正中三角形

辺の長さの比率が13:17:7である自動中線三角形（黒）、その3つの中線（茶色）、そして中線を移動させた辺を持つ元の三角形に似た三角形

平面幾何学において、自動中線三角形とは、 3つの中線（各頂点と対辺の中点を結ぶ線分）の長さが、3辺の長さに比例する三角形であり、その比例関係は順序が異なります。自動中線三角形の3つの中線は、最初の三角形と 相似な2番目の三角形の辺を形成するように変形することができます。

キャラクター設定

自動中位三角形の辺の長さは、式またはその順列を満たします。これは、直角三角形を式 を満たす三角形として特徴付けるピタゴラスの定理に類似しています。 ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

同様に、3 つの数、、 が自動中位三角形の辺となるためには、3 つの辺の長さの 2 乗の列、、 が等差数列を形成する必要があります。^[1]つまり、、 です(たとえば、、、 の場合、、)。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}-k=a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}-k=c^{2}}$ ${\displaystyle b=17}$ ${\displaystyle a=13}$ ${\displaystyle c=7}$ ${\displaystyle k=120}$ ${\displaystyle 17^{2}-120=13^{2}=169}$ ${\displaystyle 13^{2}-120=7^{2}=49}$

直角三角形からの構築

、、を直角三角形の3辺とし、大きさの昇順で並べた場合、、、、は自動中位三角形の3辺となります。例えば、辺の長さが5、12、13の直角三角形は、このようにして辺の長さが13、17、7の自動中位三角形を形成することができます。^[2]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2x<z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle y-x}$

必要な条件: この条件が満たされない場合、3 つの数値、、は、自動中位三角形を特徴付ける方程式を満たしますが、三角形の不等式を満たさず、三角形の辺を形成するために使用することはできません。 ${\displaystyle 2x<z}$ ${\displaystyle a=z}$ ${\displaystyle b=x+y}$ ${\displaystyle c=y-x}$ ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

したがって、原始ピタゴラス三角形を生成するオイラーの公式を用いることで、原始整数自動中位三角形（すなわち、共通因数を持たない辺を持つ三角形） を生成することが可能になる。これは、 とが互いに素で奇数であり、三角形の不等式を満たす（絶対値符号内の量が負の場合）か、 を満たす（その量が正の場合）。そして、この三角形の中位は、上記の式を中位の一般式の辺に適用することで求められる。 ここで、いずれの場合も2番目の式は自動中位の特徴を反映している。$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}-2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$ ${\displaystyle t_{a},t_{b},t_{c}}$ $${\displaystyle t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},}$$ ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}.}$

このことから類似関係がわかる $${\displaystyle {\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.}$$

直角三角形から生成されない、基本的な整数辺の自動中位三角形、つまり、単位長さの辺を持つ 正三角形が存在します。

例

18 個の原始整数自動中位三角形があり、ここでは の 3 つの辺で示されています。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle b\leq 200}$

（1、1、1）	（13、17、7）	（17、23、7）	（25、31、17）	（37、47、23）	（41、49、31）
（61、71、49）	（65、79、47）	（85、97、71）	（85、113、41）	（89、119、41）	（101、119、79）
（113、127、97）	（125、161、73）	（145、161、127）	（145、167、119）	（149、191、89）	（181、199、161）

たとえば、(26, 34, 14) は(13, 17, 7) の倍数であり、上には現れないので、原始自動中位数 3 倍ではありません。

追加のプロパティ

が自動中位三角形の面積である場合、ヘロンの公式^{[3]によれば、}${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ ${\displaystyle \Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).}$

自己中線三角形のオイラー線は辺の中線に垂直である。^[2]${\displaystyle a}$

自己中線三角形の中線をその三角形の外接円まで延長すると、延長された中線と外接円が交わる3点は二等辺三角形を形成する。この二等辺三角形が二等辺三角形である三角形は、それ自体が二等辺三角形または自己中線三角形である三角形と全く同じである。自己中線三角形のこの性質は、シュタイナー＝レームスの定理とは対照的である。シュタイナー＝レームスの定理によれば、2つの角の二等分線の長さが等しい三角形は二等辺三角形のみである。^[2]${\displaystyle LMN}$ ${\displaystyle LMN}$

さらに、が の頂点が の辺と反対側に位置する自動中線三角形であるとする。の3つの中線が交差する点を とし、の延長された中線の1つで が の外接円上にあるとする。すると は平行四辺形となり、を細分できる2つの三角形と はどちらも に相似となり、は の中点となり、三角形のオイラー線はの垂直二等分線となる。^[2]${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle BGCL}$ ${\displaystyle BGL}$ ${\displaystyle CLG}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle AL}$

ユークリッドパラメータ を用いて原始ピタゴラス三角錐から原始自動中位三角形を生成する場合、 となり、 が成り立ちます。非原始自動中位三角形はそれぞれの原始三角形の倍数であるため、辺の不等式はすべての整数自動中位三角形に適用されます。等式は自明な正三角形にのみ適用されます。さらに、は常に奇数であるため、すべての辺は奇数でなければなりません。この事実により、自動中位三角錐は辺と周長が素数のみで構成されることになります。例えば、(13, 17, 7) の周長は 37 です。 ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle b\geq a\geq c}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle a,b,c}$

原始自動中位三角形の辺は2つの平方数の和であり、生成する原始ピタゴラス三角錐の斜辺に等しいため、1（mod 4）と合同な素数でのみ割り切れます。したがって、1（mod 4）と合同でなければなりません。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

同様に、辺は で関係付けられているため、原始自動中位数における各辺と は、正方形の2倍と正方形の差である。これらはまた、原始ピタゴラス数列の辺の和と差でもある。このため、とは±1 (mod 8) に合同な素数でのみ割り切れるという制約がある。したがって、と は±1 (mod 8) に合同でなければならない。^[4]${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

歴史

等差数列における整数平方の研究は、ディオファントスやフィボナッチにまで遡る長い歴史を持つ。これは、そのような数列における平方数の差となり得る数であるコングルア（congrua）と密接に関連している。 ^[1]しかし、この問題とオートメジアン三角形との関連は、はるかに最近のものである。オートメジアン三角形を特徴付ける問題は、19世紀後半にジョセフ・ジャン・バティスト・ノイベルクによって『エデュケーショナル・タイムズ』（フランス語）で提起され、ウィリアム・ジョン・グリーンストリートによって公式を用いて解かれた。^[5]${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

特殊なケース

正三角形の単純な場合を除けば、辺の長さが17、13、7の三角形は、辺の長さが整数である自動中位三角形の中で最小の（面積または周囲長で）三角形である。^[2]

自動中線直角三角形は一つだけ存在し、辺の長さが1、2の平方根、3の平方根に比例する三角形です。^{[2]この三角形は、}テオドロスの螺旋における2番目の三角形です。これは、2つの中線が互いに直交する唯一の直角三角形です。^[2]

参照

• 整数三角形
• ケプラーの三角形、二乗した辺の長さが等差数列ではなく等比数列を形成する直角三角形
• 中線三角形

参考文献

1. ディクソン、レナード・ユージン(1920)、「算術数列 x2 + z2 = 2y2 における 3 つの平方数」、数論史第 2 巻: ディオファントス解析、ワシントン・カーネギー研究所、pp.  435– 440。
2. Parry, CF (1991)、「シュタイナー・レームスと自動中位三角形」、The Mathematical Gazette、75 (472): 151– 154、doi :10.2307/3620241、JSTOR  3620241。
3. Benyi, Arpad、「三角形のヘロン型公式」、 Mathematical Gazette 87、2003年7月、324-326ページ。
4. Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A001132」、整数シーケンスのオンライン百科事典、OEIS Foundation
5. 「問題12705」、『エデュケーショナル・タイムズ』第1巻、F.ホジソン、1902年、  77～ 78ページ. 初出は『エデュケーショナル・タイムズ』 71号（1899年）、56ページ。

外部リンク

• 自動中位三角形と魔方陣 KS Brown の mathpages