角度分解光電子分光法

銅の(111)面に局在する2次元電子状態のARPESスペクトル。エネルギーは自由電子のような運動量依存性、p ² /2 m（m = 0.46 ‍ m_{e ）}を示す。カラースケールは運動エネルギーと放出角チャンネルあたりの電子数を表す。21.22  eVの光子を用いた場合、フェルミ準位は16.64 eVで画像化される。

角度分解光電子分光法（ARPES ）は、凝縮物質物理学において、物質（通常は結晶固体）中の電子の許容エネルギーと運動量を調べるための実験技術である。この技術は、十分なエネルギーを持つ入射光子が物質の表面から電子を放出する光電効果に基づいている。放出された光電子の運動エネルギーと放出角度の分布を直接測定することにより、この技術は電子バンド構造とフェルミ面をマッピングすることができる。ARPESは、1次元または2次元の物質の研究に最適である。物理学者は、高温超伝導体、グラフェン、トポロジカル物質、量子井戸状態、電荷密度波を示す物質などを研究するためにこの技術を使用してきた。^{[ 1 ]}

ARPESシステムは、細い光子ビームを照射する単色光源、試料を位置決めするためのマニピュレータに接続された試料ホルダー、そして電子分光計で構成されています。装置は超高真空（UHV）環境内に設置されており、試料を保護し、放出された電子の散乱を防ぎます。運動エネルギーと放出角度に関して垂直な2方向に分散された電子は、検出器に導かれ、そこで計数されてARPESスペクトル（運動量方向に沿ったバンド構造のスライス）が得られます。一部のARPES装置は、検出器の横から電子の一部を抽出し、スピン偏極を測定できます。

原理

結晶固体中の電子は、量子力学によって禁じられている特定のエネルギーと運動量の状態にしか存在できません。これらの電子は、固体のバンド構造として知られる状態の連続体を形成します。バンド構造は、物質が絶縁体、半導体、金属のいずれであるか、どのように電気を伝導するか、どの方向が最も伝導しやすいか、あるいは磁場中でどのように振る舞うかを決定します。

角度分解光電子分光法はバンド構造を決定し、電子の散乱過程や物質の他の構成物質との相互作用を理解するのに役立ちます。この方法は、光子によって放出された電子を、その初期のエネルギーおよび運動量状態から、光子のエネルギー分だけ初期のエネルギーよりも高く、かつ固体中の電子の結合エネルギーよりも高いエネルギー状態へと観測することによって行われます。この過程で、電子の運動量は、物質の表面に垂直な成分を除いて、実質的に変化しません。このようにして、バンド構造は、電子が物質内で束縛されているエネルギーから、結晶の束縛から解放され、物質外で検出可能なエネルギーへと変換されます。

自由電子の運動エネルギーを測定することで、その速度と絶対運動量を計算することができます。表面法線に対する放出角を測定することで、ARPESは光電子放出過程で保存される面内2成分の運動量も決定できます。多くの場合、必要に応じて3番目の成分も再構成できます。

計装

ARPES 実験の一般的な実験室セットアップ (縮尺どおりではありません):紫外線光源としてのヘリウム放電ランプ、真空マニピュレーターに取り付けられたサンプル ホルダー、および半球形の電子エネルギー分析装置。

角度分解光電子分光分析のための典型的な装置は、光源、マニピュレータに接続された試料ホルダー、および電子分光計で構成されています。これらはすべて超高真空システムの一部であり、試料表面を吸着物から保護し、分析装置に向かう途中で電子が散乱するのを防ぎます。^{[ 2 ] [ 3 ]}

光源は、数meV のエネルギー広がりを持つ、約 10 ^{12光子 / 秒の}単色で、通常は偏光された、集束した高強度ビームをサンプルに供給します。 ^{[ 3 ]}光源には、コンパクトな希ガス放電UV ランプや無線周波数プラズマ源 (10～40 eV)、^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}紫外線レーザー(5～11 eV) ^{[ 7 ]}から、電磁スペクトルのさまざまな部分 (紫外線の 10 eV から 1000 eV の X 線まで) に最適化されているシンクロトロン^{[ 8 ]}挿入装置まであります。

角度分解光電子分光法用の超高真空チャンバーの窓からの眺め。電子ビーム加熱装置を内蔵した結晶ホルダーは、上部のXYZ+θマニピュレーターに、下部の銀編組線でクライオクーラーに接続されている。右側には、電子分析器のレンズとUV光源キャピラリーが見える。

サンプルホルダーは、電子特性を調査する結晶性材料のサンプルを収容します。これにより、サンプルの真空中への挿入、清浄な表面を露出させるための劈開、および正確な位置決めが容易になります。ホルダーは、3 軸に沿った移動と、サンプルの極角、方位角、および傾斜角を調整するための回転を可能にするマニピュレーターの延長として機能します。ホルダーには、正確な温度測定と制御のためにセンサーまたは熱電対が取り付けられています。極低温液化ガス、クライオクーラー、および希釈冷凍機により、 1ケルビンという低温まで冷却できます。ホルダーに取り付けられた抵抗ヒーターは最大数百 °C まで加熱でき、小型の背面電子ビーム衝撃装置はサンプルを 2000 °C まで加熱できます。ホルダーによっては、光ビームの焦点合わせや較正用のアタッチメントが付いているものもあります。

ARPES分光計の静電レンズにおける電子の軌跡を、角度分散面内で示した。この装置は、結晶から同じ角度で出射するが試料上の2つの別々の点から発生する電子が、同じ検出チャネルにある程度集束する様子を示している。ここでは、シミュレーションによる距離は0.5 mmである。

電子分光計は、試料から出射する際の電子の運動エネルギーと放出角度に応じて、電子を2つの空間方向に分散させます。言い換えれば、検出器上の異なる位置に、異なるエネルギーと放出角度をマッピングします。最も一般的に使用される半球型電子エネルギー分析器では、電子はまず静電レンズを通過します。このレンズは、レンズの入口から約40mm離れた位置に狭い焦点を有しています。この焦点は、電子プルームの角度広がりをさらに拡大し、調整されたエネルギーをエネルギー分散部の狭い入口スリットに送ります。

ARPES用角度・エネルギー分解電子分光計（概略図）

エネルギー分散は、いわゆるパスエネルギーの周りの狭い範囲のエネルギーに対して、角度分散の方向に垂直な方向、つまり長さ約 25 mm、幅 ⪆0.1 mm のスリットのカットに対して垂直な方向に実行されます。円筒レンズの軸の周りで以前に達成された角度分散はスリットに沿ってのみ保持され、レンズモードと必要な角度分解能に応じて、通常 ±3°、±7°、または ±15° になるように設定されます。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}エネルギー分析器の半球は、設定されたパス エネルギーに等しい運動エネルギーを持つ電子が中心の軌道をたどるように、一定の電圧に保たれます。より高いまたはより低いエネルギーを持つ電子は、分析器の反対側の端にある外側の半球または内側の半球に近くなります。これは、通常蛍光スクリーンとペアになった40 mm のマイクロ チャネル プレートの形で、電子検出器が取り付けられる場所です。電子検出イベントは外部カメラを用いて記録され、数十万の角度対運動エネルギーチャネルで個別にカウントされます。一部の装置では、検出器の片側に電子抽出管がさらに装備されており、電子のスピン偏極の測定が可能です。

現代の分析装置は、電子放出角を0.1°という小さな角度まで分解することができます。エネルギー分解能は通過エネルギーとスリット幅に依存するため、オペレーターは超高分解能かつ低強度（1 eVの通過エネルギーで1 meV未満）の測定と、高通過エネルギーで10 meV以上の低エネルギー分解能かつ高信号強度となる広いスリット幅の測定のどちらかを選択します。装置の分解能は、スペクトル特性の人為的な広がりとして現れます。つまり、サンプル温度のみから予想されるよりも広いフェルミエネルギーカットオフと、エネルギーと運動量/角度の両方における理論的な電子スペクトル関数と装置の分解能関数が畳み込まれます。 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

半球型分析器の代わりに飛行時間型分析器が使用される場合もあります。ただし、飛行時間型分析器はパルス光子源を必要とし、レーザーベースのARPES実験室で最も一般的に使用されています。^{[ 9 ]}

基本的な関係

角度分解光電子分光法は、通常の光電子分光法を角度選択的に改良したものです。エネルギー の光子（プランク定数）で構成される周波数の光を用いて、固体中の電子の占有電子状態から非占有電子状態への遷移を刺激します。光子のエネルギーが電子の結合エネルギーよりも大きい場合、電子は最終的に散乱されずに固体から離脱し、運動エネルギーとして観測されます^{[ 10 ]}${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=h\nu -E_{\text{B}}}$

表面法線に対する角度で、どちらも研究対象材料の特性である。^{[注 1 ]}${\displaystyle \vartheta }$

左：アナライザー角度 – 垂直放射周辺のエネルギーマップI ₀ ( α , E _k )。右：アナライザー角度 –垂直放射から離れたいくつかの極角におけるエネルギーマップI _θ ( α , E _{k )。}

ARPESによって測定された電子放出強度マップは、電子の結合エネルギーと、電子の結晶運動量と群速度に関連するブロッホ波動ベクトルで表される固体中の電子の固有分布を表す。光電子放出過程において、ブロッホ波動ベクトルは測定された電子の運動量と関連しており、運動量の大きさは次の式で与えられる。 ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |={\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}}$ 。

電子が表面障壁を横切ると、表面仕事関数^{[注1 ]}によりエネルギーの一部を失い、表面と平行な成分のみが保存される。したがって、ARPESから確実にわかるのは のみであり、その大きさは次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{\Vert}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\Vert }={\tfrac {1}{\hbar }}\mathbf {p} _{\Vert }}$

${\displaystyle |\mathbf {k} _{\Vert }|={\tfrac {1}{\hbar }}|\mathbf {p_{\Vert }} |={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\sin \vartheta }$ . ^{[ 11 ]}

ここで、は換算プランク定数です。 ${\displaystyle \hbar}$

3次元波動ベクトルの不完全な決定と弾性光電子放出過程の顕著な表面感度のため、ARPESは、2次元材料、超薄膜、ナノワイヤなどの秩序立った低次元システムのバンド構造の完全な特性評価に最適です。3次元材料に使用する場合、波動ベクトルの垂直成分は通常、エネルギー を底とする放物線状の自由電子のような最終状態を仮定して近似されます。これは次の式を与えます。 ${\displaystyle k_{\perp}}$ ${\displaystyle -V_{0}}$

${\displaystyle k_{\perp }={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(E_{\text{k}}\cos ^{2}\!\vartheta +V_{0})}}}$ . ^{[ 11 ]}

内部ポテンシャルは事前に未知のパラメータである。d電子系の場合、実験では≈ 15 eVであることが示唆されている。^{[ 12 ]}一般に、内部ポテンシャルは、光子エネルギーに依存する一連の実験、特に光電子バンドマッピング実験によって推定される。^{[ 13 ]}${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

フェルミ面マッピング

左： E _F付近の定常エネルギーマップ（アナライザー角度 - 極角単位、極運動はアナライザースリットに垂直）。右：E _F付近の定常エネルギーマップ（結晶運動量単位、アナライザー角度 - 極角マップから変換）。

運動量チャネルとエネルギーチャネルの混合を防ぐためにスリットを使用する電子分析装置は、一方向の角度マップしか取得できません。エネルギー空間と二次元運動量空間のマップを取得するには、スリットが隣接する放出角度からの電子を受け取るようにサンプルを適切な方向に回転させる、またはサンプルを固定した状態で電子プルームを静電レンズ内で操作します。スリット幅によって角度スキャンのステップサイズが決まります。例えば、レンズ軸の周りに±15°拡散したプルームを長さ30mm、幅1mmのスリットに照射すると、スリットの1mmごとに1°ずつ（両方向とも）受け取ります。しかし、検出器では反対方向が電子の運動エネルギーとして解釈され、放出角度情報は失われます。この平均化によって、スリットに垂直な方向におけるスキャンの最大角度分解能が決まります。1mmのスリットでは、1°より粗いステップではデータが欠落し、細かいステップではデータが重なり合います。現代の分析装置は_、 0.05 mmという狭いスリットを備えています。エネルギー-角度-角度マップは通常、さらに処理されてエネルギー-k x - k _{yマップが作成され、バンド構造における一定エネルギー面、そして最も重要なフェルミ準位付近で切断された}フェルミ面マップが表示されるようにスライスされます。

放出角度から運動量への変換

ARPES実験の幾何学的形状（縮尺通りではありません）。この位置（θ = 0°、τ = 0°）では、アナライザーは表面から垂直に放出された電子と、α ≤ 8°の周囲に放出された電子を受け取ります。

ARPES分光計は、スリットに沿ったスライスαにおける角度分散を測定します。最新の分析装置は、これらの角度を基準系内で同時に記録し、通常は±15°の範囲で記録します。2次元運動量空間におけるバンド構造をマッピングするには、試料を回転させ、表面上の光点を固定します。最も一般的な方法は、スリットに平行な軸の周りの極角θを変化させ、傾きτまたは方位角φを調整することで、ブリルアンゾーンの特定の領域からの発光が得られるようにすることです。

電子の運動量成分は、分析装置の基準系で測定される量で次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {P} =[0,P\sin \alpha ,P\cos \alpha ]}$ 、 どこ。${\displaystyle P={\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}}}$

θ

θとτ

θ、τ、φ

サンプルの参照フレームの回転。アナライザーは、独自の参照フレーム内で角度αの範囲を測定します。

これらの成分は、回転行列 を用いて、試料の基準系における適切な運動量成分 に変換できる。試料を y 軸を中心にθ回転させると、成分 が生じる。また、試料をx 軸を中心にτ傾けると、 となり、この写像幾何学において ARPES によって決定される電子の結晶運動量の成分は以下のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle R_{\textrm {axis}}({\textrm {angle}})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =R_{x}(\tau )R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$

${\displaystyle k_{x}={\tfrac {1}{\hbar }}p_{x}={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\,\cos \alpha \sin \vartheta }$

${\displaystyle k_{y}={\tfrac {1}{\hbar }}p_{y}={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\,(\pm \sin \alpha \cos \tau +\cos \alpha \sin \tau \cos \vartheta )}$

比例するかどうかに応じて符号を選択​​する${\displaystyle \vartheta =0}$ ${\displaystyle k_{y}}$

または​${\displaystyle \sin(\alpha +\tau )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha -\tau )}$

サンプルの高い対称軸がわかっていて、それを整列させる必要がある場合は、zを中心に回転するか、または2次元運動量平面で 変換されたマップI（E、k _x、ky _）を原点を中心に回転させることによって、方位角φによる補正を適用できます。${\displaystyle \mathbf {p} =R_{z}(\varphi )R_{x}(\tau )R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$

光電子強度関係の理論

光電子放出理論^{[ 2 ] [ 10 ] [ 11 ]}は、状態間の直接的な光遷移とN電子系の理論である。光励起は、量子力学的ハミルトニアンの運動論的部分を結晶中の電子に最小限置き換えることで、磁気ベクトルポテンシャルとして導入される。ハミルトニアンの 摂動論的部分は以下のように表される。${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto \mathbf {p} +e\mathbf {A} }$

${\displaystyle H'={\frac {e}{2m}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} +\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} )+{\frac {e^{2}}{2m}}|\mathbf {A} |^{2}}$ 。

この処理では、電子のスピンと電磁場の結合は無視される。スカラーポテンシャルは、ワイルゲージ^{[ 2 ]}を課すか、または発生源から遠く離れた場所では無視できるほど小さくなるクーロンゲージ内で動作させることによってゼロに設定される。いずれの場合も、交換子はゼロとされる。具体的には、ワイルゲージでは、紫外線の周期が電子の波動関数の周期よりも約2桁大きいためである。どちらのゲージでも、表面の電子は入射する摂動に反応する時間がほとんどなく、2つのポテンシャルのどちらにも何も加えないと仮定される。ほとんどの実用的用途では、二次項を無視しても安全である。したがって、 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \left[\mathbf {A} ,\mathbf {p} \right]=i\hbar \,\nabla \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} \approx 0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle |A|^{2}}$

${\displaystyle H'={\frac {e}{m}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} }$ 。

遷移確率は時間依存摂動論で計算され、フェルミの黄金律によって与えられる。

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )\propto |\langle f|\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )}$ 、

上記のデルタ分布は、エネルギーの光子が吸収されるときにエネルギーが保存されることを示しています。 ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle E_{f}=E_{i}+h\nu }$

電磁波の電場が （ここで ）と書かれると、ベクトルポテンシャルはその分極を継承し に等しい。遷移確率は電場に関して次のように表される^{[ 14 ]。}${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E_{0}} \sin(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\tfrac {1}{\omega }}\mathbf {E_{0}} \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}\propto |\langle f|{\tfrac {1}{\nu }}\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )}$ 。

突然の近似では、 N個の電子系から電子が瞬間的に除去されると仮定し、系の最終状態と初期状態は、光電子の単一粒子状態と残りの( N −1)電子系を表す状態との適切に反対称化された積としてとられる。^{[ 2 ]}${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle |k_{f}\rangle }$

電子の光電子放出電流はエネルギーと運動量の積として表される。 ${\displaystyle E_{f}=E_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

• ${\displaystyle |\langle k_{f}|\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |k_{i}\rangle |^{2}=M_{fi}}$ 光学遷移の双極子選択則として知られる、
• ${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)}$ 凝縮物質物理学の多体理論で知られる一電子除去スペクトル関数

観測されるエネルギーと運動量に至る、すべての許容される初期状態と最終状態について合計される。^{[ 2 ]}ここで、Eはフェルミ準位E _Fに対して測定され、E _{k は}真空に対して測定されるので、仕事関数 は2つの参照準位間のエネルギー差である。仕事関数は材料、表面方位、および表面状態に依存する。許容される初期状態は占有されている状態のみであるため、光電子放出信号は、E _F付近で温度依存のシグモイド型の強度低下の形でフェルミ-ディラック分布関数を反映します。2次元の1バンド電子システムの場合、強度関係はさらに次のように簡略化されます。 ${\displaystyle E_{\text{k}}=E+h\nu -W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{(E-E_{\text{F}})/k_{\text{B}}T}}}}$

${\displaystyle I(E_{\text{k}},\mathbf {k_{\Vert }} )=I_{M}(\mathbf {k_{\Vert }} ,\mathbf {E_{0}} ,\nu )\,f(E)\,A(\mathbf {k_{\Vert }} ,E)}$ . ^{[ 2 ]}

選択ルール

結晶中の電子状態はエネルギーバンドに編成されており、エネルギーバンド分散はブロッホの定理によれば非局在電子のエネルギー固有値である。ブロッホの波動関数分解における平面波因子から、他の粒子が関与していない場合に許容される遷移は、結晶運動量が逆格子ベクトルだけ異なる状態、すなわち縮小領域スキームにおいて互いに重なり合う状態間の遷移のみであることが分かる（したがって、直接光遷移と呼ばれる）。^{[ 11 ]}${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

（または）に含まれる光子の偏光と、初期および最終の一電子ブロッホ状態およびの対称性を考慮すると、 （または）から別の選択則が導かれます。これらの選択則は、逆格子空間の特定の部分における光電子放出信号の抑制につながる可能性があり、また、初期状態と最終状態の特定の原子軌道起源について示唆を与える可能性があります。^{[ 15 ]}${\displaystyle M_{fi}}$ ${\displaystyle I_{M}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E_{0}} }$ ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle |k_{f}\rangle }$

多体効果

電子ドープグラフェンの再正規化されたπバンドのARPESスペクトル；p偏光40 eV光、T = 80 K。点線は裸のバンド。-0.2 eVのキンクはグラフェンのフォノンによるものである。^{[ 16 ]}

ARPESで直接測定される1電子スペクトル関数は、N個の電子系から1個の電子が瞬間的に除去された状態が、( N −1)粒子系の基底状態のいずれかである確率をマッピングします。

${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)=\sum _{m}\left|\,\left\langle {\begin{matrix}{\scriptstyle (N-1)\,\mathrm {eigenstate} }\\{\scriptstyle m}\end{matrix}}\,\,|\,\,{\begin{matrix}{\scriptstyle (N)\,\mathrm {eigenstate} }\\{\scriptstyle \mathrm {with\,} \mathbf {k} \mathrm {\,removed} }\end{matrix}}\right\rangle \,\right|^{2}\,\delta (E-E_{m}^{N-1}+E^{N})}$ 。

もし電子が互いに独立していたら、状態が除去されたN電子状態はまさにN − 1粒子系の固有状態となり、スペクトル関数は除去された粒子のエネルギーと運動量において無限に鋭いデルタ関数となり、エネルギー運動量空間における独立粒子の分散をトレースすることになる。電子相関が増加すると、スペクトル関数は広がり、基礎となる多体系における相互作用を反映するより豊かな特徴を発達させ始める。これらは通常、準粒子自己エネルギーと呼ばれる単一粒子エネルギー分散に対する複素補正によって記述される。 ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle E_{o}(\mathbf {k} )}$

${\textstyle \Sigma (\mathbf {k} ,E)=\Sigma '(\mathbf {k} ,E)+i\Sigma ''(\mathbf {k} ,E)}$ 。

この関数は、相互作用による電子分散の再正規化と、励起によって生成された正孔の寿命に関する完全な情報を含んでいる。これらは、いくつかの妥当な仮定の下で、高解像度ARPESスペクトルの解析から実験的に決定することができる。すなわち、スペクトルの部分は運動量空間における高対称性方向に沿ってほぼ一定であり、唯一の可変部分はスペクトル関数から来ると仮定することができる。スペクトル関数は、の2つの成分が通常 のみに依存するとみなされるに関して、次のように表される。 ${\displaystyle M_{fi}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)=-{\frac {1}{\pi }}{\frac {\Sigma ''(E)}{\left[E-E_{o}(\mathbf {k} )-\Sigma '(E)\right]^{2}+\left[\Sigma ''(E)\right]^{2}}}}$

スペクトル関数の定数エネルギーカットは、ほぼローレンツ曲線であり、最大値の半分における幅は自己エネルギーの虚数部によって決定され、裸のバンドからの偏差はその実数部によって与えられます。

この関数は、ARPESにおいて運動量空間における任意の方向に沿った走査として知られており、 の形の2次元マップである。一定エネルギー で切断すると、におけるローレンツ型曲線が得られ、その再正規化されたピーク位置はで与えられ、その半値幅はで以下のように決定される：^{[ 17 ] [ 16 ]}${\displaystyle A(k,E)}$ ${\displaystyle E_{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \Sigma '(E_{m})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Sigma ''(E_{m})}$

1. ${\displaystyle \Sigma '(E_{m})=E_{m}-E_{o}(k_{m})}$
2. ${\displaystyle \Sigma ''(E_{m})={\frac {1}{2}}\left[E_{o}(k_{m}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)-E_{o}(k_{m}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)\right]}$

解析において未知数として残るのは、裸のバンド だけです。裸のバンドは、前の2つの式から得られる複素関数の2つの成分間にクラマース・クローニッヒの関係を適用することで、自己矛盾なく求めることができます。アルゴリズムは以下のとおりです。まず、仮説裸のバンドを用意し、式(2)で計算し、クラマース・クローニッヒの関係を用いてに変換します。次に、この関数を用いて式(1)により離散的な点群における裸のバンド分散を計算し、適切な曲線へのフィッティングを新しい仮説裸のバンドとしてアルゴリズムに入力します。収束は通常、数回の反復で達成されます。^{[ 16 ]}${\displaystyle E_{o}(k)}$ ${\displaystyle \Sigma (E)}$ ${\displaystyle \Sigma ''(E)}$ ${\displaystyle \Sigma '(E)}$ ${\displaystyle k_{m}}$

このようにして得られた自己エネルギーから、電子-電子相関、電子-フォノン（より一般的には電子-ボソン）相互作用、活性フォノンエネルギー、準粒子寿命の強さと形状を判断することができる。^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

デバイフォノンとの相互作用によりフェルミ準位付近でバンドが平坦化する単純なケースでは、バンド質量は（1 + λ）だけ増加し、電子-フォノン結合係数λはピーク幅の温度に対する線形依存性から決定できる。^{[ 21 ]}

銅酸化物超伝導体のような強相関系では、自己エネルギーに関する知識だけでは、スペクトルの特定の特徴をもたらす物理過程を包括的に理解するには不十分である。^{[ 23 ]}実際、銅酸化物超伝導体の場合、異なる理論的扱いによって、スペクトルの特定の特徴の起源について大きく異なる説明が導かれることが多い。典型的な例は銅酸化物における擬ギャップ、すなわちフェルミ準位におけるスペクトル重みの運動量選択的抑制であり、これは様々な研究者によってスピン、電荷、あるいは（d波）対形成の揺らぎと関連付けられている。作用する基礎的な物理メカニズムに関するこの曖昧さは、2粒子相関関数（オージェ電子分光法や出現電位分光法など）を検討することで克服できる。なぜなら、これらの関数は系の集団モードを記述することができ、また特定の基底状態特性とも関連付けることができるからである。^{[ 24 ]}

用途

ARPES は、多くの金属や半導体の占有バンド構造、表面に投影されたバンドギャップに現れる状態、^{[ 10 ]} 次元が低減されたシステムで発生する量子井戸状態、^{[ 25 ]}グラフェンのような原子 1 個の厚さの材料、^{[ 26 ]}遷移金属二カルコゲニド、および多くの種類のトポロジカル材料のマッピングに使用されています。^{[ 27 ] [ 28 ]}また、高温超伝導体や電荷密度波を示す材料などの高度に相関した材料の基礎となるバンド構造、ギャップ、および準粒子ダイナミクスのマッピングにも使用されています。^{[ 2 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 9 ]}

フェルミ準位直上の束縛状態における電子のダイナミクスを研究する必要がある場合、ポンプ・プローブ装置における二光子励起（2PPE）が用いられる。ここでは、十分に低いエネルギーを持つ最初の光子を用いて、電子を光電子放出に必要なエネルギー（すなわち、フェルミ準位と真空準位の間）よりも低い非占有バンドに励起する。2番目の光子はこれらの電子を固体から追い出し、ARPESで測定できるようにする。通常は低エネルギーパルスレーザーの周波数逓倍と、光路変更によるパルス間の遅延を用いて2番目の光子のタイミングを正確に制御することで、ピコ秒以下のスケールで電子寿命を決定することができる。^{[ 31 ] [ 32 ]}

参照

• 準粒子干渉イメージング

注記

1. 簡潔にするため、仕事関数は（結合エネルギーの真の意味）の一部として式に含められています。しかし実際には、結合エネルギーは物質のフェルミ準位を基準として表され、フェルミ準位はARPESスペクトルから読み取ることができます。仕事関数は、フェルミ準位と電子が自由である真空準位との差です。${\displaystyle E_{\text{k}}}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

参考文献

1. Zhang, Hongyun; Pincelli, Tommaso; Jozwiak, Chris; Kondo, Takeshi; Ernstorfer, Ralph; Sato, Takafumi; Zhou, Shuyun (2022年7月14日). 「角度分解光電子分光法」 . Nature Reviews Methods Primers . 2 (1): 54. arXiv : 2207.06942 . doi : 10.1038/s43586-022-00133-7 . ISSN  2662-8449 . S2CID  124044051 .
2. Damascelli, Andrea; Shen, Zhi-Xun; Hussain, Zahid (2003年4月17日). 「銅酸化物超伝導体の角度分解光電子分光法」Reviews of Modern Physics . 75 (2): 473– 541. arXiv : cond-mat/0208504 . doi : 10.1103/RevModPhys.75.473 . ISSN 0034-6861 . S2CID 118433150 .  
3. Hüfner, Stefan編 (2007).超高解像度光電子分光法. 物理学講義ノート. 第715巻. ベルリン, ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/3-540-68133-7 . ISBN 978-3-540-68130-4。（サブスクリプションが必要です）
4. 「MBScientific電子分析装置とUV源」。
5. 「ARPES Lab」。Scienta Omicron。2020年。2020年7月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月29日閲覧。
6. 「PHOIBOSアナライザーを備えたLab ARPESシステム」。SPECS 。 2020年8月29日閲覧。
7. 「製品」 . Lumeras LLC. 2013年. 2020年8月29日閲覧。
8. 「世界の光源」 2017年8月24日。
9. 周 星江; 何 少龍; 劉 国東; 趙 林; 于 李; 張 文涛 (2018年6月1日). 「レーザー光電子分光法の新たな発展とその科学的応用：主要課題レビュー」.物理学の進歩に関する報告. 81 (6): 062101. arXiv : 1804.04473 . Bibcode : 2018RPPh...81f2101Z . doi : 10.1088/1361-6633/aab0cc . ISSN 0034-4885 . PMID 29460857. S2CID 3440746 .   
10. Hüfner, Stefan. (2003). 「序論と基本原理」.光電子分光法：原理と応用（第3版・増補版）. ベルリン、ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-09280-4. OCLC  851391282 .
11. Damascelli, Andrea (2004). 「ARPESによる複雑系の低エネルギー電子構造の探査」. Physica Scripta . T109 : 61. arXiv : cond-mat/0307085 . doi : 10.1238/Physica.Topical.109a00061 . ISSN 0031-8949 . S2CID 21730523 .  
12. Horio, M.; Hauser, K.; Sassa, Y.; Mingazheva, Z.; Sutter, D.; Kramer, K.; Cook, A.; Nocerino, E.; Forslund, OK; Tjernberg, O.; Kobayashi, M. (2018年8月17日). 「過剰ドープされたLa系銅酸化物の3次元フェルミ面」 . Physical Review Letters . 121 (7) 077004. arXiv : 1804.08019 . doi : 10.1103/PhysRevLett.121.077004 . hdl : 1983/b5d79bda-0ca2-44b9-93a0-0aa603b0a543 . PMID 30169083 . S2CID 206315433 .  
13. Riley, JM; Mazzola, F.; Dendzik, M.; Michiardi, M.; Takayama, T.; Bawden, L.; Granerød, C.; Leandersson, M.; Balasubramanian, T.; Hoesch, M.; Kim, TK (2014). 「反転対称半導体におけるスピン分極バルクバンドの直接観測」 . Nature Physics . 10 (11): 835– 839. arXiv : 1408.6778 . doi : 10.1038/nphys3105 . hdl : 10023/6433 . ISSN 1745-2473 . S2CID 55620357 .  
14. Wacker, Andreas. 「フェルミの黄金律」（PDF） .ティーチングノート（ルンド大学） . 2022年10月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年6月14日閲覧。
15. Cao, Yue; Waugh, JA; Zhang, X.-W.; Luo, J.-W.; Wang, Q.; Reber, TJ; Mo, SK; Xu, Z.; Yang, A.; Schneeloch, J.; Gu, G. (2013年7月21日). 「トポロジカル絶縁体Bi2Se3のディラック点における面内軌道テクスチャスイッチ」. Nature Physics . 9 (8): 499– 504. arXiv : 1209.1016 . doi : 10.1038/nphys2685 . ISSN 1745-2473 . S2CID 119197719 .  
16. Pletikosić, Ivo; Kralj, Marko; Milun, Milorad; Pervan, Petar (2012年4月24日). 「裸バンドの発見：Ir(111)上のカリウムドープグラフェンにおける2つのフォノンモードへの電子結合」. Physical Review B. 85 ( 15) 155447. arXiv : 1201.0777 . Bibcode : 2012PhRvB..85o5447P . doi : 10.1103/PhysRevB.85.155447 . ISSN 1098-0121 . S2CID 119170154 .  
17. Kordyuk, AA; Borisenko, SV; Koitzsch, A.; Fink, J.; Knupfer, M.; Berger, H. (2005年6月9日). 「光電子放出実験による裸電子分散」. Physical Review B. 71 ( 21) 214513. arXiv : cond-mat/0405696 . doi : 10.1103/PhysRevB.71.214513 . ISSN 1098-0121 . S2CID 67784336 .  
18. Norman, MR; Ding, H.; Fretwell, H.; Randeria, M.; Campuzano, JC (1999年9月1日). 「角度分解光電子分光データからの電子自己エネルギーの抽出：Bi2212への応用」. Physical Review B. 60 ( 10): 7585– 7590. arXiv : cond-mat/9806262 . doi : 10.1103/PhysRevB.60.7585 . ISSN 0163-1829 . S2CID 4691468 .  
19. LaShell, S.; Jensen, E.; Balasubramanian, T. (2000年1月15日). 「Be(0001)表面からの光電子放出スペクトルにおける非準粒子構造と電子自己エネルギーの測定」. Physical Review B. 61 ( 3): 2371– 2374. Bibcode : 2000PhRvB..61.2371L . doi : 10.1103/PhysRevB.61.2371 . ISSN 0163-1829 . （サブスクリプションが必要です）
20. Valla, T.; Fedorov, AV; Johnson, PD; Hulbert, SL (1999年9月6日). 「角度分解光電子放出における多体効果：Mo(110)表面状態の準粒子エネルギーと寿命」. Physical Review Letters . 83 (10): 2085– 2088. arXiv : cond-mat/9904449 . Bibcode : 1999PhRvL..83.2085V . doi : 10.1103/PhysRevLett.83.2085 . ISSN 0031-9007 . S2CID 55072153 .  
21. Hofmann, Ph; Sklyadneva, I Yu; Rienks, EDL; Chulkov, EV (2009年12月11日). 「表面および界面における電子–フォノン結合」 . New Journal of Physics . 11 (12) 125005. Bibcode : 2009NJPh...11l5005H . doi : 10.1088/1367-2630/11/12/125005 . hdl : 10261/224620 . ISSN 1367-2630 . 
22. Veenstra, CN; Goodvin, GL; Berciu, M .; Damascelli, A. (2010年7月16日). 「スペクトル関数の定量分析における捉えにくい電子-フォノン結合」. Physical Review B. 82 ( 1) 012504. arXiv : 1003.0141 . Bibcode : 2010PhRvB..82a2504V . doi : 10.1103/PhysRevB.82.012504 . ISSN 1098-0121 . S2CID 56044826 .  
23. Napitu, BD; Berakdar, J. (2010年5月12日). 「強く相関した系からの2粒子光電子放出：動的平均場アプローチ」. Physical Review B. 81 ( 19) 195108. arXiv : 1004.5468 . doi : 10.1103/PhysRevB.81.195108 . ISSN 0163-1829 . S2CID 119247208 .  
24. Rohringer, Georg (2020年5月12日). 「相関多電子系のスペクトル：1粒子記述から2粒子記述へ」 . Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena . 241 : 146804. doi : 10.1016/j.elspec.2018.11.003 . S2CID 106125471 . 
25. Chiang, T.-C (2000年9月1日). 「薄膜中の量子井戸状態の光電子放出研究」 .表面科学レポート. 39 (7): 181– 235. Bibcode : 2000SurSR..39..181C . doi : 10.1016/S0167-5729(00)00006-6 . ISSN 0167-5729 . （サブスクリプションが必要です）
26. Zhou, SY; Gweon, G.-H.; Graf, J.; Fedorov, AV; Spataru, CD; Diehl, RD ; Kopelevich, Y.; Lee, D.-H.; Louie, Steven G.; Lanzara, A. (2006年8月27日). 「グラファイト中のディラックフェルミオンの初めての直接観測」. Nature Physics . 2 (9): 595– 599. arXiv : cond-mat/0608069 . Bibcode : 2006NatPh...2..595Z . doi : 10.1038/nphys393 . ISSN 1745-2473 . S2CID 119505122 .  
27. Hsieh, D.; Qian, D.; Wray, L.; Xia, Y.; Hor, YS; Cava, RJ; Hasan, MZ (2008年4月24日). 「量子スピンホール相におけるトポロジカル・ディラック絶縁体：初の強トポロジカル絶縁体の実験的観測」. Nature . 452 ( 7190): 970– 974. arXiv : 0902.1356 . doi : 10.1038/nature06843 . ISSN 0028-0836 . PMID 18432240. S2CID 4402113 .   
28. Liu, ZK; Zhou, B.; Wang, ZJ; Weng, HM; Prabhakaran, D.; Mo, S.-K.; Zhang, Y.; Shen, ZX; Fang, Z.; Dai, X.; Hussain, Z. (2014年2月21日). 「3次元トポロジカルディラック半金属Na3Biの発見」. Science . 343 (6173): 864– 867. arXiv : 1310.0391 . Bibcode : 2014Sci...343..864L . doi : 10.1126 / science.1245085 . ISSN 0036-8075 . PMID 24436183. S2CID 206552029 .   
29. Kordyuk, AA (2014年5月2日). 「準2次元金属のフェルミオロジーにおけるARPES実験（レビュー記事）」. Low Temperature Physics . 40 (4): 286– 296. arXiv : 1406.2948 . Bibcode : 2014LTP....40..286K . doi : 10.1063/1.4871745 . ISSN 1063-777X . S2CID 119228462 .  
30. Lu, Donghui; Vishik, Inna M.; Yi, Ming; Chen, Yulin; Moore, Rob G.; Shen, Zhi-Xun (2012年1月3日). 「量子物質の角度分解光電子分光研究」. Annual Review of Condensed Matter Physics . 3 (1): 129– 167. doi : 10.1146/annurev-conmatphys-020911-125027 . ISSN 1947-5454 . OSTI 1642351 . S2CID 120575099 .   （サブスクリプションが必要です）
31. Weinelt, Martin (2002年11月4日). 「金属表面からの時間分解2光子光電子放出」 . Journal of Physics: Condensed Matter . 14 (43): R1099– R1141. doi : 10.1088/0953-8984/14/43/202 . ISSN 0953-8984 . S2CID 250856541 .  （サブスクリプションが必要です）
32. Ueba, H.; Gumhalter, B. (2007年1月1日). 「表面の2光子光電子分光法の理論」 . Progress in Surface Science . 82 ( 4–6 ): 193– 223. doi : 10.1016/j.progsurf.2007.03.002 .（サブスクリプションが必要です）

外部リンク

• ダイヤモンド光源i05ビームラインにおけるARPESの紹介