エネルギー状態

相対論的古典場の重力理論、特に一般相対論において、エネルギー条件とは「空間領域のエネルギー密度は負にはなり得ない」という命題を相対論的に表現した数学的定式化である。この条件を表現する方法は複数存在し、理論の物質内容に適用できる。したがって、あらゆる合理的な物質理論がこの条件を満たすか、少なくとも初期条件が満たす限りこの条件を維持することが期待される。

エネルギー条件は、それ自体が物理的な制約ではなく、「エネルギーは正であるべき」という信念を捉えようとする数学的に課された境界条件である。^{[ 1 ]}多くのエネルギー条件は物理的現実と一致しないことが知られている。例えば、ダークエネルギーの観測可能な効果は、強いエネルギー条件に違反することがよく知られている。^{[ 2 ] [ 3 ]}

一般相対性理論では、無毛定理やブラックホール熱力学の法則など、ブラックホールに関するさまざまな重要な定理の証明にエネルギー条件がよく使用され（また、必要とされます） 。

モチベーション

一般相対性理論および関連理論では、物質および非重力場による質量、運動量、応力の分布は、エネルギー運動量テンソル（または物質テンソル）によって記述されます。しかし、アインシュタイン場の方程式自体は、時空モデルでどのような種類の物質状態または非重力場が許容されるかを指定しません。これは、優れた一般重力理論は非重力物理学に関するいかなる仮定からも最大限独立であるべきであるため、強みであると同時に弱みでもあります。なぜなら、さらなる基準がなければ、アインシュタイン場の方程式は、ほとんどの物理学者が非物理的である、つまり近似的にも現実の宇宙の何にも似ていないほど奇妙であると考える特性を持つ推定上の解を許容することになるからです。 ${\displaystyle T^{ab}}$

エネルギー条件はそのような基準を表しています。大まかに言えば、エネルギー条件は、物理学において確立されているすべての（あるいはほぼすべての）物質状態とすべての非重力場に共通する性質を大まかに記述するものであり、同時にアインシュタイン場の方程式の多くの非物理的な「解」を排除するのに十分な強さを備えています。

数学的に言えば、エネルギー条件の最も明白な特徴は、本質的に物質テンソルの固有値と固有ベクトルに対する制約であるという点です。より微妙ではあるものの、同様に重要な特徴は、それらが接空間のレベルで事象ごとに課されるという点です。したがって、エネルギー条件は、閉じた時間的曲線のような、問題となる大域的特徴を排除する見込みはありません。

いくつかの観測可能な量

さまざまなエネルギー条件の説明を理解するには、任意の時間的ベクトルまたはヌルベクトルと物質テンソルから構築されたいくつかのスカラー量とベクトル量の物理的な解釈に精通している必要があります。

まず、単位時間的ベクトル場は、（おそらく非慣性的な）理想的な観測者の族の世界線を定義するものとして解釈できる。次に、スカラー場は${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}}$

は、私たちの家族の観測者によって（彼の世界線上の各事象において）測定された全質量エネルギー密度（物質と非重力場の場エネルギーの合計）として解釈できます。同様に、成分を持つベクトル場は（投影された後）、観測者によって測定された 運動量を表します。${\displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}}$

第二に、任意のヌルベクトル場が与えられた場合、スカラー場 ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}$

質量エネルギー密度の一種の極限ケースと考えることができる。

3つ目に、一般相対性理論の場合、任意の時間的ベクトル場が与えられ、これも理想的な観測者のファミリーの動きを記述するものと解釈され、レイチャウドゥリのスカラーは、各イベントでそれらの観測者に対応する 潮汐テンソルのトレースを取ることによって得られるスカラー場です。${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}$

この量はレイチャウドゥリ方程式において重要な役割を果たします。するとアインシュタイン場の方程式から直ちに次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}$

物質テンソルの痕跡は どこにありますか。${\displaystyle T={T^{m}}_{m}}$

数学的な記述

一般的に使用されている代替エネルギー条件はいくつかあります。

ヌルエネルギー条件

ヌルエネルギー条件は、あらゆる未来を指すヌルベクトル場 に対して、 ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}$

これらのそれぞれには平均版があり、その場合、上記の性質は、対応するベクトル場のフローラインに沿って平均的にのみ成立する。そうでなければ、カシミール効果により例外が生じる。例えば、平均ヌルエネルギー条件は、ヌルベクトル場のあらゆるフローライン（積分曲線）について、以下の式が成り立つことを規定している。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}d\lambda \geq 0.}$

弱いエネルギー条件

弱いエネルギー条件は、あらゆる時間的ベクトル場 に対して、対応する観測者によって観測される物質密度が常に非負であることを規定する。 ${\displaystyle {\vec {X}},}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}$

支配的なエネルギー状態

支配的エネルギー条件は、弱エネルギー条件が成立することに加えて、未来を指すあらゆる因果ベクトル場（時間的またはヌル）について、そのベクトル場が未来を指す因果ベクトルでなければならないことを規定する。つまり、質量エネルギーが光速を超えて流れていることが観測されることはない。 ${\displaystyle {\vec {Y}},}$ ${\displaystyle -{T^{a}}_{b}Y^{b}}$

一般相対論を初期値問題として定式化すると、支配的なエネルギー条件は、空間的超曲面上で定義された量で表現できる。初期データセット （はリーマン多様体、は時空におけるその第二基本形式）が与えられたとき、局所エネルギー密度と運動量密度は、アインシュタインの拘束方程式によって次のように定義される。 ${\displaystyle (M,g,K)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}R_{g}+(\mathrm {tr} _{g}K)^{2}-|K|_{g}^{2}{\bigr )},\qquad J=\mathrm {div} _{g}{\bigl (}K-(\mathrm {tr} _{g}K)\,g{\bigr )},}$

ここで、は のスカラー曲率（リッチスカラーとも呼ばれる）を表し、はに関するの軌跡、 はによって誘導されるの各点の2乗ノルム（つまり）である。この定式化において、支配的なエネルギー条件は次の要件と等価である。 ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {tr} _{g}K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |K|_{g}^{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |K|_{g}^{2}=K_{ij}K_{pq}\,g^{ip}g^{jq}}$

${\displaystyle \mu \geq |J|,}$

つまり、エネルギー密度は非負であり、運動量密度の大きさを支配します。

時間対称の場合、 のとき、運動量密度はゼロになり、支配的なエネルギー条件は のスカラー曲率が非負である という要件に簡約されます。${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle (M,g)}$

強いエネルギー状態

強いエネルギー条件は、あらゆる時間的ベクトル場 に対して、対応する観測者によって測定された潮汐テンソルのトレースが常に非負であることを規定しています。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0}$

少なくとも数学的な観点からは、強いエネルギー条件に違反する古典的物質構成は数多く存在します。例えば、正のポテンシャルを持つスカラー場は、この条件に違反することがあります。さらに、ダークエネルギー／宇宙定数の観測は、強いエネルギー条件は、宇宙論的スケール全体で平均化した場合であっても、我々の宇宙を記述できないことを示しています。さらに、この条件は、あらゆる宇宙論的インフレーション過程（スカラー場によって駆動されないものも含む）において強く違反しています。^{[ 3 ]}

完璧な流体

完全流体の場合のいくつかのエネルギー条件間の関係

完全流体は形態の物質テンソルを持つ

${\displaystyle T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}$

ここで、は物質粒子の4元速度であり、は各イベントにおける4元速度に直交する空間超平面要素への射影テンソルである。（これらの超平面要素は、速度が渦度フリー、つまり非回転でない限り、空間超スライスを形成しないことに注意してください。）物質粒子の運動と一致するフレームに関して、物質テンソルの成分は対角形式をとります。 ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}}$

${\displaystyle T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.}$

ここで、はエネルギー密度、は圧力です。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$

エネルギー条件は、これらの固有値に基づいて次のように再定式化できます。

• ヌルエネルギー条件は、${\displaystyle \rho +p\geq 0.}$
• 弱いエネルギー条件は、${\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}$
• 支配的なエネルギー条件は、${\displaystyle \rho \geq |p|.}$
• 強いエネルギー条件は、${\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}$

これらの条件間の関係は右の図に示されています。これらの条件の中には負圧を許容するものがあることに留意してください。また、名前に「強いエネルギー条件」とありますが、完全流体の文脈においてさえも、弱いエネルギー条件を意味するわけではないことにも注意してください。

非完全流体

最後に、エネルギー条件を非完全流体を含む時空に拡張する提案がある。この場合、熱力学の第二法則は、安定性と因果関係の両方を調べるための自然なリャプノフ関数を提供し、安定性と因果関係の接続の物理的な起源は、エントロピーと情報の関係にある。^{[ 4 ]}これらの試みは、ホーキング-エリスの真空保存定理（これによると、エネルギーが光速よりも速く空の領域に入ることができる場合、支配的なエネルギー条件に違反し、エネルギー密度がいくつかの参照フレームで負になる可能性がある^{[ 5 ]}）を、有限の温度と化学ポテンシャルで非平衡物質を含む時空に一般化している。

実際、因果律の破れと流体不安定性の間に関連性があるという考えは長い歴史を持っています。例えば、W・イスラエルは次のように述べています。「もし効果の発生源が遅延されるならば、系は基底状態からエネルギーを借りることができるはずであり、これは不安定性を意味する」^{[ 6 ]} 。これは、有限温度と化学ポテンシャルにおけるホーキング＝エリスの真空保存定理の言い換えであることが示せます。^{[ 4 ] [ 5 ]}

エネルギー条件を偽造しようとする試み

エネルギー条件の意図は、物理的に合理的な状況は許容しつつ、多くの非物理的な状況を排除する単純な基準を提供することであるが、実際には、少なくとも量子力学的効果の有効場モデリングを導入する場合、実験的に検証されているため物理的に合理的で現実的でさえあると知られている物質テンソルの中には、実際には様々なエネルギー条件を満たさないものがある。特に、カシミール効果においては、非常に小さな距離dで平行に保持された2枚の導電板の間の領域に、負のエネルギー密度 が存在する。

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}}$

プレート間の相互作用。（ただし、カシミール効果は位相的であり、真空エネルギーの符号は配置の幾何学的形状と位相的形状の両方に依存することに留意する必要がある。平行板では負であるのに対し、導体球では真空エネルギーは正である。）しかしながら、様々な量子不等式から、このような場合には適切な平均エネルギー条件が満たされる可能性があることが示唆されている。特に、カシミール効果においては平均ヌルエネルギー条件が満たされる。実際、ミンコフスキー時空上の有効場理論から生じるエネルギー運動量テンソルにおいては、日常的な量子場に対して平均ヌルエネルギー条件が成立する。これらの結果を拡張することは未解決の問題である。

強いエネルギー条件は、すべての通常の/ニュートン流体物質によって満たされるが、偽真空はそれを破る可能性がある。線形順圧方程式の状態を考える。

${\displaystyle p=w\rho ,}$

ここで、 は物質のエネルギー密度、は物質の圧力、は定数です。この場合、強いエネルギー条件は となりますが、偽の真空と呼ばれる状態では となります。^{[ 7 ]}${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\geq -1/3}$ ${\displaystyle w=-1}$

参照

• 合同性（一般相対性理論）
• 一般相対論における厳密解
• 一般相対論におけるフレーム場
• 正エネルギー定理
• 量子不等式

注記

1. Curiel, Erik (2017). 「エネルギー条件入門」.時空理論の理論に向けて. アインシュタイン研究. 第13巻. pp.  43– 104. arXiv : 1405.0403 . doi : 10.1007/978-1-4939-3210-8_3 . ISBN 978-1-4939-3209-2。
2. Farnes, JS (2018). 「暗黒エネルギーと暗黒物質の統一理論：修正ΛCDM枠組みにおける負の質量と物質生成」.天文学と天体物理学. 620 : A92. arXiv : 1712.07962 . Bibcode : 2018A&A...620A..92F . doi : 10.1051/0004-6361/201832898 . S2CID 53600834 . 
3. ヴィッサー, マット; バルセロ, カルロス (2000). 「エネルギー条件とその宇宙論的意味合い」. Cosmo-99 . pp.  98– 112. arXiv : gr-qc/0001099 . doi : 10.1142/9789812792129_0014 . ISBN 978-981-02-4456-9. S2CID  119446302 .
4. Gavassino, Lorenzo; Antonelli, Marco; Haskell, Brynmor (2022-01-06). 「熱力学的安定性は因果関係を示唆する」. Physical Review Letters . 128 (1) 010606. arXiv : 2105.14621 . Bibcode : 2022PhRvL.128a0606G . doi : 10.1103/PhysRevLett.128.010606 . ISSN 0031-9007 . PMID 35061457 .  
5. Gavassino, Lorenzo (2022-10-03). 「因果関係なしに散逸を理解できるか？」Physical Review X. 12 ( 4) 041001. arXiv : 2111.05254 . Bibcode : 2022PhRvX..12d1001G . doi : 10.1103/PhysRevX.12.041001 . ISSN 2160-3308 . 
6. イスラエル、ヴェルナー（2009）、ラッキ、ヤン、ルーグ、アンリ、ワンダース、ジェラール（編）、"相対論的熱力学"、ECGシュテッケルベルク、『20世紀物理学の型破りな人物：解説付き選集』、バーゼル：ビルクハウザー、pp.  101– 113、Bibcode：2009esuf.book..101I、doi：10.1007/978-3-7643-8878-2_8、ISBN 978-3-7643-8878-2
7. GFR Ellis; R. Maartens; MAH MacCallum (2012). 「セクション6.1」.相対論的宇宙論. ケンブリッジ大学出版局.

参考文献

• ホーキング、スティーブン、エリス、GFR (1973). 『時空の大規模構造』ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-09906-4。エネルギー条件については§4.3で説明します。
• ポアソン, エリック (2004). 『相対論者のツールキット：ブラックホール力学の数学』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局.書誌コード: 2004rtmb.book.....P . ISBN 0-521-83091-5。さまざまなエネルギー条件（上記のすべてを含む）については、セクション2.1で説明します。
• キャロル、ショーン・M. (2004). 『時空と幾何学：一般相対性理論入門』サンフランシスコ：アディソン・ウェスレー. ISBN 0-8053-8732-3。さまざまなエネルギー条件についてはセクション4.6で説明します。
• ウォルド、ロバート・M. (1984).一般相対性理論. シカゴ:シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-87033-2。一般的なエネルギー条件についてはセクション9.2で説明します。
• エリス, GFR; マーテンス, R.; マッカラム, MAH (2012). 『相対論的宇宙論』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-38115-4。強いエネルギー条件の違反についてはセクション6.1で議論されています。