アンダーソンの定理

数学において、アンダーソンの定理は実解析学と幾何学における帰結であり、n次元凸体K上の積分可能、対称、単峰性、非負関数fの積分は、 Kを原点に向かって内側に移動させても減少しないというものである。fのグラフは原点上に単一のピークを持つ丘と考えることができるため、これは自然な記述である。しかし、 n ≥ 2の場合、 K上の点xにおいて、 f ( x )の値が対応するxの移動における値よりも大きくなる場合があるため、証明は完全に自明ではない。

セオドア・ウィルバー・アンダーソンにちなんで名付けられたアンダーソンの定理は、確率論にも興味深い応用があります。

定理の記述

Kをn次元ユークリッド 空間 R ⁿ上の凸体とし、原点対称、すなわちK =  − Kとする。f  :  R ⁿ → R を非負対称大域積分関数 とする。すなわち

• すべてのx  ∈  R ⁿに対してf ( x ) ≥ 0 である。
• すべてのx  ∈  R ⁿに対してf ( x ) = f (− x )が成り立つ。
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty .}$

また、 fのスーパーレベル集合 L ( f ,  t ) は次のように定義されるものとする。

${\displaystyle L(f,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)\geq t\},}$

は任意のt ≥ 0に対してR ⁿの凸部分集合である。 （この性質は単峰性 と呼ばれることもある。）すると、任意の 0 ≤  c  ≤ 1 およびy  ∈  R ⁿに対して、

${\displaystyle \int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d} x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d} x.}$

確率論への応用

確率空間(Ω, Σ, Pr)が与えられ、 X  : Ω →  R ⁿが確率密度関数f  :  R ⁿ  → [0, +∞) を持つR ⁿ値の確率変数であり、 Y  : Ω →  R ⁿが独立確率変数であるとする。多くのよく知られた確率分布の確率密度関数は、あるpに対してp -凹であり、したがって単峰性である。もしそれらが対称的である場合（例えば、ラプラス分布や正規分布）、アンダーソンの定理が適用される。

${\displaystyle \Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)}$

任意の原点対称凸体K  ⊆  R ⁿに対して。

参考文献

• ガードナー, リチャード J. (2002). 「ブルン・ミンコフスキー不等式」.アメリカ数学会誌 (NS) 39 ( 3): 355–405 (電子版). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .