家族関係

θが変化すると螺旋形が懸垂形に変形する様子を示すアニメーション。

微分幾何学において、極小曲面の準族（またはボネ族）とは、同じワイエルシュトラスデータを共有する極小曲面の1パラメータ族である。つまり、曲面が

${\displaystyle x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3}$

この家族は

${\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}$

ここで、 は複素数の実部を示します。 ${\displaystyle \Re}$

θ  =  π / 2のとき、その面はθ = 0の面の共役面と呼ばれる 。^{[ 1 ]}

この変換は、主曲率方向を局所的に回転させるものとして捉えることができます。ζが固定された点の面法線は、θが変化しても変化せず、点自体は楕円に沿って移動します。

関連する曲面族の例としては、カテノイドおよびヘリコイド族、シュワルツP、シュワルツDおよびジャイロイド族、シェルクの第一および第二曲面族などが挙げられます。エネパー面は自身と共役であり、 θが変化しても不変です。

共役面は、面上の任意の直線がその共役面上の平面測地線に写像され、その逆もまた同様であるという性質を持つ。ある面のパッチが直線で囲まれる場合、共役パッチは平面対称線で囲まれる。これは共役空間を用いて極小曲面を構成する際に有用である。平面で囲まれることは、多角形で囲まれることと等価である。^{[ 2 ]}

高次元空間や高次元多様体にも極小曲面の関連族に対応するものがある。^{[ 3 ]}

参考文献

1. マティアス・ウェーバー「ユークリッド空間における古典極小曲面の例」『極小曲面の大域理論：クレイ数学研究所2001年サマースクール議事録』数学科学研究所、カリフォルニア州バークレー、2001年6月25日～7月27日。アメリカ数学会、2005年[1]
2. ヘルマン・カーヒャー、コンラッド・ポルティエ、「三重周期極小曲面の構築」、Phil. Trans. R. Soc. Lond. A、1996年9月16日、第354巻、第1715号、2077–2104ページ[2]
3. J.-H.エッシェンブルク、The Associated Family、Matemática Contemporânea、Vol 31、1–12 2006 [3]