角度欠陥

幾何学において、角度の欠陥（かくはんのしょう、または単に欠陥とも呼ばれる）とは、ユークリッド平面において、ある角度の合計が360°または180°の期待値に達するのに、その角度に達しないことを指します。これとは反対の概念が過剰です。

古典的には、欠陥は2つの状況で発生します。ユークリッド平面では、点の周りの角度の合計は360°ですが、三角形の内角の合計は180°です。しかし、凸多面体では、頂点で交わる面の角度の合計が360°未満（欠陥）になるのに対し、非凸多面体では、一部の頂点の角度の合計が360°を超える場合があります（過剰）。さらに、双曲三角形では角度の合計が180°未満（欠陥）になるのに対し、球面三角形では角度の合計が180°を超えます（過剰）。

現代的な用語で言えば、頂点の欠陥とは、多面体表面の曲率の離散的なバージョンであり、その点に集中しています。負の欠陥は頂点が鞍点（負の曲率）に似ていることを示し、正の欠陥は頂点が極大値または極小値（正の曲率）に似ていることを示します。ガウス・ボネの定理によれば、全体の曲率はオイラー特性の積で表されます。したがって、凸多面体の場合、欠陥の総和はですが、ドーナツ型多面体の場合、欠陥の総和はで、全体の欠陥は 0 です。 $2\pi$ $\chi =2$ $4\pi$ $\chi =0$

頂点の欠陥

多面体の場合、頂点の欠陥は、2πからその頂点のすべての角度の合計（その頂点のすべての面を含む）を引いた値に等しい。多面体が凸多面体の場合、各頂点の欠陥は常に正となる。多くの非凸多面体の一部の頂点で見られるように、角度の合計が1回転を超える場合、欠陥は負となる。

欠陥の概念は、頂点のセルの二面角の合計が完全な円に満たない量として、高次元にまで拡張されます。

例

正十二面体（正五角形が3つ、各頂点で交わる）の頂点の角度のずれは36°、つまりπ/5ラジアン、円の1/10です。それぞれの角度は108°で、そのうち3つが各頂点で交わるため、ずれは360° − (108° + 108° + 108°) = 36°となります。

他のプラトン立体についても同じ手順で行うことができます。

形	頂点の数	各頂点で交わる多角形	各頂点の欠陥	完全な欠陥
四面体	4	3つの正三角形	$\pi \ \ (180^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
八面体	6	4つの正三角形	${2\pi \over 3}\ (120^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
キューブ	8	3つの正方形	${\pi \over 2}\ \ (90^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
二十面体	12	5つの正三角形	${\pi \over 3}\ \ (60^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
十二面体	20	3つの正五角形	${\pi \over 5}\ \ (36^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$

デカルトの全角度欠陥に関する定理

デカルトの多面体の「全欠陥」に関する定理は、多面体が球面と同相である（すなわち、球面と位相的に等価であり、引き裂くことなく引き伸ばすことで球面に変形できる）場合、「全欠陥」、すなわちすべての頂点の欠陥の合計は、2つの完全な円（または720°または4π $ラジアン$ ）であると述べています。多面体は凸状である必要はありません。^{[ 1 ]}

一般化によれば、欠陥全体における円の数は多面体のオイラー特性値に等しい。これは、ガウス曲率の積分とオイラー特性値を関連付けるガウス・ボネ定理の特殊なケースである。ここで、ガウス曲率は頂点に集中している。面と辺では曲率はゼロであり（曲面はユークリッド平面に対して局所的に等長である）、頂点における曲率の積分は（定義により）その頂点の欠陥数に等しい。

これを用いて、多面体の頂点数Vを計算することができます。これは、すべての面の角度を合計し、その合計値（オイラー標数の倍数）を加算することで求められます。この合計値は、多面体の各頂点に1つの完全な円が属することを意味します。 $2\pi$

デカルトの定理の逆は、多面体に関するアレクサンドロフの定理によって与えられ、これによれば、正の角度欠陥の有限個の点を除いて局所ユークリッド（したがって曲率ゼロ）である計量空間は、に加えて、凸多面体の表面として一意に実現できる。^[²^] $4\pi$

非凸図形の正欠陥

すべての非凸多面体には、欠陥が負である頂点がいくつかあるはずだと考えたくなりますが、オイラー特性が正（位相球面）であれば、必ずしもそうである必要はありません。

正の欠陥を持つ多面体

反例として、立方体の一面を四角錐に置き換えた例が挙げられます。この細長い四角錐は凸型で、各頂点の欠陥はそれぞれ正の欠陥です。次に、同じ立方体の四角錐を立方体に置き換えた例を考えてみましょう。これは凹型ですが、欠陥は同じままなので、すべて正の欠陥となります。

自己交差多面体の反例として、それぞれ 12 個と 20 個の凸点を持つ小星型十二面体と大星型十二面体が挙げられますが、いずれも正の欠陥があります。

参考文献

注記

^デカルト、ルネ、「Progymnasmata de Solidorum elementis」、『 Oeuvres de Descartes』、vol. X、265–276 ページ
^ Connelly, Robert (2006年3月). 「A.D. Alexandrovによる凸多面体」(PDF) . SIAM Review . 48 (1): 157– 160. doi : 10.1137/SIREAD000048000001000149000001 . JSTOR 20453762. 2017年8月30日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。

参考文献

Richeson, D. ; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology、プリンストン (2008)、220–225 ページ。

外部リンク

ワイスタイン、エリック W. 「角度欠陥」。MathWorld 。

[1] デカルト、ルネ、「Progymnasmata de Solidorum elementis」、『 Oeuvres de Descartes』、vol. X、265–276 ページ

[connelly-2] Connelly, Robert (2006年3月). 「A.D. Alexandrovによる凸多面体」(PDF) . SIAM Review . 48 (1): 157– 160. doi : 10.1137/SIREAD000048000001000149000001 . JSTOR 20453762. 2017年8月30日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。

[ 1 ]

[