数学の群論において、自由群の自己同型群は、自由群の自己同型の離散群である。内部自己同型による商は自由群の外部自己同型群であり、これはいくつかの点で曲面の写像類群に類似している。
プレゼンテーション
ヤコブ・ニールセン (1924) は、初等ニールセン変換によって定義される自己同型が、有限生成自由群の完全自己同型群を生成することを示した。ニールセン、そして後にベルンハルト・ノイマンは、これらの考えを用いて、自由群の自己同型群の有限表現を与えた。これは (Magnus, Karrass & Solitar 2004, p. 131, Th 3.2) でも説明されている。
順序基底[ x 1 , …, x n ]を持つ自由群の自己同型群は、次の4つの基本ニールセン変換によって生成される。
- スイッチx 1とx 2
- x 1、x 2、…、x nをx 2、…、x n、x 1に循環的に並べ替えます。
- x 1 をx 1 −1に置き換える
- x 1をx 1 · x 2に置き換えます
これらの変換は、基本的な行演算に類似しています。最初の2種類の変換は、行のスワップや巡回行置換に類似しています。3種類の変換は、行を可逆なスカラーでスケーリングすることに相当します。4種類の変換は、行の加算に相当します。
最初の 2 つのタイプの変換は、ジェネレータを任意の順序で並べ替えるのに十分であるため、3 番目のタイプは任意のジェネレータに適用でき、4 番目のタイプは任意のジェネレータのペアに適用できます。
ニールセンは、(Magnus、Karrass、Solitar 2004、p. 165、セクション 3.5) で説明されているように、これらのジェネレータを使用してかなり複雑な有限のプレゼンテーションを行いました。
参照
参考文献
- マグナス、ウィルヘルム、カラス、アブラハム、ソリター、ドナルド（2004）、組合せ群論、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43830-6、MR 0207802
- ニールセン、ヤコブ(1921)、「Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien」、Math。 Tidsskrift B (デンマーク語)、1921 : 78–94、JFM 48.0123.03
- Nielsen、Jakob (1924)、「Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、91 : 169–209、doi :10.1007/BF01556078、JFM 50.0078.04
- Vogtmann, Karen (2002)、「自由群の自己同型と宇宙空間」(PDF)、幾何学および組合せ群論に関する会議論文集、第1部(ハイファ、2000年)、Geometriae Dedicata、94 : 1– 31、doi :10.1023/A:1020973910646、ISSN 0046-5755、MR 1950871
