アポロニウスの定理

緑のエリア + 青のエリア = 赤のエリア

ピタゴラスの特別なケース：
緑の領域 = 赤の領域

幾何学において、アポロニウスの定理は、三角形の中線の長さと辺の長さを関連付ける定理です。任意の三角形の任意の2辺の平方の和は、3番目の辺の半分の平方の2倍と、3番目の辺を二等分する中線上の平方の2倍の合計に等しいとされています。

この定理は、アレクサンドリアのパップスのコレクション（紀元後 340年頃）の命題VII.122に記されている。これはペルガのアポロニウスの失われた論文『Plane Loci』（紀元前200年頃）に収録されていた可能性があり、ロバート・シムソンによる1749年の同著の再構成にも含まれていた。^[1]

定理の記述と他の定理との関係

任意の三角形において、が中線（） である場合、これはスチュワートの定理の特別な場合 です。中線が に垂直な二等辺三角形の場合、この定理は三角形（または三角形）のピタゴラスの定理に帰着します。平行四辺形の対角線が互いに二等分するという事実から、この定理は平行四辺形の法則と等価です。 ${\displaystyle ABC,}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle |BD|=|CD|}$ $${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|BD|^{2}+|AD|^{2}).}$$ ${\displaystyle |AB|=|AC|,}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle ADB}$ ${\displaystyle ADC}$

証拠

アポロニウスの定理の証明

この定理は、スチュワートの定理の特別な場合として証明することも、ベクトルを用いて証明することもできます（平行四辺形の法則を参照）。以下は、余弦定理を用いた独立した証明である。^[2]

三角形の辺が中線から辺まで引かれ、中線によって形成される線分の長さが とすると、の半分になります。との間に形成される角が とで、を含み、を含みます。と の補角は と です。と の余弦定理は次式で示されます。 ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime },}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime}}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime}}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \theta ^{\prime}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$$

必要に応じて、最初の方程式と 3 番目の方程式を追加します 。 $${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$

参照

• 中線の長さに関する公式 – 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分

参考文献

1. オスターマン、アレクサンダー；ワーナー、ゲルハルト (2012). 「アポロニウス＝パップス＝スチュワートの定理」.歴史から読み解く幾何学. シュプリンガー. § 4.5, pp. 89–91. doi :10.1007/978-3-642-29163-0_4.
2. ゴッドフリー、チャールズ、シドンズ、アーサー・ウォーリー (1908). 現代幾何学. 大学出版局. p. 20.

さらに読む

• アレン、フランク・B. (1950). 「幾何学における一般化のための指導」.数学教師. 43 : 245–251 . JSTOR  27953576.
• バント、ルーカス、NH; ジョーンズ、フィリップ、S; ベディエント、ジャック、D (1976). 『初等数学の歴史的ルーツ』 エングルウッド・クリフス、ニュージャージー州: プレンティス・ホール、pp.  198– 199. ISBN 0133890155。ドーバー再版、1988年。
• Dlab, Vlastimil; Williams, Kenneth S. (2019). 「ピタゴラスの定理の多面性」. The College Mathematics Journal . 50 (3): 162– 172. JSTOR  48661800.
• ゴッドフリー、チャールズ、シドンズ、アーサー・W. (1908). 現代幾何学. ケンブリッジ大学出版局. pp.  20–21 .
• Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T.; Martini, Horst (2022). 「高次元幾何学における特定の問題への入り口としての中位三角形定理」. Mathematische Semesterberichte . 69 : 19– 40. doi :10.1007/s00591-021-00308-5.
• ロウズ、C. ピーター (2013). 「言葉を使わない証明：平行四辺形による三角形の中線の長さ」.数学マガジン. 86 (2): 146. doi :10.4169/math.mag.86.2.146.
• ロペス、アンドレ・フォン・ボリーズ (2024). 「ヘロンの公式によるアポロニウスの定理」.数学マガジン. 97 (3): 272– 273. doi :10.1080/0025570X.2024.2336425.
• ネルセン、ロジャー・B. (2024). 「プトレマイオスの定理を介したアポロニウスの定理」.数学マガジン. doi :10.1080/0025570X.2024.2385255.
• ローズ、マイク (2007). 「27. アポロニウスの定理についての考察」. リソースノート.学校数学. 36 (5): 24– 25. JSTOR  30216074.
• ストークス, GDC (1929). 「アポロニウスの定理の解法」.数学ノート. 24 : xviii. doi :10.1017/S1757748900001973.
• Surowski, David B. (2010) [2007]. 『高校数学上級（講義ノート）』（第9版）. 上海アメリカンスクール. p. 27.