数学、特に環論において、原子領域（アトム・ドメイン）または因数分解領域（ファクタライゼーション・ドメイン）とは、すべての非零の非単位元が 少なくとも1つの方法で既約元の有限積として表される整域である。原子領域は、元を既約元に分解するこの分解が必ずしも一意である必要がないという点で、一意の因数分解領域とは異なる。言い換えれば、既約元は必ずしも素元ではない。
原子領域の重要な例としては、すべての一意な因数分解領域のクラスとすべてのネーター領域が挙げられる。より一般的には、主イデアルの昇順連鎖条件（ACCP）を満たす任意の整域は原子領域である。コーンの論文[1]では逆が成り立つと主張されているが、これは誤りであることが知られている。[2]
「原子」という用語は、積分領域の 既約要素を「原子」と呼んだPM コーンに由来します。
モチベーション
このセクションでは、環は整数と同様に、加算と乗算の演算を実行できる単なる抽象集合として見ることができます。
整数環（つまり、自然な加算と乗算を持つ整数の集合）は、多くの重要な性質を満たします。そのような性質の一つが算術の基本定理です。したがって、抽象環を考える際に当然生じる疑問は、どのような条件下でそのような定理が成り立つかということです。一意因数分解域はまさに算術の基本定理の類似体が成り立つ環であるため、この疑問への答えは容易に得られます。しかし、算術の基本定理には二つの側面があることに気づきます。第一に、任意の整数は素数の有限積であるということ、第二に、この積は並べ替え（および単位による乗算）を除いて一意であるということです。したがって、環の特定の元が一意性を必要とせずに「分解」できる条件は何か、という疑問も当然生じます。原子域の概念は、この問題に対処しています。
意味
Rを整域とする。Rのすべての非零かつ非単位元 x が既約元の積として表せる場合、Rは原子域と呼ばれる。（環論では無限積は定義されていないため、積は必然的に有限となる。このような積では、同じ既約元を複数回因子として含むことが許される。）このような式はxの因数分解と呼ばれる。
特殊なケース
原子領域では、同じ元xの異なる因数分解の長さが異なる可能性があります。また、 xの因数分解において、既約因数の個数に上限がない場合もあります。逆に、すべての非ゼロかつ非単位元xについて因数数が上限である場合、Rは有界因数分解領域( BFD ) です。これは、形式的には、そのようなxのそれぞれに対して、x = x 1 x 2 ... x nで、かつx i がいずれも逆でない場合にn < Nとなる整数Nが存在することを意味します。
このような境界が存在する場合、xから1 までの真因子の連鎖は長さにおいてこの境界を超えることはできない (各ステップの商を因数分解できるため、連鎖の各ステップで少なくとも 1 つの既約因数を持つxの因数分解が生成される) ため、 Rの主イデアルの厳密に昇順な無限連鎖は存在し得ない。 主イデアルの昇順連鎖条件または ACCP と呼ばれるこの条件は、 BFD 条件よりも厳密に弱く、原子条件よりも厳密に強い (言い換えれば、真因子の無限連鎖が存在する場合でも、すべてのx が有限因数分解を持つ可能性があるということである[3] )。
BFD条件よりも厳密に強い2つの独立した条件は、半因数分解領域条件（HFD：任意のxの2つの因数分解の長さが同じ）と有限因数分解領域条件（FFD：任意のxには有限個の非共役約数しかない）である。すべての一意の因数分解領域は明らかにこれらの2つの条件を満たしているが、どちらも一意の因数分解を意味しない。
参考文献
- ^ Cohn, PM (1968). 「ベズー環とその部分環」(PDF) .ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 64 (2): 251– 264. doi :10.1017/S0305004100042791.
- ^ グラムズ, A. (1974). 「原子環と主イデアルの上昇連鎖条件」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 75 (3): 321– 329. doi :10.1017/S0305004100048532.
- ^ アンダーソン, DD; アンダーソン, David F.; ザフルラー, Muhammad (1990). 「積分領域における因数分解」.純粋・応用代数ジャーナル. 69 (1): 1– 19. doi :10.1016/0022-4049(90)90074-R.
