任意リー代数

数学において、任意 リー代数は、双線型作用素と線型写像（一部の著者は を使用する）を備え、かつ となるような上のU (1)次数付きベクトル空間 であり、以下の公理を満たす: ^[1]${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon L\times L\rightarrow L}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon L\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |\colon L\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta \colon L\to L\otimes L}$ ${\displaystyle \Delta X=X_{i}\otimes X^{i}}$

• $${\displaystyle \varepsilon ([X,Y])=\varepsilon (X)\varepsilon (Y)}$$
• $${\displaystyle [X,Y]_{i}\otimes [X,Y]^{i}=[X_{i},Y_{j}]\otimes [X^{i},Y^{j}]e^{{\frac {2\pi i}{n}}\varepsilon (X^{i})\varepsilon (Y_{j})}}$$
• $${\displaystyle X_{i}\otimes [X^{i},Y]=X^{i}\otimes [X_{i},Y]e^{{\frac {2\pi i}{n}}\varepsilon (X_{i})(2\varepsilon (Y)+\varepsilon (X^{i}))}}$$
• $${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X_{i},Y],[X^{i},Z]]e^{{\frac {2\pi i}{n}}\varepsilon (Y)\varepsilon (X^{i})}}$$

純粋な等級分けされた要素X、Y、およびZの場合。

参考文献

1. Majid, S. (1997年8月21日). 「Anyonic Lie Algebras」. Czechoslov. J. Phys . 47 (12): 1241– 1250. arXiv : q-alg/9708022 . Bibcode :1997CzJPh..47.1241M. doi :10.1023/A:1022877616496.