダー、H. イワニエツ);

• 数の集合の組み合わせ的性質:

${\displaystyle n^{*}{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq m^{\varepsilon }}$ （AAグリビチュク）。

リーマンゼータ関数

セルバーグゼロ

1984年にカラツバは^{[ 26 ] [ 27 ]} 、条件を満たす 固定のに対して、十分に大きい、のとき、区間にはリーマンゼータ関数の少なくとも実数零点が含まれることを証明した。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ ${\displaystyle (T,T+H)}$ ${\displaystyle cH\ln T}$ ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$

この特殊なケースは1942年初頭にアトレ・セルバーグによって証明された。^{[ 28 ]}アトレ・セルバーグとカラツバの推定値は 成長の順序に関して改善することはできない。 ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$ ${\displaystyle T\to +\infty }$

臨界線の短い区間におけるリーマンゼータ関数の零点の分布

カラツバはまた、臨界線の「短い」区間におけるの零点の分布に関する多くの結果を得ている^{[ 29 ]} 。彼は、セルバーグ予想の類似物が「ほとんどすべての」区間、（ただしは任意に小さい固定の正の数）に対して成り立つことを証明した。カラツバ (1992) は、臨界線の「超短い」区間、つまり、長さが任意に小さい次数 よりも遅く増加する区間 におけるリーマン ゼータ関数の零点を調べるための新しいアプローチを開発した。特に、彼は、条件を満たす任意の与えられた数 に対して、のほとんどすべての区間に関数 の零点が少なくとも含まれることを証明した。この推定値は、リーマン予想から得られる推定値にかなり近い。 ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

ディリクレL級数の線形結合の零点

カラツバは、ディリクレ級数の線型結合として表される関数の零点を調べるための新しい手法^{[ 30 ] [ 31 ]}を開発した。このタイプの関数の最も単純な例は、次式で定義されるダベンポート・ハイルブロン関数である。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi }}),}$

ここで、は（、...​​​ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \chi (1)=1}$ ${\displaystyle \chi (2)=i}$ ${\displaystyle \chi (3)=-i}$ ${\displaystyle \chi (4)=-1}$ ${\displaystyle \chi (5)=0}$ ${\displaystyle \chi (n+5)=\chi (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.}$

リーマン予想は正しくありませんが、臨界線にはそれでも異常に多くのゼロが含まれます。 ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle Re\ s={\tfrac {1}{2}}}$

カラツバは、区間, , が少なくとも ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H=T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/2}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

関数 の零点。Karatsuba は、任意の（有限）個の被加数を含む線形結合に対しても同様の結果を得ている。ここでは、次数指数は、線形結合の形式のみに依存するより小さな数 に置き換えられている。 ${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \beta }$

ゼータ関数の零点境界と多次元ディリクレ因子問題

カラツバは、多次元ディリクレ因子問題における画期的な成果^{[ 32 ]}を挙げている。これは、自然数における不等式の解の個数を求めることに関係している。なぜなら、次のような漸近公式が存在するからである 。 ${\displaystyle D_{k}(x)}$ ${\displaystyle x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle D_{k}(x)}$

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x)}$ 、

ここでは次数 の多項式であり、その係数は に依存し、 は明示的に求められ、は剰余項であり、その既知の推定値（1960年まで）はすべて次の形式であった。 ${\displaystyle P_{k-1}(u)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{k}(x)}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$ 、

ここで、は絶対的な正の定数です。 ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{ak+b}}}$ ${\displaystyle a,b,c}$

カラツバは のより正確な推定値を得た。その値はのオーダーであり、以前の推定値よりもはるかに緩やかに減少していた。カラツバの推定値はおよびにおいて一様であり、特に が増加するにつれて（ の対数の何らかのべき乗として）の値は増加する可能性がある。（似たような、しかしより弱い結果は、1960年にドイツの数学者リヒャルトによって得られたが、彼の論文は少なくとも 1970年代半ばまでソビエトの数学者には知られていなかった。） ${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$ ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

の推定値の証明は、ヴィノグラドフの方法で得られたリーマンゼータ関数の零点境界に関する定理、すなわち、領域に零点を持たない と主張する定理と本質的に同等の一連の主張に基づいています。${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln \ln |t|)^{1/3}}},\quad |t|>10}$ 。

カラツバは^{[ 33 ]} (2000)において、直線付近での の挙動と 値の推定値の逆相関関係を発見した。特に、 が条件を満たす任意の非増加関数である場合、すべての推定値 に対して${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle Re\ s=1}$ ${\displaystyle \alpha (y)}$ ${\displaystyle 1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$

が成り立つ場合、領域内にゼロは存在しない ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-c_{1}\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{2}}$

（絶対定数もあります）。 ${\displaystyle c,c_{1}}$

臨界領域の小さな領域と臨界線の小さな間隔におけるゼータ関数の係数の最大値の下からの推定

カラツバは、等式によって定義される 関数およびを導入し研究した^{[ 34 ]。}${\displaystyle F(T;H)}$ ${\displaystyle G(s_{0};\Delta )}$

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{\bigr |},\quad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

ここで、十分に大きな正の数、、、、です。以下から、およびの値を推定することで、臨界線の短い区間、または臨界帯 に位置する点の小さな近傍において、 が（絶対値で）どれほど大きな値を取り得るかが分かります。このケースは以前、ラマチャンドラによって研究されています。 （ が十分に大きな定数）の 場合、このケースは自明です。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0<H\ll \ln \ln T}$ ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+iT}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{0}\leq 1}$ ${\displaystyle 0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0\leq Re\ s\leq 1}$ ${\displaystyle H\gg \ln \ln T}$ ${\displaystyle \Delta >c}$ ${\displaystyle c}$

カラツバは特に、値とが特定の十分に小さい定数を超える場合、推定値は ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\quad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

ここで、特定の絶対定数があります。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

臨界線上のゼータ関数の引数の挙動

カラツバは、関数 の挙動に関する多くの新しい結果^{[ 35 ] [ 36 ]}を得た。これは、リーマンゼータ関数の臨界直線（ここでは、点 と を結ぶ破線に沿った任意の連続枝の増分）上の引数と呼ばれる。これらの結果には、関数 の平均値定理と実数直線上の区間におけるその第一積分、および の任意の区間が少なくとも ${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$ ${\displaystyle \arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$ ${\displaystyle \arg \zeta (s)}$ ${\displaystyle 2,2+it}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$ ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)du}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H\geq T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/3}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

関数の符号が変化する点。以前 、 Atle Selbergによって同様の結果が得られました。 ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$

ディリクレ指標

有限体における指標の短和の推定

1960年代末、カラツバはディリクレ指標の短和を推定する新しい手法を開発し^{[ 37 ]} 、有限体における指標の短和の非自明な推定値を得ることを可能にした。 を 固定整数、を有理数体上で既約な多項式、の根、体 の対応する拡大、の基底、、、とします。さらに、 を法として既約となるような十分に大きな素数、を基底とするガロア体、 体 の非主ディリクレ指標とします。最後に、を非負整数、ガロア体 の元の集合、 ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle F(\theta )=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \omega _{1}=1}$ ${\displaystyle \omega _{2}=\theta }$ ${\displaystyle \omega _{3}=\theta ^{2},\ldots ,\omega _{n}=\theta ^{n-1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$ ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}$ ${\displaystyle D(X)}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n}}$ 、

任意の、に対して、次の不等式が成り立つ。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \nu _{i}<x_{i}<\nu _{i}+X}$ 。

カラツバは、任意の固定された、、および任意のに対して、条件を満たすこと を証明した。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq n+1}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle p^{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}\leq X\leq p^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}$

次の推定が成り立ちます。

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{{\bar {x}}\in D(X)}\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl (}X^{1-{\frac {1}{k}}}p^{{\frac {1}{4k}}+{\frac {1}{4k^{2}}}}{\Bigr )}^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma },}$

ここで、定数は と基底のみに依存します。 ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{k}}(2^{n+1}-1)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$

シフトした素数上の文字の線形和の推定

カラツバは、素数の和を推定するヴィノグラドフ法と組み合わせたいくつかの新しいツールを開発し、1970年に^{[ 38 ]} 、シフトされた素数の列における素数を法とする非主指標の値の和の推定値、すなわち、 ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{1024}}},}$

ここで、 は条件 を満たす整数、は任意の小さい固定数、であり、定数 はのみ に依存します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\not \equiv 0(\mod q)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N\geq q^{1/2+\varepsilon }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

この主張は、 に対して非自明である Vinogradov の推定よりもかなり強力です。 ${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$

1971年、イヴァン・マトヴェイエヴィチ・ヴィノグラードフの80歳の誕生日を記念した国際数論会議で講演したアカデミー会員のユーリ・リンニクは次のように述べた。

「ヴィノグラドフがシフト素数 上のディリクレ指標の漸近解析の分野で行った研究は極めて重要であり、と比較して のべき乗が減少し、となる。ここでは指標の絶対値である。この推定値は極めて重要であり、 は拡張リーマン予想以上のものを与え、その方向においては はその予想（もし予想が正しいとすれば）よりも深い事実であるように思われる。最近、この推定値は AAKaratsuba によって改良された。」${\displaystyle \sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle q}$

この結果は、Karatsuba によって、が等差数列の素数を通過し、 の増分が法 とともに増加する 場合にまで拡張されました。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

素引数を持つ多項式における指標の和の推定

カラツバは、多項式の引数が短い素数列を通る場合の2次多項式におけるディリクレ指標の和の推定値をいくつか見出した^{[ 37 ] [ 39 ]。}例えば、十分に大きな素数 と を整数とし、条件 を満たすものとし、ルジャンドル記号をとすると、任意の に対して条件を固定し、和 に対して、 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab(a-b)\not \equiv 0(\mod q)}$ ${\displaystyle \left({\frac {n}{q}}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle N>q^{3/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum \limits _{p\leq N}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},}$

次の推定が成り立ちます。

${\displaystyle |S_{N}|\leq c\pi (N)q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{100}}}}$

(ここで は後続の素数まで実行され、は を超えない素数の数、は のみに依存する定数です)。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

同様の推定は、 が等差数列の素数列を通過する場合についても Karatsuba によって得られており、その増分は係数 とともに増加する可能性があります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

カラツバは、の和の非自明な推定値はと比較して「小さい」が、を を法とする平方ではない次数の任意の多項式に置き換えた場合でも成り立つと予想した。この予想は未だ未解決である。 ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

多項式における指標の和の下限

カラツバは^{[ 40 ]}無限の素数列と整数係数の次数多項式列を構築した。これは を法とする完全な平方数ではない。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p}},}$

そして、

${\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.}$

言い換えれば、任意の に対して の値はを法とする平方剰余となる。この結果は、アンドレ・ヴェイユの推定値 が${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq (n-1){\sqrt {p}}}$

は本質的に改善できず、後者の不等式の右辺は、例えば絶対定数で ある値 に置き換えることはできません。${\displaystyle C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle C}$

加法シーケンス上の文字の合計

カラツバは新しい方法^{[ 41 ]}を発見し、これにより、加法列、つまり の形式の数から成る列上の非主ディリクレ指標の値の合計のかなり正確な推定値を得ることが可能になった。ここで、変数およびは、互いに独立にいくつかの集合を通過し 、実行される。この種の最も特徴的な例は、ディリクレ指標の値の合計に関連する幅広いクラスの問題を解く際に適用される次の主張である。を任意に小さい固定数、、十分に大きい素数、を法とする非主指標とします。さらに、 を法とする完全な合同類システムの任意の部分集合とし、条件 、 のみを満たすものとします。このとき、次の推定値が成り立ちます。 ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x\in A}\sum \limits _{y\in B}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{20}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.}$

カラツバ法は、上で定式化した集合および の条件を異なる条件に置き換えることで、他の特定のケースでそのような非自明な推定値を得ることを可能にする。例えば、${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }.}$

と がそれぞれ区間 の素数の集合である場合（ただし、）、 の形の推定値は ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (1,X]}$ ${\displaystyle (1,Y]}$ ${\displaystyle X\geq q^{1/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle Y\geq q^{1/4+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq X}\sum \limits _{p'\leq Y}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{-c_{1}\varepsilon ^{2}},}$

が成り立ち、は を超えない素数の個数、は絶対定数です。 ${\displaystyle \pi (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle c_{1}}$

疎な数列におけるべき乗合同類と原始根の分布

カラツバは^{[ 42 ]} (2000)、「重み付き」ディリクレ指標の値の和、すなわち自然偏角の関数である形の成分の和の非自明な推定値を得た。この種の推定値は、冪合同類の分布や特定の数列の原始根など、数論の幅広い問題を解く際に応用されている。 ${\displaystyle \chi (n)f(n)}$ ${\displaystyle f(n)}$

を整数、十分に大きい素数、、、、とし、最後に、 ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (a,q)=1}$ ${\displaystyle |a|\leq {\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle N\geq q^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}}$

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum \limits _{x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}1=\sum \limits _{n\leq x}\tau _{k}(n)}$

（ の漸近的表現については、上記の多次元ディリクレ因子問題のセクションを参照）。 を法とする平方剰余（または非剰余）となる値 の和とを に拡張したものについて、Karatsuba は次の形式の漸近的公式を得た。 ${\displaystyle D_{k}(x)}$ ${\displaystyle V_{1}(x)}$ ${\displaystyle V_{2}(x)}$ ${\displaystyle \tau _{k}(n)}$ ${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle (n+a)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle V_{1}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )},\quad V_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$ 。

同様に、を法とする原始根に対してを全体にわたってとった値 の和に対して、次の形式の漸近表現が得られる。 ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle \tau _{k}(n)}$ ${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle (n+a)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{s}}}\right)D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$ 、

ここで、 はすべての数の素因数です。 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{s}}$ ${\displaystyle q-1}$

カラツバは、その方法を、 型などの整数のシフトされた素数のシーケンス内のべき剰余（非剰余）の分配の問題にも適用しました。 ${\displaystyle p+a}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+a}$

遅刻

晩年、カラツバは数論の研究（カラツバ現象^{[ 43 ]}参照）に加え、理論物理学、特に量子場の理論のいくつかの問題を研究した。ATS定理やその他の数論的アプローチを適用することで、量子光学におけるジェインズ・カミングス模型において新たな結果^{[ 44 ]}を得た。

賞と称号

• 1981年：ソビエト科学アカデミーPLTチェビシェフ賞
• 1999年：ロシアの著名な科学者
• 2001年：ロシア科学アカデミーIMVinogradov賞

クリミアでは

参照

• ATS定理
• カラツバアルゴリズム
• ムーアマシン

参考文献

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外部リンク

• 数学系譜プロジェクトのアナトリー・カラツバ
• 「Karatsuba Anatolii Alexeevitch（個人ホームページ）」 。 2008年10月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年11月17日閲覧。
• ステクロフ数学研究所の研究業績リスト