保型因子

数学において、保型因子とは、 SL(2,R)の部分群上に定義され、モジュラー形式理論に現れるある種の解析関数である。一般群に対する一般的なケースについては、「保型因子」の項で概説する。

意味

重み k の保型因子は、以下に示す4つの性質を満たす関数です 。ここで、表記と は、それぞれ上半平面と複素平面を指します。表記 は、例えばフックス群のような SL(2,R) の部分群です。要素 は、 a、b、c、d が実数 で、 ad − bc =1 を満たす2×2行列です 。 $${\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ $${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$$

保型因子は以下を満たす必要があります。

1. を固定した場合、関数 はの正則関数になります。${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle \nu (\gamma ,z)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$
2. すべての および に対して、固定された実数kに対して が成り立ちます。${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ $${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$$
3. すべてのおよびに対して、 が成り立ちます。ここで、は によるの分数線形変換です。${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$ $${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$$ ${\displaystyle \delta z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta }$
4. ならば、すべての および に対して、次の式が成り立ちます。ここで、I は単位行列を表します。${\displaystyle -I\in \Gamma }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ $${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}$$

プロパティ

すべての保型因子は次のように書ける。

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

と

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

この関数は乗数システムと呼ばれます。明らかに、 ${\displaystyle \upsilon :\Gamma \to S^{1}}$

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$ 、

一方、もし、ならば、 ${\displaystyle -I\in \Gamma }$

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

これは、kが整数の 場合に等しくなります。${\displaystyle (-1)^{k}}$

参考文献

• ロバート・ランキン著『モジュラー形式と関数』（1977年）ケンブリッジ大学出版局ISBN 0-521-21212-X（第3章はモジュラー群の保型因子についてのみ説明しています。）