バランスの取れたセット

線形代数および関連する数学の分野 において、ベクトル空間（絶対値関数を持つ体上）の平衡集合、円集合、または円板とは、すべてのスカラーに対して ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle aS\subseteq S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$

セットのバランスのとれたハルまたはバランスのとれたエンベロープは、セットに含まれる最小のバランスのとれたセットです。セットのバランスの とれたコアは、セットに含まれる最大のバランスのとれたセットです。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

関数解析においてバランス集合は広く用いられている。なぜなら、あらゆる位相ベクトル空間（TVS）における原点のあらゆる近傍は原点のバランス近傍を含み、また、原点のあらゆる凸近傍は原点のバランス凸近傍を含むからである（TVSが局所凸でなくてもよい）。この近傍は、開集合または閉集合として選択することもできる。

意味

を実数体または複素数体上のベクトル空間とします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

表記

が集合で、がスカラーであるとき、任意 のに対して、およびととする 。それぞれ、半径が の開球と閉球を表し、中心は であり、で ある。体のすべてのバランスのとれた部分集合は、何らかのに対して、またはの形をとる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$ $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}.}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$ ${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{\leq r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

バランスの取れたセット

のサブセットは${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ 次のいずれかの同等の条件を満たす場合は、 バランスの取れたセットまたはバランスが取れていると

1. 定義：すべてのスカラーに対して、${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$ を満たすすべてのスカラーに対して${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$ （どこ）。${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\}}$
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$ ^[1]
5. すべての${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • ${\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$ は、（ の場合）または（ の場合）次元ベクトル部分空間である。${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • ならば、上記の等式は となり、これは集合が均衡であるための前述の条件と全く同じです。したがって、が均衡であるためには、任意の に対して が均衡集合である（前述の定義条件のいずれかに従って）ことが必要です。${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$ ${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$
6. のすべての 1 次元ベクトル部分空間は、（これ以外の定義条件に従って）バランスの取れた集合です。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle S\cap Y}$
7. 任意のに対して、または${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$ は、（これ以外の「バランスの取れた」の定義条件に従って） バランスの取れたサブセットです。${\displaystyle \operatorname {span} S}$
   • したがって、が の平衡部分集合である場合、かつそれがを含む体上の任意の（同値な、いくつかの）ベクトル空間の平衡部分集合である場合に限ります。したがって、体の内容が文脈から明らかであると仮定すると、ベクトル空間について言及することなく「 は平衡である」と書くことが正当化されます。^{[注 1]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S}$

が凸集合である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle S}$

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$ ^[2]を満たすすべてのスカラーに対して${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|=1.}$

その場合、このリストは次のように拡張される可能性があります。 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

10. ${\displaystyle S}$ 対称的（つまり）であり、${\displaystyle -S=S}$ ${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

バランスの取れた船体

$${\displaystyle \operatorname {bal} S~=~\bigcup _{|a|\leq 1}aS=B_{\leq 1}S}$$

そので表されるのサブセットのバランスされた包は、次のいずれかの同等の方法で定義されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$

1. 定義：は、を含むの最小の（ に関して）バランスの取れた部分集合です。${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ は、次のものを含むすべてのバランスのとれた集合の共通部分である。${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS).}$
4. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=B_{\leq 1}S.}$ ^[1]

バランスの取れたコア

$${\displaystyle \operatorname {balcore} S~=~{\begin{cases}\displaystyle \bigcap _{|a|\geq 1}aS&{\text{ if }}0\in S\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in S\\\end{cases}}}$$

そので表されるのサブセットのバランスの取れたコアは、次のいずれかの同等の方法で定義されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S,}$

1. 定義：は の最大の（ に関して）バランスの取れた部分集合である。${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$ は、すべてのバランスの取れた部分集合の和集合である。${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$ もし、もし、もし${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)}$ ${\displaystyle 0\in S.}$

例

空集合は均衡集合である。任意の（実または複素）ベクトル空間のベクトル部分空間 も同様である。特に、は常に均衡集合である。 ${\displaystyle \{0\}}$

原点を含まない空でない集合はバランスが取れておらず、さらに、そのような集合のバランスの取れたコアは空集合と等しくなります。

ノルムベクトル空間と位相ベクトル空間

ノルムベクトル空間において原点を中心とする開球と閉球は均衡集合である。がベクトル空間上の半ノルム（またはノルム）である場合、任意の定数に対して均衡集合となる。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$

が任意の部分集合であるとき、は均衡集合である。特に、が位相ベクトル空間における原点の均衡近傍であるとき、${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\}}$ ${\displaystyle B_{1}S}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

バランスセットと${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

を実数体または複素数体とし、を上の絶対値、を上のベクトル空間とします。したがって、たとえば、が複素数体である場合、は 1 次元の複素ベクトル空間ですが、である場合、は 1 次元の実ベクトル空間です。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$

のバランスの取れた部分集合は次の通りである: ^[3]${\displaystyle X=\mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$ 本当の意味で${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$ 本当の意味で${\displaystyle r>0.}$

その結果、すべてのスカラー セットのバランスの取れたコアとバランスの取れたハルは、上記のセットのいずれかに等しくなります。

均衡集合とは、それ自身、空集合、そして中心がゼロの開円板と閉円板のことである。これに対し、二次元ユークリッド空間には、均衡集合はもっと多く存在する。つまり、原点を中点とする任意の線分でよい。結果として、スカラー乗法に関して言えば、とは全く異なる。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

バランスセット${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

全体を通して、（したがっては 上のベクトル空間）とし、 は原点を中心とする 内の閉単位球とします。${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle X}$

がゼロでない場合、集合はの原点の閉じた対称でバランスのとれた近傍である。より一般的には、が の任意の閉じた部分集合であって、が の原点の閉じた対称でバランスのとれた近傍であるとき、この例は任意の整数に対してに一般化できる。${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$ ${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$ ${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

点 と を結ぶ線分と点 と を結ぶ線分の和をとすると、は均衡が保たれているが凸ではない。また、 は吸収的ではない（はベクトル空間全体である にもかかわらず）。${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$

あらゆる に対して、は任意の正の実数、 は点と の間の（開線または閉線）セグメントとします。この場合、集合は均衡のとれた吸収集合ですが、必ずしも凸集合であるとは限りません。 ${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle B^{t}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$ ${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$

閉集合の平衡包は必ずしも閉じている必要はない。例えば、${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

次の例は、凸集合の均衡包が必ずしも凸ではないことを示しています（ただし、均衡集合の凸包は常に均衡です）。例えば、凸部分集合を とします。これはの軸の上にある水平閉線分です。均衡包は「砂時計型」の非凸部分集合であり、2つの閉じた塗りつぶされた二等辺三角形との和集合に等しくなります。ここで、 とは、頂点が原点と の端点を合わせたところにある塗りつぶされた三角形です（言い換えると、はの凸包であり、は の凸包です）。 ${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$ ${\displaystyle x-}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2},}$ ${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$

十分な条件

セットがバランスの取れたハルまたはバランスの取れたコアと等しい場合にのみ、セットはバランスが取れています。バランスの取れたコアと等しい場合、これら 3 つのセットはすべて等しくなります。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

均衡集合族の直積は、対応するベクトル空間の積空間（同じ体上）で均衡が保たれます。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$

• コンパクト集合（それぞれ、全有界集合、有界集合）の平衡包は同じ性質を持つ。^[4]
• 均衡集合の凸包は凸かつ均衡である（つまり、絶対的に凸である）。しかし、凸集合の均衡包は凸ではない場合がある（反例は上記に示されている）。
• 均衡のとれた集合の任意の和集合は均衡がとれており、均衡のとれた集合の任意の積集合についても同様です。
• 均衡のとれた集合のスカラー倍数と（有限の）ミンコフスキー和は再び均衡がとれます。
• 線型写像による均衡集合の像と逆像は、再び均衡となる。明示的に言えば、が線型写像であり、と が均衡集合であるならば、と は均衡集合である。${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L^{-1}(C)}$

バランスの取れた近隣

任意の位相ベクトル空間において、均衡集合の閉包は均衡している。^[5]均衡集合の原点と位相内部との和集合は均衡している。したがって、原点の均衡近傍の位相内部は均衡している。 ^{[5] [証明 1]}しかし、は原点を含むの均衡部分集合であるが、その (空でない) 位相内部には原点が含まれず、したがって均衡集合ではない。^[6]同様に、実ベクトル空間について、が の凸包、(これらの 3 点を頂点とする塗りつぶされた三角形) を表す場合、 はの (砂時計型の) 均衡部分集合であり、その空でない位相内部には原点が含まれず、したがって均衡集合ではない (また、原点を加えて形成される集合は均衡しているが、開集合でも原点の近傍でもない)。 ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:|z|\leq |w|\right\}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)\in X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (\pm 1,1)}$ ${\displaystyle B:=T\cup (-T)}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \operatorname {Int} _{X}B}$

位相ベクトル空間 における原点のすべての近傍（それぞれ凸近傍）には、原点のバランスの取れた（それぞれ凸およびバランスの取れた）開近傍が含まれます。実際、次の構成により、このようなバランスの取れた集合が生成されます。対称集合が与えられると、これが について成り立つときはいつでも凸（それぞれ、閉じた、バランスの取れた、有界の、原点の近傍、の吸収部分集合）になります。 が原点において星型である場合、バランスの取れた集合になります。[注^2]これは、例えばが凸で を含む場合、真です。特に、が原点の凸近傍である場合、 は原点のバランスの取れた凸近傍となり、そのためその位相的な内部は原点のバランスの取れた凸開近傍となります。 ^[5]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW\subseteq W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$

証拠

と定義します（ただしはスカラー体の元を表します）。 をとると、が凸ならば も（凸集合の交差は凸であるため）凸であり、したがっての内部も であることがわかります。ならば 、したがって が原点において星型である場合^（注2） 、 が原点において星型である場合、 （ に対して）も星型であり、これは 任意の に対して となることを意味し、したがって が釣り合っていることを証明します。が凸で原点を含む場合、 は原点において星型であり、したがって は釣り合っていることになります。 ${\displaystyle 0\in W\subseteq X}$ ${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle u:=1}$ ${\displaystyle A\subseteq W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |s|=1}$ $${\displaystyle sA=\bigcap _{|u|=1}suW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$ ${\displaystyle sA=A.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle uW}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1,}$ $${\displaystyle rA=\bigcap _{|u|=1}ruW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$

ここで、が における原点の近傍であると仮定する。スカラー乗法（ で定義）は原点で連続であり、の積位相において原点の基本的な開近傍（ および）が存在するので、集合は均衡しており、 と書けるため開近傍でもある。 ここでは、 のときはいつでも原点の開近傍である。 最後に、 は も原点の近傍である ことを示す。 が均衡している場合、その内部に原点が含まれるため、も均衡となる。が凸である場合、 は凸かつ均衡であり、したがって も同様である。${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle M:\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle M(a,x)=ax}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M(0,0)=0\in W,}$ ${\displaystyle B_{r}\times V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}:=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)\subseteq W;}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)=B_{r}V}$ $${\displaystyle B_{r}V=\bigcup _{|a|<r}aV=\bigcup _{0<|a|<r}aV\qquad {\text{ (since }}0\cdot V=\{0\}\subseteq aV{\text{ )}}}$$ ${\displaystyle aV}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$ $${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW\supseteq \bigcap _{|u|=1}uB_{r}V=\bigcap _{|u|=1}B_{r}V=B_{r}V}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

が の凸かつ吸収部分集合であると仮定すると、はの凸平衡吸収部分集合となり、これによりのミンコフスキー関数が上で半ノルムになることが保証され、それによって は標準擬似測度化可能位相を持つ半ノルム空間になる。上の値域としてのスカラー倍数の集合(またはを極限点として持つ他の任意の非ゼロのスカラー集合上) は、この局所凸位相の原点で吸収ディスクの近傍基底を形成します。 が位相ベクトル空間であり、この凸吸収部分集合が の有界部分集合でもある場合、同じことが吸収ディスクにも当てはまり、さらにが非自明なベクトル部分空間を含まない場合、 はノルムとなり、補助ノルム空間と呼ばれるものを形成します。^{[7]このノルム空間が}バナッハ空間 である場合、 はバナッハディスクと呼ばれます。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

プロパティ

バランス集合の性質

均衡集合が空集合でないことは、原点を含む場合と同値である。定義により、集合が絶対凸集合となることは、凸かつ均衡集合である場合と同値である。すべての均衡集合は、原点0において星型であり、対称集合である。が の均衡部分集合である場合、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

• 任意のスカラーに対して、そして、したがって、およびが任意のスカラーである場合、${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle |c|\leq |d|}$ ${\displaystyle cB\subseteq dB}$ ${\displaystyle cB=|c|B.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$ が吸収されるのは、すべてのに対して^[2]が存在する場合のみである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rB.}$
• 集合の任意の1次元ベクトル部分空間は凸かつ平衡である。が空でなく、がの1次元ベクトル部分空間である場合、はどちらかであり、そうでなければ吸収である。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle Y.}$
• 任意の に対して、が複数の点を含む場合、この空間にハウスドルフユークリッド位相が備わっているとき、それは1 次元ベクトル空間内の の凸かつ均衡な近傍です。また、集合は原点を含む実ベクトル空間の凸かつ均衡な部分集合です。${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$

バランスのとれた船体とバランスのとれたコアの特性

任意のサブセットの集合に対して${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

任意の位相ベクトル空間において、原点の任意の開近傍の平衡包は、やはり開包となる。がハウスドルフ位相ベクトル空間であり、がのコンパクト部分集合である場合、の平衡包はコンパクトである。^[8]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$

集合が閉じている場合（それぞれ、凸状、吸収性、原点の近傍）、そのバランスの取れたコアについても同じことが当てはまります。

任意の部分集合と任意のスカラー${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

任意のスカラーに対して、この等式は に対して成立し、 の場合に限る。したがって、またはの場合、任意のスカラーに対して${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle S=\varnothing }$ $${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$ ${\displaystyle c.}$

関連する概念

実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の関数は、${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ バランスのとれた関数とは、以下の同等の条件のいずれかを満たす関数である。^[9]

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$ がスカラーであり、${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$ とがスカラーであり、${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|\leq |b|}$ ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$ は、すべての非負実数に対してバランスのとれた集合である。${\displaystyle t\geq 0.}$

が釣り合い関数である場合、すべてのスカラーとベクトルに対して が成り立ち 、特に、すべての単位長さのスカラー（を満たす）とすべての^[9]に対してが成り立ちます。 を使用すると、すべての釣り合い関数は対称関数であることが示されます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\in X;}$ ${\displaystyle p(ux)=p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle u:=-1}$

実数値関数が半ノルムとなるのは、それが均衡した部分線形関数である場合のみです。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

参照

• 絶対凸集合 – 凸かつバランスのとれた集合
• 吸収セット – 任意のポイントに到達できるように「膨らませる」ことができるセット
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合
• スタードメイン – ユークリッド空間における点集合の性質
• 対称集合 - 群の部分集合の性質（数学）
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

参考文献

1. Swartz 1992、pp.4–8を参照。
2. Narici & Beckenstein 2011、pp. 107–110。
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7. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、115–154頁。
8. Trèves 2006、56ページ。
9. シェヒター 1996、313ページより。

1. ある集合を含むベクトル空間がすべて同じ体上にあると仮定すると、その集合が「バランスが取れている」と記述するときに、 を含むベクトル空間について言及する必要はない。つまり、「 はのバランスの取れた部分集合である」の代わりに「 はバランスが取れている」と書くことができる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
2. が原点で星型であるということは、すべての場合において、そして${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W.}$

証明

1. を平衡とします。その位相内部が空であれば平衡なので、そうでないと仮定し、をスカラーとします。すると、で定義される写像は同相写像となり、これはが開写像であることを意味し、したがって、に対してこれが真であることを示すだけです。ただし、は真ではない可能性がありますが、 が真である場合は は平衡になります。${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B=\operatorname {Int} _{X}(sB)\subseteq sB\subseteq B;}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s=0.}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

出典

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