角速度テンソル

角速度テンソルは次のように定義される歪対称行列です。

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

上記のスカラー要素は、角速度ベクトルの成分に対応します。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

これは無限小回転行列である。線形写像Ωは外積 として作用する。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

ここでは位置ベクトルです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

時間差を掛けると、角変位テンソルになります。

回転フレームの角速度テンソルの計算

固定軸の周りを 等速円運動するベクトルは次式を満たします。${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\Omega \mathbf {r} }$

フレームの方向行列を とすると、列、、はフレームの移動直交座標ベクトルである。A ( t )の角速度テンソルΩ ( t )は以下のように得られる。 ${\displaystyle A(t)=[\mathbf {e} _{1}(t)\ \mathbf {e} _{2}(t)\ \mathbf {e} _{3}(t)]}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$

角速度は各列ベクトルに対して同じでなければならないので、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}&={\begin{bmatrix}{\dfrac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}}&{\dfrac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}&{\dfrac {d\mathbf {e} _{3}}{dt}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\omega \times \mathbf {e} _{1}&\omega \times \mathbf {e} _{2}&\omega \times \mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\Omega \mathbf {e} _{1}&\Omega \mathbf {e} _{2}&\Omega \mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}\\&=\Omega A,\end{aligned}}}$$

これは、 A ( t ) が一様回転しない場合でも成り立ちます。したがって、角速度テンソルは次のようになります。

${\displaystyle \Omega ={\frac {dA}{dt}}A^{-1}={\frac {dA}{dt}}A^{\mathsf {T}},}$

直交行列の逆行列はその転置行列であるためです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$

プロパティ

一般に、 n次元空間における角速度は、2階の歪対称テンソルである角変位テンソルの時間微分です。

このテンソルΩはn ( n −1)/2個の独立成分を持ち、これはn次元内積空間の回転のリー群のリー代数の次元である。^[1]

速度ベクトルに関する双対性

3次元では、角速度は擬ベクトルで表すことができます。これは、2階テンソルが3次元の擬ベクトルと双対であるためです。角速度テンソルΩ = Ω ( t ) は歪対称行列であるため、

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}},}$

そのホッジ双対はベクトルであり、これはまさに前の角速度ベクトルです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

Ωの指数

初期座標系A (0) が分かっていて、一定の角速度テンソルΩが与えられている場合、任意のtに対してA ( t ) を得ることができます。行列微分方程式を思い出してください。

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\Omega \cdot A.}$

この方程式を積分すると次のようになります。

${\displaystyle A(t)=e^{Wt}A(0),}$

これは回転のリー群との関連を示しています。

Ωは歪対称である

角速度テンソルが歪対称であること、すなわち、を満たすことを証明します。 ${\displaystyle \Omega ={\frac {dA(t)}{dt}}\cdot A^{\text{T}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{\text{T}}=-\Omega }$

回転行列Aは直交行列であり、転置行列の逆行列であるため、 となる。フレーム行列の場合、方程式の時間微分をとると次のようになる。 ${\displaystyle I=A\cdot A^{\text{T}}}$ ${\displaystyle A=A(t)}$

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+A{\frac {dA^{\text{T}}}{dt}}}$

式を適用すると、 ${\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+\left({\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\Omega +\Omega ^{\text{T}}}$

したがって、Ω はその転置の負であり、歪対称であることを意味します。

座標フリー記述

任意の瞬間において、角速度テンソルは、原点の周りを回転する剛体上の点の 位置ベクトルと速度ベクトル間の線形写像を表します。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\Omega \mathbf {r} .}$

この線形写像と角速度擬似ベクトル の関係は次のようになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Ωは直交変換の微分なので、双一次形式

${\displaystyle B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )=(\Omega \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} }$

は歪対称である。したがって、外積代数の事実を適用して、その 上には唯一の線型形式が存在する。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Lambda ^{2}V}$

${\displaystyle L(\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )=B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )}$

ここではとの外積です。 ${\displaystyle \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} \in \Lambda ^{2}V}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

Lのシャープ L ^＃を取ると

${\displaystyle (\Omega \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =L^{\sharp }\cdot (\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )}$

をL ^＃のホッジ双対として導入し、優先単位3ベクトルが${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\star }(L^{\sharp })}$ ${\displaystyle \star 1}$

${\displaystyle (\Omega \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ={\star }({\star }(L^{\sharp })\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ,}$

どこ

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} :={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} )}$

定義によります。

は任意のベクトルなので、スカラー積の非退化性から次の式が成り立つ。 ${\displaystyle \mathbf {s} }$

${\displaystyle \Omega \mathbf {r} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

ベクトル場としての角速度

剛体（静止系）のスピン角速度テンソルは、位置を（剛体内部の）速度に写像する線型変換であるため、定数ベクトル場とみなすことができます。特に、スピン角速度は、3次元回転群SO(3) のリー代数SO(3)の元に属するキリングベクトル場です。

また、スピン角速度ベクトル場は剛体の 線速度ベクトル場v ( r ) の回転のちょうど半分であることが示される。記号で表すと、

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} }$

剛体に関する考慮事項

剛体（青で表示）内の点Pの位置。R _iは実験座標系を基準とした位置で、中心はO、r _{i は}剛体座標系を基準とした位置で、中心はO ′です。剛体座標系の原点は、実験座標系からのベクトル位置Rにあります。

回転する剛体についても、角速度に関する同様の式が得られます。ここでは、剛体が原点を中心に回転するとは仮定していません。その代わりに、剛体は各瞬間において線速度V ( t ) で運動する任意の点を中心に回転すると仮定します。

これらの方程式を得るには、フレームに接続された剛体を想像し、その剛体に対して固定された座標系を考えるのが便利です。そして、この座標系と固定された実験室フレームとの間の座標変換を検討します。

右図に示すように、実験システムの原点は点O、剛体システムの原点は点O ′ 、 OからO ′へのベクトルはRです。剛体内の粒子 ( i ) は点 P に位置し、この粒子のベクトル位置は実験座標系ではR _i 、剛体座標系では位置r _iです。粒子の位置は次のように書けることがわかります。

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$

剛体の定義特性は、剛体内の任意の2点間の距離が時間的に不変であることです。これは、ベクトルの長さが不変であることを意味します。オイラーの回転定理により、ベクトルを に置き換えることができます。ここで、 は3×3の回転行列であり、は、ある固定された時点、例えばt = 0における粒子の位置です。この置き換えは便利です。なぜなら、剛体が点O ′を中心に回転するとき、時間的に変化するのは回転行列のみであり、基準ベクトルは変化しないからです。また、回転行列の3つの列は、剛体と共に回転する基準フレームの3つのバーソルを表すため、任意の軸を中心とした回転が可視化されます。一方、回転軸がベクトルに平行な場合、ベクトルは回転しません。したがって、ベクトルは軸に垂直な軸を中心とした回転のみを記述します（つまり、ベクトルに平行な角速度擬似ベクトルの成分は見えず、ベクトルに垂直な成分のみを計算できます）。粒子の位置は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

時間の微分を取ると粒子の速度が得られます。

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}$

ここで、V _iは粒子の速度（実験座標系）、VはO ′（剛体座標系の原点）の速度です。は回転行列なので、その逆行列は転置行列です。したがって、を次のように代入します。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}$

または

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\Omega \mathbf {r} _{i}}$

ここで、前の角速度テンソルです。 ${\displaystyle \Omega ={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}$

これは歪対称行列であることが証明できるので、その双対をとって、前の角速度ベクトルとまったく同じ3次元擬似ベクトルを得ることができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

上記の速度式でΩをωに代入し、行列の乗算を等価な外積に置き換えると、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}$

剛体中の点の速度は、剛体内に固定された基準点の速度と、その基準点に対する粒子の軌道角速度の外積項という2つの項に分けられることがわかります。この角速度は、物理学者が剛体の「スピン角速度」と呼ぶもので、原点O を中心とした基準点O ′の軌道角速度とは対照的です。

一貫性

剛体は任意の点の周りを回転すると仮定した。これまで定義してきたスピン角速度は原点の選択に依存しないことを証明する必要がある。これは、スピン角速度が回転する剛体の固有の性質であることを意味する。（この点と、点粒子の軌道角速度との顕著な対比に注意されたい。点粒子の軌道角速度は原点の選択に確実に依存 する。）

スピン角速度が原点の選択に依存しないことの証明

右のグラフをご覧ください。実験座標系の原点はOであり、O ₁とO ₂は剛体上の2つの固定点です。それぞれの速度はそれぞれ と です。O 1とO ₂に対する角速度はそれぞれ とであると仮定します。点PとO _{2 は速度}を1つしか持たないため、 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} _{1}=\mathbf {v} _{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{2}\times \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$

上記の2つから、

${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}_{2}-{\boldsymbol {\omega }}_{1})\times \mathbf {r} _{2}=0}$

点P（および）は任意なので、 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}={\boldsymbol {\omega }}_{2}}$

参照点が瞬間回転軸である場合、剛体上の点の速度の式は角速度項のみを持つ。これは、瞬間回転軸の速度がゼロであるためである。瞬間回転軸の例としては、ドアの蝶番が挙げられる。別の例としては、純粋に転がり運動する球状（またはより一般的には凸状）剛体の接触点が挙げられる。

参考文献

1. John Baez のウェブサイトの古典力学のページにある「回転と角運動量」、特に質問 1 と 2。