B-許容表現

数学において、 B許容表現の形式論は、与えられた体E上の有限次元ベクトル空間上の群Gの表現の圏の完全なタンナキアン部分圏の構成を提供する。この理論では、Bはいわゆる( E , G )-正則環、すなわちE -線型作用が以下に示す特定の条件を満たすE -代数として選択される。この理論は、局所体および大域体の絶対ガロア群のp -進ガロア表現の重要な部分圏を定義するために、p -進ホッジ理論において最も顕著に用いられている。

（E、G)環と関手D

Gを群、Eを体とする。Rep(G)は、E上の有限次元ベクトル空間におけるGのE線型表現のTannakianカテゴリの非自明な厳密完全部分カテゴリを表し、部分対象、商対象、直和、テンソル積、双対の下で安定とする。^[1]

( E , G )-環は、E -代数でGのE -線型作用を持つ可換環Bである。BのG -不変量をF = B ^Gとする。共変関手D _B : Rep( G ) → Mod _Fは次のように定義される。

D_{B}(V):=(B\otimes _{E}V)^{G}

はE -線型である（Mod _FはF -加群の圏を表す）。D B (V)をB ⊗ _E Vに含めると、_準同型写像が導かれる。

\alpha _{B,V}:B\otimes _{F}D_{B}(V)\longrightarrow B\otimes _{E}V

比較射と呼ばれる。^[2]

( E , G )環Bが正則環と呼ばれるのは、

3番目の条件は、Fが体であることを意味します。Bが体であれば、自動的に正則になります。

Bが正規の場合、

\dim _{F}D_{B}(V)\leq \dim _{E}V

_{α B,V}が同型である場合に限り、等式となる。

表現V ∈ Rep( G ) は、 α _{B,Vが同型であるとき、}B許容表現と呼ばれる。B許容表現の完全なサブカテゴリはRep _B ( G ) と表され、Tannakian である。

B にフィルタリングやE線型自己準同型などの追加構造がある場合、D _B ( V ) はこの構造を継承し、関数D _{B は}対応するカテゴリの値を取るものとして見ることができます。

K を特性 p (素数)の体とし、 K _{s を}Kの可分閉包とする。E = F _p ( p個の元を持つ有限体)かつG = Gal( K _s / K ) ( Kの絶対ガロア群) とすると、B = K _{s は}正則 ( E , G )-環となる。K _s上には、 xをx ^pに写す単射フロベニウス自己準同型σ : K _s → K _sが存在する。ある有限次元F _p -ベクトル空間Vに対する表現G → GL( V ) が与えられると、F =( K _s ) ^G = K上の有限次元ベクトル空間となり、これはB = K _sから単射関数 φ _D : D → Dを継承する。これは σ -半線型である (すなわち、すべての a ∈ Kおよびすべての d ∈ Dに対してφ( ad ) = σ( a )φ( d ) である)。 K _s許容表現は連続表現である（ただし、Gはクルル位相を持ち、V は離散位相を持つ）。実際、はK _s許容表現（すなわち連続表現）と、入射的な σ-半線型 φ を備えたK上の有限次元ベクトル空間との間のカテゴリの同値である。 $D=D_{K_{s}}(V)$ $D_{K_{s}}$

潜在的にB許容可能な表現は、Gの何らかのサブグループに制限されたときにB許容可能になる表現の考え方を捉えます。

^ もちろん、表現のカテゴリ全体を取ることもできますが、この一般性により、たとえばGとEに位相がある場合、連続表現のみを考慮することができます。
^ 反変形式も定義できる。この場合、使用される関数は、つまり VからBへのG不変線型準同型である。 $D_{B}^{\ast }(V):=\mathrm {Hom} _{G}(V,B)$

フォンテーヌ、ジャン＝マルク(1994)、「Représentations p -adiques semi-stables」、Fontaine, Jean-Marc (編)、Périodes p-adiques、Astérisque、vol. 223、パリ: Société Mathématique de France、pp. 113–184、MR 1293969