曲面の微分幾何学において、漸近曲線とは、曲面の漸近方向（存在する場合）に常に接する曲線である。必ずしも直線である必要はないが、漸近直線と呼ばれることもある。
定義
漸近方向、またはそれと同等の漸近曲線には、同等の定義がいくつかあります。
- 漸近方向は、双曲線点を通るデュパンの指示線双曲線の漸近線、または放物線点を通る唯一の漸近線と同じである。[1]
- 漸近方向とは、法線曲率がゼロとなる方向です。その方向と、その点における面の法線が張る平面を取ります。その平面と面の交差する曲線は、その点で曲率がゼロになります。
- 漸近曲線とは、各点において、表面に接する平面が曲線の接触面となるような曲線です。
プロパティ
漸近方向は、ガウス曲率が負（またはゼロ）の場合にのみ発生します。
負のガウス曲率を持つすべての点には、主方向によって二等分される2つの漸近方向が存在する。ガウス曲率がゼロであるすべての点には、1つまたは無限個の漸近方向が存在する。
表面が最小で平坦でない場合、漸近方向は互いに直交します (2 つの主方向と 45 度)。
直線が面に含まれている場合、その直線は面の漸近曲線です。
関連する概念
関連する概念は曲率線であり、これは常に主方向に接する曲線です。
参考文献
- ^ デイヴィッド・ヒルベルト、コーン＝ヴォッセン、S. (1999). 『幾何学と想像力』アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1998-4。
- ワイスタイン、エリック・W.「漸近曲線」。MathWorld。
- 曲率線、測地線ねじれ、漸近線
- 「曲面の漸近線」（Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables）（フランス語）
