アペリーの定理
Sum of the inverses of the positive integers cubed is irrational

数学において、アペリーの定理は数論における結果であり、アペリーの定数ζ(3)は無理数である。つまり、

ζ ( 3 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ = 1.2020569 … {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.2020569\ldots }

pとq が整数であるとき、は分数として表すことができない。この定理はロジェ・アペリにちなんで名付けられた。 p / q {\displaystyle p/q}

リーマンゼータ関数の偶数( )における特殊値はベルヌーイ数で無理数であると示すことができるが、奇数( )における関数の値が一般に有理数であるかどうかは未解決のままである(ただし無理数であると推測される)。 2 n {\displaystyle 2n} n > 0 {\displaystyle n>0} 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} n > 1 {\displaystyle n>1}

歴史

レオンハルト・オイラーは、nが正の整数であれば

1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = p q π 2 n {\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}}

ある有理数 に対して、無限級数を と書き表すことで、彼は p / q {\displaystyle p/q} ζ ( 2 n ) {\displaystyle \zeta (2n)}

ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}

ここで、は有理ベルヌーイ数です。 が常に無理数であることが証明されたので、 は すべての正の整数nに対して無理数であることが示されました。 B n {\displaystyle B_{n}} π n {\displaystyle \pi ^{n}} ζ ( 2 n ) {\displaystyle \zeta (2n)}

奇引数のゼータ定数（正の整数nの値）については、πを用いたそのような表現は知られていない。これらの量の比は ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \zeta (2n+1)}

ζ ( 2 n + 1 ) π 2 n + 1 , {\displaystyle {\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}},}

は任意の整数に対して超越的である。[1] n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

このため、奇引数のゼータ定数は当時（そして現在も）超越的であると信じられていたにもかかわらず、無理数であることを示す証明は見つからなかった。しかしながら、1978年6月、ロジャー・アペリは「ζ(3)の不合理性について」と題した講演を行った。講演の中で、彼はζ(3)とが無理数であることを示す証明を概説した。後者は、πを用いた表現に頼るのではなく、前者を論じる際に用いられた手法を簡略化した手法を用いていた。この証明が全く予想外のものであり、アペリのこの主題に対する無関心で非常に不完全なアプローチであったため、聴衆の数学者の多くは証明に欠陥があるとして却下した。しかし、アンリ・コーエン、ヘンドリック・レンストラ、そしてアルフレッド・ファン・デル・ポルテンは、アペリが何かを掴んでいると疑い、その証明を検証しようと試みた。 2ヶ月後、彼らはアペリの証明の検証を終え、8月18日にコーエンは証明の詳細を説明した講演を行った。講演後、アペリ自身が演壇に上がり、自身のアイデアのいくつかの出典を説明した。[2] ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} ζ ( 2 ) {\displaystyle \zeta (2)}

アペリーの証明

アペリーの最初の証明[3] [4]は、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレによるよく知られた無理数基準に基づいていました。これは、互いに素な整数pとqが無限に存在する場合、その数は無理数であると述べているものです ξ {\displaystyle \xi }

| ξ − p q | < c q 1 + δ {\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c}{q^{1+\delta }}}}

ある固定されたcに対して、 δ > 0 となる。

アペリーの出発点は、 ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)}

ζ ( 3 ) = 5 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 3 ( 2 n n ) . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.}

大まかに言えば、アペリーは上記の級数と同程度 に速く収束する級数を定義した。具体的には c n , k {\displaystyle c_{n,k}} ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)}

c n , k = ∑ m = 1 n 1 m 3 + ∑ m = 1 k ( − 1 ) m − 1 2 m 3 ( n m ) ( n + m m ) . {\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}.}

彼はさらに2つの数列を定義し、それらはおおよそ商を持つ。これらの数列は a n {\displaystyle a_{n}} b n {\displaystyle b_{n}} c n , k {\displaystyle c_{n,k}}

a n = ∑ k = 0 n c n , k ( n k ) 2 ( n + k k ) 2 {\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}}

そして

b n = ∑ k = 0 n ( n k ) 2 ( n + k k ) 2 . {\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}.}

数列は基準を適用するのに十分な速さで収束しますが、残念ながら以降は整数ではありません。しかし、アペリーは、この問題を解決するために とに適切な整数を乗算した後でも、収束は依然として無理数であることを保証するのに十分な速さであることを示しました a n b n {\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}} ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} a n {\displaystyle a_{n}} n = 2 {\displaystyle n=2} a n {\displaystyle a_{n}} b n {\displaystyle b_{n}}

後の証明

アペリーの結果から1年以内に、フリッツ・ビューカーズ[ 5]によって代替の証明が見つかりました。彼はアペリーの級数を、シフトされたルジャンドル多項式を含む積分に置き換えました。後にハジコスタスの公式に一般化される表現を用いて、ビューカーズは以下を示しました P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}

∫ 0 1 ∫ 0 1 − log ⁡ ( x y ) 1 − x y P n ~ ( x ) P n ~ ( y ) d x d y = A n + B n ζ ( 3 ) lcm ⁡ [ 1 , … , n ] 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)\,dx\,dy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}

整数A nとB n（数列OEIS :A171484とOEIS :A171485 ）に対して、部分積分と有理数かつに等しいという仮定を用いて、Beukersは最終的に不等式を導出した 。 ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}}

0 < 1 b ≤ | A n + B n ζ ( 3 ) | ≤ 4 ( 4 5 ) n {\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}}

これは矛盾です。なぜなら、右端の式は のときにゼロに近づくため、最終的には を下回らなければならないからです。 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 1 b {\displaystyle {\frac {1}{b}}}

ワディム・ズディリンによるより最近の証明は、アペリーの最初の証明[6]をより彷彿とさせ、ユーリ・ネステレンコによる4番目の証明[7]とも類似点がある。これらの後者の証明は、ゼロに近づくものの、ある正の定数によって下方に有界となる数列を構築することにより、有理数であるという仮定から再び矛盾を導出している。これらの証明は超幾何級数に依存しているため、初期の証明よりもやや分かりにくい。 ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)}

高次のゼータ定数

リーマンゼータ関数の特殊値§奇数の正の整数も参照

アペリーとビューカースは級数表現のおかげで 証明を簡素化することができた。 ζ ( 2 ) {\displaystyle \zeta (2)}

ζ ( 2 ) = 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ( 2 n n ) . {\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}

アペリーの方法が成功したため、次のような性質を持つ 数の探索が行われた。 ξ 5 {\displaystyle \xi _{5}}

ζ ( 5 ) = ξ 5 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 5 ( 2 n n ) . {\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{5}{\binom {2n}{n}}}}.}

もしそのようなが見つかれば、アペリの定理を証明するために用いられた方法は、無理数である証明にも適用できると期待される。しかし残念ながら、広範なコンピュータ検索[8]においてもそのような定数は見つかっておらず、実際には が存在し、かつそれが最大次数25の代数的数である場合、その最小多項式の係数は少なくとも と非常に大きくなることが分かっている。そのため、アペリの証明を高次の奇ゼータ定数に適用するように拡張することは、おそらく有効ではないと思われる。 ξ 5 {\displaystyle \xi _{5}} ζ ( 5 ) {\displaystyle \zeta (5)} ξ 5 {\displaystyle \xi _{5}} 10 383 {\displaystyle 10^{383}}

Wadim ZudilinとTanguy Rivoalの研究により、無限個の数が無理数でなければならないこと[9]、さらに、、、およびのうち少なくとも 1 つの数が無理数でなければならないことが示されています [10] 。彼らの研究では、ゼータ関数の値の線形形式を使用し、それらに基づいて、奇数のゼータ関数の値が張るベクトル空間の次元を制限しています。Zudilin がリストをさらに 1 つの数にまで削減するという希望は実現しませんでしたが、この問題に関する研究は今でも活発に行われています。高次のゼータ定数は物理学に応用されており、量子スピン鎖の相関関数を記述します[ 11 ]。 ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \zeta (2n+1)} ζ ( 5 ) {\displaystyle \zeta (5)} ζ ( 7 ) {\displaystyle \zeta (7)} ζ ( 9 ) {\displaystyle \zeta (9)} ζ ( 11 ) {\displaystyle \zeta (11)}

参考文献

  1. ^ コーネン、ウィンフリード (1989). 「モジュラー形式の周期とモジュラー形式の空間上の有理構造に関する超越性予想」Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 99 (3): 231– 233. doi :10.1007/BF02864395. S2CID  121346325.
  2. ^ A. van der Poorten (1979). 「オイラーが見逃した証明…」(PDF) . The Mathematical Intelligencer . 1 (4): 195– 203. doi :10.1007/BF03028234. S2CID  121589323.
  3. ^ アペリー、R. (1979)。 「ξ(2) と ξ(3) の不合理性」。アステリスク。61：11～ 13。
  4. ^ Apéry, R. ( 1981)、「分数の内挿は継続し、定数の不合理性」、CTHS III 科学セクション紀要、 37–53ページ 
  5. ^ F. Beukers (1979). 「ζ(2)とζ(3)の無理数に関するノート」ロンドン数学会報. 11 (3): 268– 272. doi :10.1112/blms/11.3.268.
  6. ^ Zudilin, W. (2002). 「アペリの定理の初等的証明」. arXiv : math/0202159 .
  7. ^ Ю。 В。 Нестеренко (1996)。 Некоторые замечания о ζ(3). Матем. Заметки (ロシア語)。59 (6): 865–880 .土井: 10.4213/mzm1785。英語訳: Yu. V. Nesterenko (1996). 「ζ(3)に関する若干の考察」. Math. Notes . 59 (6): 625– 636. doi :10.1007/BF02307212. S2CID  117487836.
  8. ^ DH Bailey、J. Borwein、N. Calkin、R. Girgensohn、R. Luke、V. Moll、「Experimental Mathematics in Action」、2007年。
  9. ^ Rivoal、T. (2000)。 「リーマンの機能は、不利益をもたらす無限の価値をもたらします。」Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I。331 (4): 267–270 . arXiv : math/0008051。ビブコード:2000CRASM.331..267R。土居：10.1016/S0764-4442(00)01624-4。S2CID  119678120。
  10. ^ W. ズディリン (2001)。 「数字 ξ(5)、ξ(7)、ξ(9)、ξ(11) のいずれかが無理数です。」ラス。数学。生き残る。56 (4): 774– 776。書誌コード:2001RuMaS..56..774Z。土井：10.1070/RM2001v056n04ABEH000427。
  11. ^ HE Boos; VE Korepin; Y. Nishiyama; M. Shiraishi (2002). 「量子相関と数論」. Journal of Physics A. 35 ( 20): 4443– 4452. arXiv : cond-mat/0202346 . Bibcode :2002JPhA...35.4443B. doi :10.1088/0305-4470/35/20/305. S2CID  119143600.
  • Huylebrouck, Dirk (2001). 「π, ln2, ζ(2), ζ(3) の無理数証明における類似性」(PDF) . Amer. Math. Monthly . 108 (3): 222– 231. doi :10.2307/2695383. JSTOR  2695383
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