アルキメデスの原理
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アルキメデスの原理は、流体中に完全に浸漬された物体に作用する浮力は、その物体が押しのけた流体の重量に等しいというものである。[ 1 ]アルキメデスの原理は、流体力学の基礎となる物理法則である。シラクサのアルキメデスによって定式化された。[ 2 ]

説明

アルキメデスは『浮遊体について』の中で、次のように述べている（紀元前246年頃）。

流体または液体に完全にまたは部分的に浸された物体は、その物体が押しのけた流体の重さに等しい力によって浮かせられます。

アルキメデスの原理により、流体に部分的または完全に浸かっている浮遊物体の浮力を計算できます。物体にかかる下向きの力は、単にその重さです。物体にかかる上向きの力、つまり浮力は、上記のアルキメデスの原理で述べられている力です。したがって、物体にかかる正味の力は、浮力とその重さの大きさの差です。この正味の力が正の場合、物体は浮き上がり、負の場合、物体は沈み、ゼロの場合、物体は中立浮力、つまり浮くことも沈むこともなくその場に留まります。簡単に言うと、アルキメデスの原理は、物体が流体に部分的または完全に浸かっている場合、その物体の浸かっている部分が押しのけた流体の重さに等しい重量の見かけ上の損失を経験すると述べています。

式

浮遊物の重さ F pと浮力 F a (画像のテキストではF b ) は、大きさが等しくなければなりません。

直方体を流体に浸漬し、上面と下面が重力方向（立方体の伸長方向にわたって一定と仮定）に直交している状況を考えてみましょう。流体は各面に垂直方向の力を及ぼしますが、浮力に寄与するのは上面と下面の垂直方向の力のみです。上面と底面の圧力差は、高さ（浸水深の差）に正比例します。圧力差に面の面積を掛けると、直方体にかかる正味の力、つまり浮力が得られ、その大きさは直方体が押しのけた流体の重量に等しくなります。任意の大きさの直方体を十分な数だけ集めることで、この考え方は不規則な形状にも拡張でき、水中に沈んだ物体の形状に関わらず、浮力は押しのけた流体の重量に等しくなります。

 置換された流体の重量＝真空中の物体の重さ−液体中の物体の見かけの重さ{\displaystyle {\text{押しのけられた流体の重さ}}={\text{真空中の物体の重さ}}-{\text{流体中の物体の見かけの重さ}}\,}

押しのけられた流体の重量は、押しのけられた流体の体積に正比例します（周囲の流体の密度が均一な場合）。流体中の物体の見かけの重量は、物体に作用する力（浮上力）によって減少します。簡単に言えば、この原理は、物体に働く浮力（F b）は、物体が押しのけた流体の重量、つまり流体の密度（ρ ）と浸水体積（V）の積に重力（g）を掛け合わせたものに等しいことを示しています[ 1 ] [ 3 ]。

この関係は次の式で表すことができます。

F1つの＝ρグラムV{\displaystyle F_{a}=\rho gV}

ここで、は水中に沈んだ物体に作用する浮力、は 流体の密度、は押しのけられた流体の体積、は重力加速度です。したがって、質量が同じで完全に水中に沈んだ物体の中では、体積が大きいほど浮力が大きくなります。 F1つの{\displaystyle F_{a}}ρ{\displaystyle \rho }V{\displaystyle V}グラム{\displaystyle g}

真空中で重力が作用している紐で吊るされた岩石の重さが10ニュートンであるとします。岩石を水中に沈めると、3ニュートンの重さの水を押しのけたとします。すると、岩石が紐にかける力は、10ニュートンから浮力の3ニュートンを引いた値、つまり10 − 3 = 7ニュートンになります。浮力は物体の見かけの重さを軽減します。一般的に、物体を水中から引き上げるよりも、水中を持ち上げることの方が簡単です。

完全に水没した物体の場合、アルキメデスの原理は次のように言い換えることができます。

見かけの水中重量＝物体の重さ−置換された流体の重量{\displaystyle {\text{見かけの浸水重量}}={\text{物体の重量}}-{\text{押しのけられた流体の重量}}\,}

次に、相互体積によって拡大された重量の商に挿入されます

物体の密度流体の密度＝物体の重さ置換された流体の重量{\displaystyle {\frac {\text{物体の密度}}{\text{流体の密度}}}={\frac {\text{物体の重量}}{\text{押しのけられた流体の重量}}}}

以下の式が得られます。流体の密度に対する浸漬物体の密度は、体積を測定することなく簡単に計算できます。

物体の密度流体の密度＝物体の重さ物体の重さ−見かけの水中重量。{\displaystyle {\frac {\text{物体の密度}}{\text{流体の密度}}}={\frac {\text{物体の重さ}}{{\text{物体の重さ}}-{\text{見かけの水中重量}}}}.\,}

(この式は、たとえば、水圧計や静水量計の測定原理を説明するために使用されます。)

例: 木を水に落とすと、浮力によって木は浮きます。

例：走行中の車内のヘリウム風船。速度を上げたりカーブを曲がったりすると、空気は車の加速とは逆方向に流れます。しかし、浮力により風船は空気に押し出され、車の加速と同じ方向に流れていきます。

物体が液体に浸されると、液体は押しのけられた液体の重さに比例する上向きの力（浮力）を及ぼします。したがって、物体に作用する正味の力は、物体の重さ（下向きの力）と押しのけられた液体の重さ（上向きの力）の差に等しくなります。この2つの重さ、つまり力が等しいとき、平衡状態、つまり中性浮力が達成されます。

力と平衡

平衡状態にある流体内の圧力を計算する式は次のとおりです。

f+分割σ＝0{\displaystyle \mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0}

ここで、 fは流体に作用する外場の力の密度、σはコーシー応力テンソルである。この場合、応力テンソルは恒等テンソルに比例する。

σ私j＝−pδ私j。{\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,}

ここでδ ijはクロネッカーのデルタです。これを用いると、上記の式は次のようになります。

f＝∇p。{\displaystyle \mathbf {f} =\nabla p.\,}

外部力場が保存的であると仮定すると、それはあるスカラー値関数の負の勾配として表すことができます。

f＝−∇Φ。{\displaystyle \mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,}

それから：

∇（p+Φ）＝0⟹p+Φ＝絶え間ない。{\displaystyle \nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{定数}}.\,}

したがって、流体の開放表面の形状は、適用される外部保存力場の等電位面と等しくなります。z軸を下向きに向けます。この場合、場は重力なので、Φ = − ρ f gzとなります。ここで、 gは重力加速度、ρ fは流体の質量密度です。表面（z軸がゼロ）での圧力をゼロとすると、定数はゼロになります。したがって、重力を受ける流体内部の圧力は、

p＝ρfグラムz。{\displaystyle p=\rho _{f}gz.\,}

したがって、圧力は液体の表面からその内部までの距離（z）を表すため、液体の表面下の深さに応じて増加します。垂直方向の深さがゼロでない物体は、その上部と下部で圧力が異なり、下部の圧力の方が大きくなります。この圧力差が上向きの浮力を生み出します。

流体の内圧が既知であるため、物体に作用する浮力は簡単に計算できます。物体に作用する力は、流体と接触する物体の表面上で応力テンソルを積分することで計算できます。

B＝∮σdあ。{\displaystyle \mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .}

面積分はガウスの定理を用いて体積積分に変換できる。

B＝∫分割⁡σdV＝−∫fdV＝−ρfグラム∫dV＝−ρfグラムV{\displaystyle \mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V}

ここで、Vは流体と接触する体積の尺度であり、流体は流体の外側にある物体の部分に力を及ぼさないため、物体の液面下にある部分の体積となります。

浮力の大きさは、次の議論からもう少し理解できるかもしれません。任意の形状と体積Vの物体が液体に囲まれているとします。液体が液体内の物体に及ぼす力は、その物体と同じ体積を持つ液体の重さに等しくなります。この力は重力と反対方向に作用し、大きさは次のようになります。

B＝ρfV表示グラム、{\displaystyle B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,}

ここで、ρ fは流体の密度、 V dispは変位した液体の体積、gは問題の位置における 重力加速度です。

この体積の液体を全く同じ形状の固体に置き換えた場合、液体が及ぼす力は上記と全く同じになるはずです。言い換えれば、水中に沈んだ物体にかかる「浮力」は重力と反対方向に働き、その大きさは

B＝ρfVグラム。{\displaystyle B=\rho _{f}Vg.\,}

アルキメデスの原理が適用できる流体静力学の状況では、物体に働く正味の力はゼロでなければならない。つまり、正味の力は浮力と物体の重量の合計である。

Fネット＝0＝メートルグラム−ρfV表示グラム{\displaystyle F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,}

（拘束も動力も受けていない）物体の浮力がその重量を超えると、その物体は浮上する傾向があります。重量が浮力を超える物体は沈む傾向があります。水中に沈んだ物体が加速中に受ける上向きの力の計算は、アルキメデスの原理だけでは不可能です。浮力を含む物体の力学を考慮する必要があります。物体が流体の底まで完全に沈むか、表面に浮上して安定すると、アルキメデスの原理のみを適用できます。浮いている物体の場合、水中に沈んでいる体積のみが水を押しのけます。沈んでいる物体の場合、物体全体が水を押しのけ、さらに底からの反作用力も加わります。

アルキメデスの原理を単独で使用するには、問題の物体が平衡状態にある必要があります（物体にかかる力の合計がゼロである必要があります）。したがって、

メートルグラム＝ρfV表示グラム、{\displaystyle mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,}

そしてそれゆえ

メートル＝ρfV表示。{\displaystyle m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,}

浮遊物が沈む深さとそれが押しのける流体の体積は、地理的な場所に関係なく、重力場とは無関係であることを示しています。

（注：問題の流体が海水の場合、密度（ ρ ）はどの場所においても同じではありません。このため、船舶にはプリムソル線が表示されることがあります。）

浮力と重力以外の力が作用する場合もあります。これは、物体が拘束されている場合、または物体が固体の床に沈む場合に当てはまります。浮こうとする物体は、完全に水中に沈んだ状態を維持するために張力拘束力Tを必要とします。沈もうとする物体は、最終的には固体の床から垂直拘束力Nを受けることになります。拘束力は、流体中の重量を測定するバネ秤の張力であり、見かけの重量を定義するものです。

そうでなければ物体が浮いてしまう場合、それを完全に水中に沈める張力は次のようになります。

T＝ρfVグラム−メートルグラム。{\displaystyle T=\rho _{f}Vg-mg.\,}

沈下物体が固い床に着地すると、次の垂直方向の力が作用します。

北＝メートルグラム−ρfVグラム。{\displaystyle N=mg-\rho _{f}Vg.\,}

物体の浮力を計算する別の方法として、その物体の空気中における見かけの重さ（ニュートン単位）と水中における見かけの重さ（ニュートン単位）を求める方法があります。この情報を用いて、物体が空気中にいるときに作用する浮力を求めるには、以下の式を適用します。

浮力 = 空間内の物体の重さ − 液体に浸された物体の重さ

最終結果はニュートン単位で測定されます。

空気の密度は、ほとんどの固体や液体に比べて非常に小さいです。そのため、空気中の物体の重量は、真空中の実際の重量とほぼ同じです。空気中の測定では、ほとんどの物体の浮力は無視されます。なぜなら、空気中の浮力による誤差は通常ごくわずかだからです（風船や軽い泡など、平均密度が非常に低い物体を除き、通常は0.1%未満です）。

簡略化されたモデル

水中立方体の圧力分布
水中に沈んだ立方体にかかる力
任意の体積を立方体の集合として近似する

接触面積上の圧力の積分については、次のように簡単に説明できます。

上面が水平な状態で液体に浸された立方体を考えてみましょう。

側面の面積は同じで、深さの分布も同じであるため、圧力の分布も同じであり、その結果、各側面の表面の平面に垂直に働く静水圧から生じる合計の力も同じになります。

向かい合う辺が 2 組あるため、結果として生じる水平方向の力は両方の直交方向でバランスし、結果として生じる力はゼロになります。

立方体に働く上向きの力は、底面の圧力をその面積で積分したものです。表面の深さは一定なので、圧力は一定です。したがって、立方体の水平底面の面積で圧力を積分すると、その深さにおける静水圧に底面の面積を乗じた値になります。

同様に、立方体にかかる下向きの力は、上面の圧力をその面積で積分したものになります。上面の深さは一定であるため、圧力は一定です。したがって、立方体の水平上面の面積で圧力を積分すると、その深さにおける静水圧に上面の面積を乗じた値になります。

これは立方体なので、上面と底面は形と面積が同じであり、立方体の上部と下部の圧力差は深さの差に正比例し、結果として生じる力の差は、立方体が存在しない場合に立方体の体積を占める流体の重量と正確に等しくなります。

これは、外力がない場合、立方体にかかる上向きの力はその立方体の体積に収まる流体の重量に等しく、立方体にかかる下向きの力はその重量であることを意味します。

この類推は、立方体のサイズの変化にも当てはまります。

2つの立方体を並べて、それぞれの面が接触している場合、接触面の形状、大きさ、圧力分布が等しいため、接触している面または部分に作用する圧力と合力は釣り合い、無視することができます。したがって、接触している2つの立方体の浮力は、それぞれの立方体の浮力の合計となります。この類推は、任意の数の立方体にも適用できます。

あらゆる形状の物体は、互いに接触する立方体の集合として近似することができ、立方体のサイズが小さくなるほど、近似の精度は向上します。無限に小さい立方体の場合の極限ケースは、正確な等価性です。

角度の付いた表面でも、結果として生じる力を直交する成分に分割してそれぞれを同じように扱うことができるため、この類似性は損なわれません。

改良点

アルキメデスの原理は物体に作用する表面張力（毛細管現象）を考慮していません。 [ 4 ]さらに、アルキメデスの原理は複雑な流体では成り立たないことが分かっています。[ 5 ]

アルキメデスの原理には、底部（または側面）の場合と呼ばれる例外があります。これは、物体の側面が、それが浸漬されている容器の底部（または側面）に接触しており、その側面から液体が浸入しないという場合に発生します。この場合、その側面から液体が浸入しないため、圧力の対称性が破れ、正味の力はアルキメデスの原理とは異なることが分かっています。[ 6 ]

浮選の原理

アルキメデスの原理は、流体の浮力と変位を示しています。しかし、アルキメデスの原理の概念は、物体がなぜ浮くのかを考える際にも適用できます。アルキメデスの『浮体について』の命題5は、次のように述べています。

浮遊する物体は、自身の重量の液体を押しのけます。

— シラクサのアルキメデス[ 7 ]

言い換えれば、液体の表面に浮かんでいる物体 (ボートなど) や流体に沈んでいる物体 (水中の潜水艦や空中の飛行船など) の場合、押しのけられた流体の重さが物体の重さと等しくなります。したがって、浮いているという特殊なケースでのみ、物体に作用する浮力が物体の重さと等しくなります。1 トンの固体鉄のブロックを考えてみましょう。鉄は水の約 8 倍の密度があるため、水中に沈んだときに押しのけられる水は 1/8 トンにすぎず、浮かんでいるには不十分です。同じ鉄のブロックをボウルに形を変えたとします。重さは依然として 1 トンですが、水に入れると、ブロックであったときよりも多くの量の水を押しのけます。鉄のボウルが深く沈めば沈むほど、押しのけられる水が多くなり、作用する浮力も大きくなります。浮力が 1 トンに等しくなると、それ以上沈みません。

船は、自重と等しい重さの水を押しのけると、浮きます。これはしばしば「浮力の原理」と呼ばれます。浮遊物は、自重と等しい重さの流体を押しのけます。すべての船舶、潜水艦、飛行船は、少なくとも自重と等しい重さの流体を押しのけるように設計されなければなりません。1万トンの船の船体は、1万トンの水を排水しつつ、沈没を防ぐために水面上に船体の一部を残すのに十分な幅、長さ、深さで造られなければなりません。船体を埋め尽くす波に対抗するために、余分な船体が必要なのです。そうしないと、船体の質量が増加し、沈没の原因となります。空中の船舶でも同じことが言えます。100トンの飛行船は、100トンの空気を押しのける必要があります。排水量が多いと浮上し、排水量が少なすぎると沈没します。飛行船がその重量とちょうど同じだけ移動すると、一定の高度でホバリングします。

浮力の原理と、水中に沈んだ物体が自身の体積と等しい体積の流体を押しのけるという概念は、アルキメデスの原理と関連はあるものの、アルキメデスの原理ではありません。前述のように、アルキメデスの原理は、浮力と押しのけた流体の重量を等しくするものです。

アルキメデスの原理に関するよくある混乱点の一つは、押しのけられた体積の意味です。一般的な実証実験では、物体が水面に浮いているときに水位の上昇を測定し、押しのけられた水の量を計算します。この測定方法は、浮力のある水中物体ではうまくいきません。なぜなら、水位の上昇は物体の体積に直接関係しており、質量には関係していないからです（物体の有効密度が流体の密度と完全に一致する場合を除く）。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

ユーレカ

アルキメデスは、王冠が純金でできているかどうかを判別する方法を思いついたとき、「ユーレカ！」と叫んだと伝えられています。広く知られている伝説では、彼はアルキメデスの原理を用いておらず、王冠の体積を測るために水のみを用いていましたが、この原理を利用した別の方法があります。空中の秤の上で王冠と純金を秤に載せ、その後秤を水中に入れるのです。アルキメデスの原理によれば、王冠の密度が純金の密度と異なる場合、秤は水中でバランスを崩すことになります。[ 11 ] [ 12 ]

参照

参考文献

  1. ^ a b「浮力とは何か？」カーンアカデミー。
  2. ^ Acott, Chris (1999). 「ダイビング「弁護士」たち：彼らの人生についての簡潔な概要」 .南太平洋水中医学協会誌. 29 (1). ISSN 0813-1988 . OCLC 16986801. 2011年7月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2009年6月13日閲覧。  
  3. ^ 「浮力」bu.edu . 2023年9月3日閲覧。
  4. ^ Falkovich, G.; Weinberg, A.; Denissenko, P.; Lukaschuk, S. (2005年6月23日). 「定在波における浮遊物のクラスタリング：毛細管現象による親水性粒子または疎水性粒子の波上の特定点への集合」(PDF) . Nature . 435 (7045): 1045– 1046. doi : 10.1038/4351045a . PMID 15973398 . 
  5. ^ウィルソン、R. マーク (2012). 「アルキメデスの原理が更新される」. Physics Today . 65 (9): 15. Bibcode : 2012PhT....65i..15W . doi : 10.1063/PT.3.1701 .
  6. ^ Lima, FM S. (2012). 「表面積分を用いたアルキメデスの浮力の法則の検証」. European Journal of Physics . 33 (1): 101– 113. arXiv : 1110.5264 . Bibcode : 2012EJPh...33..101L . doi : 10.1088/0143-0807/33/1/009 . S2CID 54556860 . 
  7. ^ 「アルキメデスの著作」ケンブリッジ大学出版局、1897年、257頁。 2010年3月11日閲覧。液体よりも軽い固体は、液体の中に置かれると、その液体に深く沈み込み、固体の重量が押しのけられた液体の重量と等しくなります。
  8. ^ Mohindroo, KK (1997). 『物理学の基礎原理』Pitambar Publishing. pp.  76– 77. ISBN 978-81-209-0199-5。
  9. ^レディッシュ、エドワード F.;ヴィセンティーニ、マチルデ。フィシカ、イタリア社会 (2004)。体育教育に関する研究。 iOSを押します。 p. 358.ISBN​ 978-1-58603-425-2。
  10. ^概念実証carpeastra.co.uk
  11. ^ 「黄金の王冠」physics.weber.edu .
  12. ^ "「『ユリーカ！』アルキメデスと黄金の王冠の物語」。ずっと昔。2014年5月16日。 2019年6月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年5月30日閲覧。
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