アーノルド予想

アーノルド予想は数学者ウラジミール・アーノルドにちなんで名付けられ、微分幾何学の一分野であるシンプレクティック幾何学における数学的予想である。^[1]

強いアーノルド予想

を閉（境界のないコンパクト）シンプレクティック多様体とする。任意の滑らかな関数 に対して、シンプレクティック形式は上にハミルトンベクトル場を誘導し、これは式 ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle H:M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega (X_{H},\cdot )=dH.}$

この関数はハミルトン関数と呼ばれます。 ${\displaystyle H}$

滑らかな1-パラメータのハミルトン関数族 , があるとする。この族は上に1-パラメータのハミルトンベクトル場族を誘導する。ベクトル場族は1-パラメータの微分同相写像族 に積分される。各個体はのハミルトン微分同相写像と呼ばれる。 ${\displaystyle H_{t}\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle X_{H_{t}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:M\to M}$ ${\displaystyle \varphi_{t}}$ ${\displaystyle M}$

強いアーノルド予想は、 のハミルトン微分同相写像の不動点の数が上の滑らかな関数の臨界点の数以上であるというものである。^{[2] [3]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

弱いアーノルド予想

が閉じたシンプレクティック多様体であるとする。ハミルトン微分同相写像は、そのグラフが の対角線と横方向に交差する場合、非退化であると呼ばれる。非退化ハミルトン微分同相写像の場合、アーノルド予想の変種の一つは、 の不動点の数が上のモース関数の臨界点の最小数以上であり、のモース数と呼ばれるというものである。 ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \varphi :M\to M}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

モース不等式を考慮すると、モース数は体上のベッティ数の和以上、すなわち となる。弱いアーノルド予想によれば、 ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{2n}\dim H_{i}(M;{\mathbb {F} })}$

${\displaystyle \#\{{\text{fixed points of }}\varphi \}\geq \sum _{i=0}^{2n}\dim H_{i}(M;{\mathbb {F} })}$

非退化ハミルトン微分同相写像の場合。 ^{[2] [3]}${\displaystyle \varphi :M\to M}$

アーノルド・ギベンタル予想

アーノルド・ギベンタール予想は、ウラジミール・アーノルドとアレクサンダー・ギベンタールにちなんで名付けられ、 が Lと横方向に交差し、 がLとハミルトン同位体であることを前提として、のベッティ数に関して2 つのラグランジアン部分多様体 Lと の交点の数の下限を与えます。 ${\displaystyle L'}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L'}$ ${\displaystyle L'}$

がコンパクト- 次元シンプレクティック多様体、が のコンパクト ラグランジアン 部分多様体、が反シンプレクティック反転、つまり かつ となるような微分同相写像で、その不動点集合がであるとします。 ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle L\subset M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau :M\to M}$ ${\displaystyle \tau :M\to M}$ ${\displaystyle \tau ^{*}\omega =-\omega }$ ${\displaystyle \tau ^{2}={\text{id}}_{M}}$ ${\displaystyle L}$

を 上のハミルトン関数の滑らかな族とする。この族はに付随するハミルトンベクトル場に沿って流れることで、1パラメータ微分同相写像の族を生成する。アーノルド・ギベンタール予想によれば、がと横方向に交差する場合、 ${\displaystyle H_{t}\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:M\to M}$ ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}(L)}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \#(\varphi _{1}(L)\cap L)\geq \sum _{i=0}^{n}\dim H_{i}(L;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ . ^[4]

状態

アーノルド・ギベンタール予想はいくつかの特殊なケースで証明されています。

• アレクサンダー・ギブンタルはそれを証明しました。^[5]${\displaystyle (M,L)=(\mathbb {CP} ^{n},\mathbb {RP} ^{n})}$
• オ・ヨングン・オは、マスロフ指数に関する適切な仮定のもとで、実数のコンパクトエルミート空間に対してこれを証明した。^[6]
• ラザリーニは、最小マスロフ数に関する適切な仮定の下で、負の単調なケースについてこれを証明しました。
• 深谷建二、呉容根、太田宏、小野薫らは、半陽性であることを証明した。 ^[7]${\displaystyle (M,\omega )}$
• ウルス・フラウエンフェルダーは、ゲージド・フロイヤー理論を用いて、 が特定のシンプレクティック還元である場合にそれを証明した。^[4]${\displaystyle (M,\omega )}$

参照

• シンプレクトモフィズム#アーノルド予想
• フロアーホモロジー
• スペクトル不変量
• コンリー・ゼンダー定理

参考文献

引用

1. Asselle, L.; I​​zydorek, M.; Starostka, M. (2022). 「におけるアーノルド予想とコンリー指数」. arXiv : 2202.00422 [math.DS].${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$
2. Rizell, Georgios Dimitroglou; Golovko, Roman (2017-01-05). 「シンプレクティカル非球面多様体上のハミルトン不動点の数」arXiv : 1609.04776 [math.SG].
3. アーノルド、ウラジミール・I. (2004). 「1972-33」. アーノルド、ウラジミール・I. (編). 『アーノルドの問題』 ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. p. 15. doi :10.1007/b138219. ISBN 3-540-20614-0. MR  2078115。284～288ページのコメントも参照。
4. (フラウエンフェルダー 2004)
5. (ギベンタル 1989b)
6. (オー 1995)
7. (深谷ら 2009)

参考文献

• フラウエンフェルダー、ウルス (2004)、「アーノルド・ギベンタール予想とモーメント・フロールホモロジー」、国際数学研究通知、2004 (42): 2179– 2269、arXiv : math/0309373、doi :10.1155/S1073792804133941、MR  2076142。
• 深谷健二、呉用根、太田博、小野薫（2009）、ラグランジュ交差フロール理論 - 異常と障害、International Press、ISBN 978-0-8218-5253-8
• Givental, AB (1989a)「シンプレクティック位相幾何学における周期写像」、Funktsional. Anal. I Prilozhen、23 (4): 37– 52
  • Givental, AB (1989b)、「シンプレクティック位相幾何学における周期写像（Funkts. Anal. Prilozh. 23, No. 4, 37-52 (1989)からの翻訳）」、関数解析とその応用、23 (4): 287– 300、doi :10.1007/BF01078943、S2CID  123546007、Zbl  0724.58031
• Oh, Yong-Geun (1992)、「Floer cohomology and Arnol'd-Givental's conjecture of [on] Lagrangian Intersections」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、315 (3): 309–314、MR  1179726。
• Oh, Yong-Geun (1995)、「ラグランジュ交差と擬正則円板のフロールコホモロジー、III：アーノルド・ギヴェンタール予想」、The Floer Memorial Volume、pp.  555– 573、doi :10.1007/978-3-0348-9217-9_23、ISBN 978-3-0348-9948-2