アラケロフ理論
数学理論

数学において、アラケロフ理論（またはアラケロフ幾何学）は、ディオファントス幾何学へのアプローチであり、シュレン・アラケロフにちなんで名付けられました。高次元の ディオファントス方程式の研究に用いられます。

背景

アラケロフ幾何学の背景にある主な動機は、素イデアルと有限な場所の間に対応があるが、アルキメデスの付値によって与えられる無限遠 の場所も存在するということである。これには対応する素イデアルがない。アラケロフ幾何学は、無限遠に素数がある完備空間にコンパクト化する手法を与える。アラケロフの独自の構成はそのような理論の 1 つを研究するもので、相対次元 1 のスキームに対して、無限遠でのすべての付値に対してリーマン面まで拡張されるような因子の定義が構築される。さらに、彼はこれらのリーマン面に、の複素点であるX ( C )上の正則ベクトル束のエルミート計量を備える。この追加のエルミート構造は、スキームSpec( Z )が完備多様体にならないことの代替として適用される。 p ∈ スペック （ Z ） {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )} v p : 質問 ∗ → R {\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} } v ∞ {\displaystyle v_{\infty}} スペック （ Z ） {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )} スペック （ Z ） ¯ {\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}} X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} スペック （ お K ） {\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} X ∞ ＝ X （ C ） {\displaystyle X_{\infty}={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )} X {\displaystyle X}

F 1幾何学の基礎となる を拡張した完全な空間を構築するための他の手法も存在することに注意してください。 スペック （ Z ） {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}

除数の本来の定義

を体、その整数環、および上の種数曲線とし、これは算術曲面と呼ばれる特異でないモデルとする。また、を体の包含（これは無限遠点を表すと考えられる）とする。また、 を基底から への付随するリーマン面とする。このデータを用いて、 c-因子を形式的な線型結合として定義することができる。ここでは余次元 1、、の既約閉部分集合であり、和は のすべての実埋め込み上の和と、各複素埋め込みのペアに対する 1 つの埋め込み上の和を表す。c-因子の集合は群 を形成する。 K {\displaystyle K} お K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} X {\displaystyle X} グラム {\displaystyle g} K {\displaystyle K} X → スペック （ お K ） {\displaystyle {\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})} ∞ : K → C {\displaystyle \infty :K\to \mathbb {C} } X ∞ {\displaystyle X_{\infty }} C {\displaystyle \mathbb {C} } D = ∑ i k i C i + ∑ ∞ λ ∞ X ∞ {\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }} C i {\displaystyle C_{i}} X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} k i ∈ Z {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} } λ ∞ ∈ R {\displaystyle \lambda _{\infty }\in \mathbb {R} } ∑ ∞ λ ∞ X ∞ {\displaystyle \sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }} K → R {\displaystyle K\to \mathbb {R} } K → C {\displaystyle K\to \mathbb {C} } Div c ( X ) {\displaystyle {\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})}

結果

アラケロフ (1974, 1975) は、数体上の滑らかな射影曲線に付随する算術曲面上の交差理論を定義し、函数体の場合に知られている特定の結果を数体の場合にも証明することを目指した。ゲルト・ファルティングス (1984) は、この文脈において、リーマン・ロッホの定理、ノイマンの公式、ホッジ指​​数定理、双対層の自己交差の非負性といった結果を確立することで、アラケロフの研究を拡張した。

アラケロフ理論は、ポール・ヴォイタ(1991) がモーデル予想の新しい証明を与えるために使用され、またゲルト・ファルティングス(1991) がセルジュ・ラングのモーデル予想の一般化 を証明する際にも使用された。

ピエール・ドリーニュ(1987) は、アラケロフによって整数環のスペクトル 上の算術曲面上に定義された交差ペアリングを定義するための、より一般的な枠組みを開発した。ショウ・ウー・チャン (1992) は正直線束の理論を発展させ、算術曲面に対するナカイ・モイシェゾン型定理を証明した。チャン (1993, 1995a, 1995b) とルシアン・スピロ、エマニュエル・ウルモ、そしてチャン (1997)による正直線束の理論の更なる発展は、ウルモ (1998) とチャン (1998) によるボゴモロフ予想の証明に結実した。[1]

アラケロフの理論は、アンリ・ジレとクリストフ・スーレによって高次元に一般化された。すなわち、ジレとスーレは数論多様体上の交差ペアリングを定義した。ジレとスーレの主要な結果の一つは、ジレ＆スーレ (1992) の数論的リーマン・ロッホの定理であり、これはグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の数論的多様体への拡張である。これに対し、数論多様体Xの数論的チョウ群CH p ( X )を定義し、数論的チョウ群に値を取るX上のエルミートベクトル束のチャーン類を定義する。数論的リーマン・ロッホの定理は、チャーン類が数論多様体の適切な写像の下でベクトル束のプッシュフォワードに対してどのように振舞うかを記述する。この定理の完全な証明は、最近になって Gillet、Rössler、Soulé によって発表されました。

アラケロフの数論曲面に対する交差理論は、ジャン＝ブノワ・ボスト（1999）によってさらに発展させられました。ボストの理論は、対数特異点を除いてソボレフ空間に属するグリーン関数の利用に基づいています。この文脈において、ボストは数論的ホッジ指数定理を導き、これを用いて数論曲面に対するレフシェッツ定理を導きました。 L 1 2 {\displaystyle L_{1}^{2}}

算術チャウグループ

余次元pの算術サイクルとは、 ( Z ,  g )の組であり、 Z∈Zp  ( X )はX上のpサイクル、gはZのグリーンカレント（グリーン関数の高次元一般化）である。余次元pの算術チャウ群とは、この群を特定の「自明な」サイクルによって生成される部分群で割ったものである。[2] C H ^ p ( X ) {\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}

算術的リーマン・ロッホ定理

通常のグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、チャーン指標ch が層のプッシュフォワードに対してどのように振舞うかを記述し、ch( f * ( E ))= f * (ch(E)Td X / Y ) と述べる。ここでfはXからYへの真射、Eはf上のベクトル束である。算術的リーマン・ロッホの定理も同様であるが、トッド類が特定の冪級数で乗算される点が異なる。算術的リーマン・ロッホの定理は 、 c h ^ ( f ∗ ( [ E ] ) ) = f ∗ ( c h ^ ( E ) T d ^ R ( T X / Y ) ) {\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}

  • XとYは、通常の射影演算スキームです。
  • fはXからYへの滑らかな真写像である
  • EはX上の算術ベクトル束です。
  • c h ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}} 算術チャーン文字です。
  • T X/Yは相対接線束である
  • T d ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}} 算術トッドクラスである
  • T d ^ R ( E ) {\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)} は T d ^ ( E ) ( 1 − ϵ ( R ( E ) ) ) {\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}
  • R ( X ) は、形式冪級数に関連付けられた加法特性類である。 ∑ m > 0 m  odd X m m ! [ 2 ζ ′ ( − m ) + ζ ( − m ) ( 1 1 + 1 2 + ⋯ + 1 m ) ] . {\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}

参照

注記

  1. ^ Leong, YK (2018年7月～12月). 「Shou-Wu Zhang: 数論と算術代数幾何学」(PDF) . Imprints . No. 32. シンガポール国立大学数学科学研究所. pp.  32– 36. 2019年5月5日閲覧。
  2. ^ マニン＆パンチシュキン（2008）pp.400–401

参考文献

  • 原著論文
  • アラケロフ幾何学プレプリント アーカイブ
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