ゴムロープの上のアリ

ゴムロープにとまるアリは、一見直感に反する、あるいは逆説的な解法を持つ数学パズルです。ゴムや伸縮性のある紐にとまるミミズ、あるいは尺取虫として描かれることもありますが、パズルの原理は同じです。

パズルの詳細は様々であるが^{[ 1 ] [ 2 ]}、典型的な形式は次のようになる。

アリは、1kmの長さのぴんと張ったゴムロープの上を、毎秒1cmの速度（這っているゴムに対して相対的な速度）で這い始めます。同時に、ロープは毎秒1kmの一定速度で均一に伸び始めます。1秒後には2km、2秒後には3km、というように伸びていきます。アリはロープの端までたどり着くことができるでしょうか？

一見すると、アリはロープの端にたどり着くことは決してないように思えますが、ロープの長さや速度がどんなものであっても、長さと速度が一定であれば、アリは十分な時間があれば必ず端にたどり着くことができます。上記の形式では、8.9 × 10 ^{43 421}年。2つの重要な原理があります。1つ目は、ゴムロープがアリの前後両方で伸びているため、アリがすでに歩いたロープの長さの割合が保存されることです。2つ目は、アリの速度はゴムロープの長さに反比例するため、アリが移動できる距離は調和級数のように無限大であるということです。

アリ（赤い点）が伸縮性のあるロープの上を1cm/秒の一定速度で這っています。ロープは当初4cmの長さで、2cm/秒の一定速度で伸びています。

問題の正式な説明

分析のために、パズルの形式化されたバージョンを以下に示します。

軸上の理想的な弾性ロープを考えてみましょう。ロープの端点は、定数およびに対して、時刻に（開始点）と（目標点）にあります。つまり、目標点は の位置にあり、 が変化するにつれて目標点は一定速度 で移動します。点物体（アリ）はロープ上にあり、 に開始点から始まり、ロープの現在の位置に対して一定速度でロープに沿って移動します。アリが目標点に出会う時刻はあるでしょうか？${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=c+vt}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle t}$

導入部のパズルのステートメントは、 が 1 km、が 1 km/s、 が1 cm/s のときのものと対応しています。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha}$

問題の解決策

離散数学のソリューション

この問題を解くには解析的な手法が必要に思えますが、実際には、ロープが連続的に伸びるのではなく、毎秒突然かつ瞬時に伸びるというバリエーションを考えることで、組み合わせ論的な議論によって答えることができます。実際、この問題はこのような言葉で表現されることもあり、以下の議論はマーティン・ガードナーがScientific American誌に掲載し、後に再版された議論を一般化したものです。^{[ 1 ]}

各秒の前にロープが突然瞬間的に伸びるバリエーションを考えてみましょう。その結果、目標地点は、時刻にから に、時刻にから に、などと移動します。この問題の多くのバージョンでは、ロープは各秒の終わりに伸びますが、各秒の前にロープが伸びるようにすることで、アリの目標達成に不利な状況を作り出しています。そのため、このバリエーションでアリが目標地点に到達できるのであれば、元の問題でも、またはロープが各秒の終わりに伸びるバリエーションでも確実に到達できると確信できます。 ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x=c+v}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=c+v}$ ${\displaystyle x=c+2v}$ ${\displaystyle t=1}$

を、時刻tの時点で蟻が移動した、開始点から目標地点までの距離の割合とします。したがって。最初の 1 秒で蟻は距離 を移動しますが、これは開始点から目標地点までの距離 (最初の 1 秒間に渡って) の割合です。ロープが突然、瞬間的に伸びたとき、蟻はその瞬間のゴムとともに移動するため、変化しません。したがって。次の 1 秒で蟻は再び距離 を移動しますが、これは開始点から目標地点までの距離 (その 1 秒間に渡って)の割合です。したがって。同様に、任意の について、です。 ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle \theta (0)=0}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+v}}}$ ${\displaystyle c+v}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle \theta (1)={\frac {\alpha }{c+v}}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+2v}}}$ ${\displaystyle c+2v}$ ${\displaystyle \theta (2)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta (n)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}+\cdots +{\frac {\alpha }{c+nv}}}$

任意の に対して となるので、 と書くことができることに注意してください 。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+kv}}\geqslant {\frac {\alpha }{kc+kv}}=\left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left({\frac {1}{k}}\right)}$ $${\displaystyle \theta (n)\geqslant \left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}$$

項は部分調和級数であり、 に発散するので、となるような値を見つけることができ、それは となることを意味します。 ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{N}}\geqslant {\frac {c+v}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \theta (N)\geqslant 1}$

したがって、十分な時間が与えられれば、アリは目標地点までの移動を完了します。この解は所要時間の上限を求めるのに使えますが、実際にかかる時間を正確に求めることはできません。

分析的な解決策

上のアニメーションの絶対位置x対時間tのグラフ: アリは、当初 4 cm の長さで 2 cm/s で伸びている伸縮性ロープ (背景は影付き) に沿って 1 cm/s (赤) で這っています。ロープは 8 の等高線で描かれています。漸近線 (紫の破線) は、ロープが伸びていない場合のアリの位置を示しています。アリの位置は指数関数的に変化するため、初期速度の比に関わらず、最終的にはロープの端 (緑) に追いつきます。背景の縞模様の境界は、アリが縞模様に到達して突然停止した場合にとる軌道として視覚化できます。ただし、アリは這っているため、縞模様を横切って、最後にある最後の縞模様に到達します。

重要な観察点は、与えられた時間におけるアリの速度はロープに対する相対的な速度、つまりにアリがいる地点におけるロープの速度を加えたものであるということです。標的点は速度 で移動するため、時刻では です。ロープに沿った他の点は比例した速度で移動するため、時刻 ではロープ上の点は速度 で移動しています。したがって、時刻におけるアリの位置を、時刻 におけるアリの速度を と書くと、次のように書けます。 ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=c+vt}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=X}$ ${\displaystyle {\frac {vX}{c+vt}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y'(t)}$

$${\displaystyle y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}}$$

これは一次線形微分方程式であり、標準的な方法で解くことができます。しかし、そのためにはある程度高度な微積分学の知識が必要です。より単純なアプローチとして、アリの位置を出発点から目的地までの距離に対する割合として考える方法があります。^{[ 2 ]}

ロープに沿って測定された座標を、始点を、終点を とすると、これらの座標では、ロープが伸びても、ロープ上のすべての点は（ に関して）固定された位置のままです。時刻 において、 の点は であり、に関してロープに対しての速度は、に関して の速度に相当します。したがって、時刻におけるアリの位置を に関して と書き、時刻におけるアリの速度を に関して と書くと、次のように書けます。 ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi =0}$ ${\displaystyle \psi =1}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle t\geqslant 0}$ ${\displaystyle x=X}$ ${\displaystyle \psi ={\frac {X}{c+vt}}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+vt}}}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi '(t)}$

$${\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}}$$ $${\displaystyle \therefore \phi (t)=\int {{\frac {\alpha }{c+vt}}\,dt}={\frac {\alpha }{v}}\ln(c+vt)+\kappa }$$ ここでは積分定数です。 ${\displaystyle \kappa }$

さて、これは を与えるので、 となります。 ${\displaystyle \phi (0)=0}$ ${\displaystyle \kappa =-{\frac {\alpha }{v}}\ln {c}}$ ${\displaystyle \phi (t)={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}}$

アリが に目標地点 ( )に到達する場合、 が成り立ち、次の式が得られます。 ${\displaystyle \psi =1}$ ${\displaystyle t=T}$ ${\displaystyle \phi (T)=1}$

$${\displaystyle {\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vT}{c}}\right)}=1}$$

$${\displaystyle \therefore T={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)}$$

したがって、アリが目標点を捉えたときの輪ゴムの長さ（つまり、アリが移動した距離）は次のようになります。 $${\displaystyle y\left(T\right)=c+vT=c\times e^{v/\alpha }.}$$

（ v = 0という単純なケースでは、極限を考え、単純な解 を得ることができます。）これはすべての有限、、( 、) に対して有限の値を与えるため、十分な時間が与えられれば、アリは目標地点まで旅を完了することを意味します。この式は、必要な時間を求めるのに使用できます。 ${\displaystyle \lim _{v\rightarrow 0}T(v)}$ ${\displaystyle T={\tfrac {c}{\alpha }}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

問題は当初述べられたように、、そして、となる。これは、宇宙の推定年齢が約 であることと比較しても、非常に長い時間である。${\displaystyle c=1\,\mathrm {km} }$ ${\displaystyle v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s} }$ ${\displaystyle \alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} }$ ${\displaystyle T=(e^{100\,000}-1)\,\mathrm {s} \approx 2.8\times 10^{43429}\,\mathrm {s} }$ 4 × 10 ¹⁷ 秒である。さらに、この時間後のロープの長さも同様に大きく、2.8 × 10^{43,429 km} なので、アリがこのロープの端に到達できるのは数学的な意味でのみです。

直感

冒頭で述べた状況、つまり1kmの長さのロープが1km/秒の速度で張られており、そのロープに沿ってアリが相対速度1cm/秒で歩いている状況を考えてみましょう。ある瞬間、ロープに2つの目印を付けることができます。1つはアリの現在位置、もう1つは目標地点に1mm近い位置です。アリが一瞬立ち止まると、アリの視点から見ると最初の目印は静止しており、2つ目の目印は1mm/秒以下の一定速度（開始時刻によって異なります）で移動しています。アリがこの2つ目の目印に到達できることは明らかです。所要時間を単純に長めに見積もるために、最初の目印に到達した瞬間にロープがアリにかける力を「オフ」にし、アリが一定速度で前進し続けるように考えてみましょう。この時点での最初のマークの参照フレームに関して、アリは 1 cm/s で移動しており、2 番目のマークは最初は 1 mm 離れて 1 mm/s で移動しており、アリは 1/9 秒でマークに到達します。

必要なのは、アリの位置をロープの長さに対する割合として考えることです。上記の推論から、この割合は常に増加していることがわかりますが、それだけでは十分ではありません。（アリはロープの一部に漸近的に近づき、目標点には決して近づかないかもしれません。）この推論からさらにわかるのは、1/9秒ごとに、アリが歩くロープの長さの割合が（少なくとも現在の時間に反比例する数と同じ大きさで）現在の時間に反比例するということです。これは、目標点が時間に比例して移動しており、この1mmの間隔に対応するロープの長さの割合がそれに反比例するからです。

時間に反比例する速度で増加する量は対数的増加を示し、たとえそれがどんなにゆっくりであっても、際限なく増加します。つまり、アリは最終的に目標地点に到達するということです。

ロープの伸びる速度が時間の経過とともに増加すると、アリは目標物に到達できない可能性があります。たとえば、ロープの一方の端が一様重力場の中を自由落下している重りに取り付けられており、ロープは重りに力を加えていない（つまり、目標点の位置は の形の関数で与えられる）とします。 が1 m、が 9.81 m/s ²で、アリが 1 cm/s で移動すると、アリは常に前進しているにもかかわらず、ロープの長さの 0.71% も移動しません。しかし、アリが 1.41 m/s よりも速い速度で移動する場合、有限時間内にロープの端に到達します。さらに、アリの速度が指数関数的に減少する一方でロープの長さが指数関数的に増加するシナリオもあり、この場合もアリは有限時間内にロープの端に到達します。^{[ 3 ]}${\displaystyle x=c+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

参照

• アキレスと亀
• グッドスタインの定理

参考文献

1. ガードナー、マーティン（ 1982年）。「Aha! Gotcha: paradoxes to puzzle and delight」WHフリーマン・アンド・カンパニー。pp  . 145–146。ISBN 0-7167-1361-6。
2. Graeme (2002年10月1日). 「The long walk」 . The Problem Site . 2008年4月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年4月6日閲覧。
3. マッカートニー、マーク (2013). ゴムロープの延長：収束級数、発散級数、そして積分因子, Int. J. Math. Ed. in Sci. & Tech., 44:4, 554-559. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/0020739X.2012.729615