分配法則

分配法則

正の数の分配法則の可視化
タイプ	法則、置き換えのルール
分野	初等代数学 ブール代数 抽象代数 集合論 命題計算
象徴的な声明	初等代数学 $${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$$ 命題計算: ${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))}$ ${\displaystyle (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$

数学において、二項演算の分配法則は分配法則の一般化であり、初等代数 においては常に等式が成り立つことを主張する 。例えば、初等算術では、次の式 が成り立つ。したがって、乗算は加算に対して分配的である と言える。 $${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$$ $${\displaystyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).}$$

この数の基本的な性質は、複素数、多項式、行列、環、体など、加法と乗法という2つの演算を持つほとんどの代数構造の定義の一部です。また、ブール代数や数理論理学でも見られ、論理積（ と表記）と論理和（ と表記）はそれぞれ他方に分配されます。 ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor \,}$

意味

集合と2つの二項演算子と${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle S,}$

• 演算が左分配的である場合、任意の要素が与えられたとき${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ および }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}$$

• の任意の要素が与えられた場合、この演算は右分配的である。${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ および }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}$$

• そして、その演算が左分配的かつ右分配的であれば、その演算は分配的である。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$

が可換である場合、上記の 3 つの条件は論理的に同等です。 ${\displaystyle \,*\,}$

意味

このセクションの例で使用される演算子は通常の加算 と乗算の演算子である。${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,\cdot .\,}$

示された演算が可換でない場合、左分配性と右分配性の間に区別があります。 ${\displaystyle \cdot}$

$${\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (左分配法) }}}$$ $${\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (右分配法) }}.}$$

どちらの場合でも、分配法則は次のように言葉で説明できます。

和(または差) に係数を掛けるには、各加数 (または被加数と減数) にこの係数を掛け、その結果の積を加算 (または減算) します。

括弧外の演算 (この場合は乗算) が可換である場合、左分配法則は右分配法則を意味し、その逆もまた同様であり、単に分配法則について話すことになります。

右分配法則が「のみ」適用される演算の一例としては除算がありますが、これは可換ではありません。 この場合、左分配法則は適用されません。 $${\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.}$$ $${\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}$$

分配法則は、環（整数環など）や体（有理数体など）の公理の一つです。ここでは、乗算は加法に対して分配法則的ですが、加法は乗算に対して分配法則的ではありません。2つの演算が互いに分配法則的な構造の例としては、集合代数やスイッチング代数などのブール代数が挙げられます。

和の掛け算は、次のように言葉で表すことができます。ある和を別の和で掛け算する場合、ある和の各加数と別の和の各加数を掛け合わせ（符号に注意しながら）、結果として得られる積をすべて合計します。

例

実数

以下の例では、実数集合における分配法則の適用例を示します。初等数学において「乗法」と言えば、通常はこの種の乗法を指します。代数学の観点から見ると、実数は体を形成し、分配法則の妥当性を保証します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

最初の例（暗算と筆算）

暗算では、分配法則が無意識のうちによく用いられます。 つまり、暗算ではまず と を掛け合わせ、その中間結果を足し合わせます。筆算も分配法則に基づいています。 $${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$ ${\displaystyle 6\cdot 16}$ ${\displaystyle 6\cdot 10}$ ${\displaystyle 6\cdot 6}$

2番目の例（変数あり）

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

3番目の例（合計が2つある場合）

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (ab)&=a\cdot (ab)+b\cdot (ab)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$ ここでは分配法則が 2 回適用されており、どの括弧を最初に乗算するかは問題ではありません。

4番目の例

ここでは、分配法則は前の例とは逆の順序で適用されます。 因数はすべての被加数に出現するため、因数分解できます。つまり、分配法則により、次の式が得られます。 $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$ ${\displaystyle 6a^{2}b}$ $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

行列

分配法則は行列の乗算に当てはまります。より正確には、 すべての - 行列と- 行列、そして すべての- 行列と- 行列に 当てはまります。行列の乗算には交換法則が成立しないため、第二法則は第一法則から導かれません。この場合、これらは2つの異なる法則です。 $${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$$ ${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$$ ${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B,C.}$

その他の例

• 対照的に、序数の乗算は左分配的であり、右分配的ではありません。
• 外積はベクトル加算に対して左分配的および右分配的であるが、可換ではない。
• 集合の場合、和集合は積集合に対して分配的であり、積集合 は和集合 に対して分配的である。
• 論理和("or") は論理積("and") に対して分配的であり、その逆も同様です。
• 実数（および任意の全順序集合）の場合、最大演算は最小演算に対して分配的であり、その逆も同様です。$${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ および }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$$
• 整数の場合、最大公約数は最小公倍数に分配され、その逆も同様です。$${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ および }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$$
• 実数の場合、加算は最大演算と最小演算の両方にわたって分配されます。$${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ および }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$$
• 二項式の乗算では、分布はFOIL法^{[ 2 ]}（最初の項が外側、最後の項が内側）と呼ばれることもあります。${\displaystyle ac,}$ ${\displaystyle 広告,}$ ${\displaystyle bc,}$ ${\displaystyle bd}$ ${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• 複素数、四元数、多項式、行列を含むすべての半環では、乗算は加算に対して分配されます。${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• 八元数やその他の非結合的代数を含む、体上のすべての代数では、乗算は加算に対して分配されます。

命題論理

置き換えのルール

標準的な真理関数型命題論理において、論理証明における分配^{[ 3 ] [ 4 ]}は、2つの有効な置換規則を用いて、ある論理式内の特定の論理接続詞の個々の出現を、その論理式の部分式全体にわたるそれらの接続詞の個別適用へと 拡張する。これらの規則は、 以下の通りである。「」（または「 」は、メタ論理記号であり、「証明において と置き換えることができる」または「論理的に と同値である」を表す。） $${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ と }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$$ ${\displaystyle \Leftrightarrow}$ ${\displaystyle \,\equiv ,\,}$

真実の機能的接続詞

分配性は、真理関数型命題論理におけるいくつかの論理接続詞の性質である。以下の論理同値性は、分配性が特定の接続詞の性質であることを示す。以下は真理関数型トートロジーである。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}$$

二重分配

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}$$

分配性と四捨五入

浮動小数点演算などの近似演算では、演算精度の限界により、加算に対する乗算（および除算）の分配法則が成り立たない場合があります。例えば、小数点演算では、有効桁数に関わらず恒等式が成り立ちません。銀行型丸めなどの手法や、使用する精度を上げる方法が場合によっては役立つこともありますが、最終的にはある程度の計算誤差は避けられません。 ${\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$

リングやその他の構造

分配法則は半環、特に環と分配格子の特殊なケースで最もよく見られます。

半環には、一般にととで示される2つの二項演算があり、が分配されなければならないことを要求する。${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+.}$

環は加法的な逆を持つ半環です。

格子は、2つの二項演算を持つ別の種類の代数構造です。 これらの演算のいずれかが他方の演算に分配される場合（例えば がに分配される場合）、逆も成り立ちます（が に分配される場合）。したがって、この格子は分配的と呼ばれます。分配性（順序論）も参照してください。 ${\displaystyle \,\land {\text{ and }}\lor .}$ ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor }$ ${\displaystyle \,\lor \,}$ ${\displaystyle \,\land \,}$

ブール代数は、特別な種類の環（ブール環）または特別な種類の分配格子（ブール格子）として解釈できます。それぞれの解釈は、ブール代数における異なる分配法則を担います。

任意の半環において、分配法則を用いることで、任意の和の積は積の和であることを示すことができる（ただし、すべての積の和が必ずしも和の積であるとは限らない）。一般式は以下の通りである：両側分配法則を持たない構造は、近傍環と近傍体である。これらの演算は通常、右辺では分配法則として定義されるが、左辺では分配法則として定義されない。 $${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n_{i}}a_{i,j}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{m}=1}^{n_{m}}\;\prod _{i=1}^{m}a_{i,j_{i}}}$$

一般化

いくつかの数学分野において、一般化された分配法則が考察されています。これには、上記の条件の緩和や無限演算への拡張が含まれる場合があります。特に順序理論においては、分配法則の重要な変種が数多く存在します。その中には、無限演算を含むもの（例えば無限分配法則）や、二項演算が1つだけ存在する場合に定義されるもの（例えば分配法則（順序理論）の項を参照）などがあります。これには、完全分配格子の概念も含まれます。

順序関係がある場合、上記の等式をまたは に置き換えることで弱めることもできます。当然ながら、これは特定の状況においてのみ意味のある概念となります。この原則の応用として、等式を「以下」に置き換える部分分配性、および等式を「以上」に置き換える 超分配性の概念があります。${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq .}$

圏理論では、と が圏上のモナドである場合、分配法則は、 がモナドの緩い写像であり、 がモナドの共写像であるような自然な変換です。これは、 上のモナド構造を定義するために必要なデータとまったく同じです。乗算写像は、であり、単位写像は です。一般化 された分配法則は、情報理論 の分野でも提案されています。 ${\displaystyle (S,\mu ,\nu )}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}$ ${\displaystyle S\to S}$ ${\displaystyle (S,\lambda )}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}$ ${\displaystyle S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S}$ ${\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .}$

反分配性

逆を任意の群の二項演算に関連付ける普遍的な恒等式、すなわち反転を伴う半群のより一般的な文脈で公理としてとられるものは、 （一項演算としての逆の）反分配的性質と呼ばれることもある。^{[ 5 ]}${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$

加法的に書き表された群の可換性を排除し、片側分配性のみを仮定する近環の文脈においては、（両側）分配元だけでなく、反分配元についても語ることができる。後者は（非可換な）加算の順序を逆にする。左近環（すなわち、左に掛け算すると全ての元が分配される環）を仮定すると、反分配元は右に掛け算すると加算の順序を逆にする：^{[ 6 ]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$

命題論理とブール代数の研究では、反分配法則という用語は、含意が連言と選言を因数分解するときにそれらの間の交換を示すために使用されることがある。^{[ 7 ]}$${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$ $${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

これら 2 つのトートロジーは、ド・モルガンの法則の二重性から直接生じた結果です。

注記

1. Mathonline の二項演算の分配性
2. キム・スチュワード (2011)多項式の乗算、ウェスト・テキサス A&M 大学の仮想数学ラボより
3. エリオット・メンデルソン(1964)『数理論理学入門』 21ページ、D. ヴァン・ノストランド社
4. アルフレッド・タルスキ（1941）『論理学入門』 52ページ、オックスフォード大学出版局
5. クリス・ブリンク;ヴォルフラム・カール。ギュンター・シュミット (1997)。コンピューターサイエンスにおけるリレーショナル手法。スプリンガー。 p.  ４．ISBN 978-3-211-82971-4。
6. Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups . Kluwer Academic Publishers. pp. 62 and 67. ISBN 978-1-4613-0267-4。
7. エリック・CR・ヘナー(1993). 『プログラミングの実践理論』 シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5。

外部リンク

• 整数算術における分配法則のデモンストレーション（ cut-the-knotより）