漸近論

限界ケースにおける応用数学システムの扱い

漸近論は「応用数学体系を限界的なケースで扱う技術」^[1]と定義され、また「局所化によって単純さと正確さを統合する科学」^{[2]とも定義されています。}

原則

漸近論という分野は、通常、学校の幾何学で初めて触れる際、漸近線（曲線が無限遠点に向かう直線）の導入として扱われます。ギリシャ語でΑσύμπτωτος（アシンプトトス）は「一致しない」を意味し、近似が一致に転じないという点を強く強調しています。これは漸近論の顕著な特徴ですが、この性質だけでは漸近論の概念を完全に網羅するものではなく、語源的にも「漸近論」という用語では全く不十分であるように思われます。

摂動論、小さなパラメータと大きなパラメータ

物理学やその他の科学分野では、減衰、軌道運動、摂動運動の安定化など、漸近的な性質を持つ問題に頻繁に遭遇します。それらの解法は、現代の応用数学、力学、物理学で広く使用されている漸近解析（摂動論）に適しています。しかし、漸近的手法は古典数学の一部以上のものであると主張しています。K .フリードリヒスは、「漸近的記述は自然の数理分析における便利なツールであるだけでなく、より根本的な意味を持っている」と述べています。M .クラスカルは、上で定義した「漸近論」という専門用語を導入し、漸近論の技術を科学に変換するために、蓄積された経験を形式化することを要求しました。一般的な用語は、重要なヒューリスティックな価値を持つことができます。H .ポアンカレは、エッセイ「数学の未来」^[3]で次のように書いています。

新しい単語を発明するだけで、関係性を明らかにするのに十分である場合が多く、その単語は創造的となるだろう...。マッハがよく言っていたように、適切に選択された用語によって思考がどれだけ経済的になるかは、ほとんど信じられないことである...。数学とは、異なる事物に同じ名前を付ける技術である...。言語が適切に選択されると、既知の対象に対して行われたすべての証明が、多くの新しい対象に直ちに適用されることに気付いて驚かされる。名前が同じになったので、用語さえも変更する必要がない...。したがって、単なる事実には、時には大きな関心が寄せられない...より注意深い思想家が、事実が引き出すつながりに気づき、それを用語で象徴したときにのみ、価値が生まれるのである。

さらに、「『サイバネティクス』、『アトラクター』、『カタストロフィー理論』の成功は、言葉の創造が科学的研究としてどれほど実りあるものであったかを示している」^{[4] 。}

ほとんどすべての物理理論は、最も一般的な方法で定式化されると、数学的な観点からはかなり難解になります。したがって、理論の創成期とその後の発展期の両方において、解析解を許容する最も単純な極限ケースが特に重要になります。これらの極限では、方程式の数は通常減少し、次数は減少し、非線形方程式は線形方程式に置き換えられ、初期システムはある意味で平均化されます。

これらすべての理想化は、見た目には異なっていても、検討中の現象の数学的モデルの対称性の度合いを高めます。

漸近的アプローチ

本質的には、複雑な問題に対する漸近的アプローチは、不十分に対称的な支配システムを、可能な限り特定の対称システムに近いものとして扱うことにあります。

与えられた問題に対する正確な解のより良い近似値を得ようとする場合、支配系を直接調査するよりもはるかに簡単に、極限ケースから逸脱する修正解を決定することが重要である。一見すると、このようなアプローチの可能性は、系を決定するパラメータを狭い範囲内でのみ変化させることに限定されているように思える。しかし、様々な物理的問題の研究における経験から、系のパラメータが十分に変化し、系が対称的な極限ケースから大きく逸脱した場合、しばしばそれほど明白ではない対称性を持つ別の極限系が見出され、それにも漸近解析を適用できることが分かっている。これにより、パラメータ変化の全範囲にわたる少数の極限ケースに基づいて系の挙動を記述することができる。このようなアプローチは、直観の最大レベルに対応し、さらなる洞察を促し、最終的には新たな物理的概念の形成につながる。

漸近解析が異なる物理理論間の関係を確立するのに役立つことも重要です。漸近的アプローチの目的は、オブジェクトを単純化することです。この単純化は、検討中の特異点の近傍を減らすことによって達成されます。漸近展開の精度は局所化によって高くなるのが一般的です。正確さと単純さは、一般的に相互に排他的な概念と見なされています。単純さを追求すると正確さが犠牲になり、正確さを達成しようとすると単純さは期待されません。ただし、局所化の下では、反対称は収束します。この矛盾は、漸近解析と呼ばれる統合によって解決されます。言い換えれば、単純さと正確さは「不確定性原理」の関係によって結び付けられ、領域サイズは小さなパラメーター、つまり不確実性の尺度として機能します。

漸近的不確定性原理

「漸近的不確定性原理」を説明しましょう。関数を漸近列 , → で展開します。 $f(x)$ ${\phi _{n}(x)}$
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)$ $x$ $0$

級数の部分和はで表され、与えられたにおける近似の正確さはで推定される。ここで、単純性はの数によって特徴付けられ、局所性は区間の長さによって特徴付けられる。 $S_{N}(x)$ $N$ $\Delta_{N}(x)=|f(x)-S_{N}(x)|$ $N$ $x$

漸近展開の既知の性質に基づき、、、の2つの値の相互関係を考察する。を固定すると、展開は最初に収束する。つまり、簡潔さを犠牲にして正確さが増す。を固定すると、正確さと区間の大きさが競合し始める。区間が小さいほど、の与えられた値に簡単に到達できる。 $x$ $N$ $\Delta$ $x$ $N$ $\Delta$

これらの規則性を簡単な例で説明します。指数積分関数を考えてみましょう。
$\operatorname {Ei} (y)=\int _{-\infty }^{y}e^{\zeta }\zeta ^{-1}d{\zeta },y<0$

部分積分すると、次の漸近展開が得られる→ 。
$\operatorname {Ei} (y)\sim e^{y}\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)!y^{-n},\;y$ $-\infty$

とを置きます。この級数の部分和と、異なる利回りに対する値とを計算すると、次のようになります。 $f(x)=-ey\operatorname {Ei} (y)$ $y=-x-1$ $\Delta _{N}(x)$ $f(x)$ $x$

  $x$ 	 $f(x)$       $\Delta _{1}$        $\Delta _{2}$        $\Delta _{3}$        $\Delta _{4}$        $\Delta _{5}$ 	 $\Delta _{6}$        $\Delta _{7}$ 
 1/3 0.262 0.071 0.040 0.034 0.040 0.060 0.106 0.223
 1/5 0.171 0.029 0.011 0.006 0.004 0.0035 0.0040 0.0043
 1/7 0.127 0.016 0.005 0.002 0.001 0.0006 0.0005 0.0004

したがって、与えられたにおいて、正確性はまずの増加とともに増加し、その後減少します（したがって漸近展開となります）。与えられたにおいて、の減少とともに正確性が向上することが観察されるかもしれません。 $x$ $N$ $N$ $x$

最後に、コンピュータと数値解析がこれほど進歩したのに、漸近解析を使う価値はあるのだろうか？ DG Crightonが述べているように、^[5]

漸近情報に基づかない計算スキームや実験スキームの設計は、せいぜい無駄が多く、最悪の場合、プロセスの重要な（硬い）特徴とその座標空間およびパラメータ空間における局所性を特定できない可能性があるため、危険を伴います。さらに、あらゆる経験から、漸近解は、その公称有効範囲をはるかに超えて数値的に有用であり、少なくとも製品の初期設計段階では直接使用できる場合が多く、例えば多くの変数が狭い範囲に制限される最終設計段階まで正確な計算を行う必要がなくなります。

注記

^ Kruskal MD, "Asymptotology", 『物理科学における数学モデル』（S. DrobotおよびP.A. Viebrock編）, 1962年ノートルダム大学会議録（Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1963）17-48頁。（プレプリント版）
^ Barantsev RG、「漸近的数学と古典数学」、Th. M. Rassias編『数学解析のトピックス』、 World Scientific：1989、49–64。
^ 数学の未来
^ Arnol'd, VI (1994)、「基本概念」、Dynamical Systems V（編者--Arnol'd, VI）、Springer、207-215
^ Crighton, DG, 「漸近論 ― 応用数学モデリングにおける思考、計算、実験に不可欠な補完」。第7回欧州産業数学会議（1993年3月2日～6日、モンテカティーニ・テルメ）の議事録。A.Fasano、M.Primicerio（編）シュトゥットガルト：BG Teubner、3-19。

参考文献

Andrianov IV、Manevitch LI 『漸近論：アイデア、方法、そして応用』Kluwer Academic Publishers、2002年。
Andrianov I.、Awrejcewicz J.「エンジニアのための漸近法」、ボカラトン：CRCプレス、Taylor＆Francis、2024年。
Andrianov IV, Khajiyeva LA「漸近論60年 - 予備的結果。あるいは「追悼として？」」Altenbach H., Eremeyev VA（編）『離散構造と連続構造および媒質のダイナミクス』Advanced Structured Materials, vol 221. Cnam: Springer, 2025, 43 – 57.
アンドリアノフIV「シンプルさの追求：レオニード・I・マネヴィッチ教授の科学的遺産」、International Journal of Non-Linear Mechanics、2022年、142、103998。
デュワーRL「アシンプトトロジー ― 警告の物語」ANZIAMジャーナル、2002年、44、33–40。doi :10.1017/S1446181100007884
フリードリヒスKO「数理物理学における漸近現象」アメリカ数学会報、1955年、61、485-504。
Segel LA「応用数学における漸近解析の重要性」、American Mathematical Monthly、1966年、73、7-14。
White RB 『微分方程式の漸近解析』改訂版、ロンドン：インペリアル・カレッジ・プレス、2010年。

[1] Kruskal MD, "Asymptotology", 『物理科学における数学モデル』（S. DrobotおよびP.A. Viebrock編）, 1962年ノートルダム大学会議録（Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1963）17-48頁。（プレプリント版）

[2] Barantsev RG、「漸近的数学と古典数学」、Th. M. Rassias編『数学解析のトピックス』、 World Scientific：1989、49–64。

[3] 数学の未来

[4] Arnol'd, VI (1994)、「基本概念」、Dynamical Systems V（編者--Arnol'd, VI）、Springer、207-215

[5] Crighton, DG, 「漸近論 ― 応用数学モデリングにおける思考、計算、実験に不可欠な補完」。第7回欧州産業数学会議（1993年3月2日～6日、モンテカティーニ・テルメ）の議事録。A.Fasano、M.Primicerio（編）シュトゥットガルト：BG Teubner、3-19。