補助正規空間

数学の一分野である関数解析において、円板からノルム空間を構築する 2 つの方法がアレクサンダー・グロタンディークによって体系的に採用され、核作用素と核空間が定義されました^[1]。 1 つの方法は、円板が有界である場合に使用されます。この場合、補助ノルム空間はノルムを持ち ます。 もう 1 つの方法は、円板が吸収である 場合に使用されます。この場合、補助ノルム空間は商空間です 。 円板が有界かつ吸収である場合、2 つの補助ノルム空間は標準同型です (位相ベクトル空間として、およびノルム空間として)。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ $${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X/p_{D}^{-1}(0).}$

有界円板による誘導 – バナッハ円板

この記事全体を通して、は実数または複素ベクトル空間（必ずしもTVSである必要はない）であり、は円板である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

円板によって誘導される半ノルム空間

を実ベクトル空間または複素ベクトル空間とします。ミンコフスキー汎関数の任意の部分集合は次のように定義されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$

• を自明な写像^[2]と定義し、^[注1]と仮定する。${\displaystyle D=\varnothing }$ ${\displaystyle p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle p_{\varnothing }=0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \varnothing =\{0\}.}$
• が吸収する場合、のミンコフスキー関数を で表す。ここで、これはすべてで定義される。${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ $${\displaystyle p_{D}:\operatorname {span} D\to [0,\infty )}$$ ${\displaystyle x\in \operatorname {span} D,}$ $${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.}$$

を実ベクトル空間または複素ベクトル空間とする。ミンコフスキー関数が半ノルムとなるような任意の の部分集合に対して、をと表記し 、これはによって誘導される半ノルム空間と呼ばれる。ただしがノルムならば、によって誘導されるノルム空間と呼ばれる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D,}$ ${\displaystyle X_{D}}$ $${\displaystyle X_{D}:=\left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D.}$

仮定（位相）:によって誘導される半ノルム位相が与えられ、それはまたはで表される。${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D},}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \tau _{p_{D}}}$

重要なのは、この位相が、集合の代数構造と 上の通常の位相（は集合とスカラー乗法のみを用いて定義されるため）から完全に派生していることです。これはバナッハ円板の研究を正当化し、バナッハ円板が核作用素と核空間の理論において重要な役割を果たす理由の一部となっています。 ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$

包含写像は標準写像と呼ばれる。^[1]${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$

が円板であると仮定する。すると、 はの線形スパンにおいて吸収となる。 の正のスカラー倍数全体の 集合は、 上の局所凸位相ベクトル空間位相の原点近傍の基底を形成する。における円板の ミンコフスキー汎関数は、が明確に定義され、上で半ノルムを形成することを保証する[ ^3]。 この半ノルムによって誘導される局所凸位相は、前に定義された位相である。 ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \operatorname {span} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D,}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \{rD:r>0\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$

バナッハ円板の定義

位相ベクトル空間内の有界円 板 であって、バナッハ空間であるものをバナッハ円板、インフラコンプリート、または有界コンプリートと呼ぶ。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle X.}$

それがバナッハ空間であることが示される場合、それは有界部分集合として 含む任意のTVS内のバナッハ円板になります。${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

これは、ミンコフスキー関数が純粋に代数的な用語で定義されているためです。したがって、バナッハ空間を形成するかどうかという問題は、円板とミンコフスキー関数のみに依存し、TVS位相が持つ可能性のある特定の位相には依存しません。したがって、TVS内のバナッハ円板が有界部分集合であるという要件は、バナッハ円板の位相とそれを含むTVSの位相を結び付ける唯一の性質です。${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

円板誘導半ノルム空間の性質

境界付きディスク

次の結果は、バナッハ ディスクが境界付きである必要がある理由を説明しています。

定理^{[4] [5] [1]} —が位相ベクトル空間（TVS）内の円板である場合、包含写像が連続であるときのみ、が有界となる。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$

証拠

円板がTVSで有界である場合、原点の任意の近傍に対して、が存在する。 この場合、 の位相はを継承する部分空間位相よりも細かく、包含写像が連続であることを意味する。逆に、 がTVS位相を持ち、が連続である場合、の原点の任意の近傍に対して、が存在する。これはが有界であることを示す。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D}.}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D},}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

ハウスドルフネス

空間がハウスドルフであることと、ノルムであることは、非自明なベクトル部分空間を含まないことと同値である。^[6] 特に、が有界となるようなハウスドルフTVS位相が存在する場合、はノルムである。 がハウスドルフではない例は、 を とし、 を-軸とすることで得られる。 ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$

ネットの収束

がハウスドルフの円板で、がハウスドルフの網であるとする。すると、がすべてのに対してとなる実数網が存在するとき、かつそのときに限って、 すべてのに対してとなる。さらに、この場合、一般性を失うことなく、すべてのに対してとなると仮定する。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{D}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle i.}$

ディスク誘導空間の関係

とが成り立つならば、次の連続^[5]線型写像を定義する。 ${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} C\subseteq \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} C,}$

とが の円板である場合、包含写像を の標準的な包含写像と呼ぶ。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq D}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$ ${\displaystyle X_{C}}$ ${\displaystyle X_{D}.}$

特に、から継承される部分空間位相はの半ノルム位相よりも弱い。 ^[5]${\displaystyle \operatorname {span} C}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$

閉じた単位球としての円板

円板が の閉部分集合である場合、かつが半ノルム の閉単位球である場合に限ります。つまり、 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.}$

がベクトル空間内の円板であり、が の閉有界部分集合となるようなTVS位相が存在する場合、はの閉単位球体である（つまり、）（証明については脚注を参照）。^{[注 2]}${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,\tau \right),}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$

バナッハ円板の十分条件

次の定理を用いて、 がバナッハ空間であることを証明できる。これが証明されると、 が有界となる任意のTVSにおいて はバナッハ円板となる。 ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

定理^[7] —をベクトル空間上の円板とすると、 がの有界な順次完全部分集合であるような ハウスドルフTVS位相が存在する場合、はバナッハ空間である。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\operatorname {span} D,\tau ),}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$

証拠

一般性を失うことなく、を のミンコフスキー関数と仮定する。 はハウスドルフTVSの有界部分集合であるため、非自明なベクトル部分空間を含まない。これは がノルムであることを意味する。によって誘導されるノルム位相を とすると、は の有界部分集合であるため、は よりも細かい。${\displaystyle X=\operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p:=p_{D}}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \tau .}$

凸型でバランスが取れているため、${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 0<m<n}$

$${\displaystyle 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D=2^{-(m+1)}\left(1-2^{m-n}\right)D\subseteq 2^{-(m+2)}D.}$$

をコーシー列とする。 を部分列に 置き換えることで、一般性を失うことなく^、すべての${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i,}$ $${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}\in {\frac {1}{2^{i+2}}}D.}$$

これは、任意のに対して 、特に、を取ることによって、に含まれることが導かれる。 は、のコーシー列よりも細かいので、 すべてのに対して、はのハウスドルフ順次完全部分集合である。 特に、に対してこれは真であるので、においてとなるようなものが存在する。${\displaystyle 0<m<n,}$ $${\displaystyle x_{n}-x_{m}=\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\left(x_{m+1}-x_{m}\right)\in 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D\subseteq 2^{-(m+2)}D}$$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D.}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle m>0,}$ ${\displaystyle 2^{-(m+2)}D}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D}$ ${\displaystyle x\in x_{1}+2^{-3}D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

すべての についてであるため、を固定し、極限 ( ) を として取ると、各 についてが成り立ちます。 これは、が であることを意味し、 ではがまさに であることを意味します。これは、 が完全である ことを示しています。 ${\displaystyle x_{n}-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ ${\displaystyle 0<m<n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle n\to \infty ,}$ ${\displaystyle x-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ ${\displaystyle m>0.}$ ${\displaystyle p\left(x-x_{m}\right)\to 0}$ ${\displaystyle m\to \infty ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right)}$

^†この仮定は、が距離空間内のコーシー列であるため（したがって、すべての部分列の極限は等しい）、距離空間内の列が収束するのは、すべての部分列に収束する部分部分列がある場合のみであるため許可されます。 ${\displaystyle x_{\bullet }}$

がハウスドルフTVSの有界かつ逐次完全な部分集合でない場合でも、この定理を以下の条件を満たす 円板に適用すること で、がバナッハ空間であると結論付けることができるかもしれない。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle p_{D}=p_{K}.}$

上記の定理から次の結果が導かれます。

• ハウスドルフTVSにおける連続的に完全な有界円板はバナッハ円板である。^[5]
• ハウスドルフTVS内の完全かつ有界な（例えばコンパクトな）円板はバナッハ円板である。^[8]
• フレシェ空間内の閉じた単位球は逐次完備であり、したがってバナッハ円板である。^[5]

がTVS内の有界円板であると仮定する${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

• が連続線型写像でバナッハ円板ならば、はバナッハ円板であり、等長TVS同型写像を誘導する。${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$ ${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).}$

バナッハ円板の性質

をTVSとし、を境界付き円板とする。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

がハウスドルフ局所凸空間の有界バナッハ円板であり、がバレルである場合、吸収する（つまり、[ ^4]${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle D\subseteq rT.}$

が原点の凸均衡閉近傍である場合、 が正の実数 の範囲にあるすべての近傍の集合は、 上に位相ベクトル空間位相を誘導します。 がこの位相を持つとき、それは で表されます。この位相は必ずしもハウスドルフ空間でも完備空間でもないことから、ハウスドルフ空間の完備化はで表され、は完備ハウスドルフ空間となり、 はこの空間上のノルムとなり、バナッハ空間となります。 の極は の弱コンパクト有界等連続円板であるため、 は劣完備です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle rU,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{U}.}$ ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U^{\circ },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

が計量化可能な局所凸TVSである場合、 の任意の有界部分集合に対して、の有界円板が存在し、 と の両方が^[5]に同じ部分空間位相を誘導する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle B.}$

放射状ディスクによる誘導 – 商

が位相ベクトル空間で、が凸平衡放射状集合であるとする。すると、は 上の局所凸位相の原点における近傍基底となる。 この TVS 位相は、によって形成されるミンコフスキー汎関数によって与えられ、これは によって定義される上の半ノルムである。 位相がハウスドルフであるためには、 がノルムである場合と同値である。あるいは、 が である場合と同値である。この場合、 が で有界であれば十分である。位相 はハウスドルフである必要はないが、ハウスドルフである。 上のノルムは によって与えられ、この値は実際には選択された同値類の代表とは独立である。ノルム空間は によって表され、その完備化は によって表される。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle p_{V}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),}$ ${\displaystyle x+X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle {\overline {X_{V}}}.}$

さらに が で有界であれば、半ノルムはノルムなので、特に が成り立ち ます。この場合、を ではなくベクトル空間とするので、表記は明確になります（が放射状円板によって誘導される空間を表すのか、有界円板によって誘導される空間を表すのかは関係ありません）。^[1]${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/\{0\}}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle X_{V}}$

上の商位相 （の元の位相 から継承）は、ノルム位相よりも細かい（一般に、厳密には細かい）です。${\displaystyle \tau _{Q}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$

標準地図

正準写像とは、ノルム位相または商位相を持つときに連続となる商写像 である。 ^[1]${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$ ${\displaystyle X_{V}}$

とが放射状円板で、となるような場合、同値類に送ることで定義される 連続線型射影正準写像が存在する。ここで、定義は選択された同値類の代表に依存しないことが検証できる。^[1] この正準写像はノルム^[1]を持ち、次のように表される唯一の連続線型正準拡張を持つ。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$ ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$ ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \,\leq 1}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle {\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.}$

さらに、とがの有界円板で、その包含が連続線型写像であるとする。とを標準写像とする。すると、と^[1]${\displaystyle B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$ ${\displaystyle q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.}$

境界のある放射状ディスクによって誘発される

が有界放射状円板であると仮定します。が有界円板であるため、 ならばノルム を持つ補助ノルム空間を作成できます。が放射状であるため、が放射状円板である ため、 ならばセミノルム を持つ補助セミノルム空間を作成できます。が有界であるため、このセミノルムはノルムであり、となる ため、 この場合、これら2つの異なる方法で生成された2つの補助ノルム空間は同じノルム空間になります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D:=S}$ ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X_{S}=X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V:=S}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.}$

二重性

が弱閉等連続円板であると仮定し（これはが弱コンパクトであることを意味する）、 を の 極とします。双極定理 により、連続線型汎関数が に属する場合、かつが の連続双対空間に属する場合のみ、が成り立ちます。ここでは^[9]で定義されるのミンコフスキー汎関数です。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{ for all }}h\in H\}}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{H}^{\prime }=\operatorname {span} H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X,p_{U}\right),}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.}$

関連概念

TVS内のディスクがすべてのバナッハディスクを吸収する場合、そのディスクはインフラボーンイボロウ^[5]と呼ばれます。

2つのTVS間の線形写像は、バナッハ円板を有界円板に写像する場合、 インフラバウンド写像^{と呼ばれます[5] 。}

高速収束

TVS 内のシーケンスが点に高速収束するとは、バナッハ円板が存在し、シーケンスが（最終的に） と に含まれる場合を言う^[5]。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right).}$

すべての高速収束列はマッキー収束する。^[5]

参照

• ボルノロジー空間 – 有界作用素が連続する空間
• 入射テンソル積
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 核作用素 – 位相ベクトル空間に関連する線型作用素
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化
• 初期位相 – 特定の関数を連続させる最も粗い位相
• 射影テンソル積
• シュワルツ位相ベクトル空間
• ヒルベルト空間のテンソル積 – 特別な内積を持つテンソル積空間
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成
• 超自然的空間

注記

1. これは、 を含む最小のベクトル空間である。あるいは、の場合は、 は次のように置き換えられる。${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle D=\varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{0\}.}$
2. WLOG がで閉じているのでも で閉じており、半ノルムはで連続なミンコフスキー関数であるので、Narici & Beckenstein (2011, pp. 119–120) に従う。これはで閉じた単位球である。${\displaystyle X=\operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right),}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$

参考文献

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参考文献

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• ウォン、ヤウ・チュエン (1979).シュワルツ空間、核空間、テンソル積.数学講義ノート. 第726巻. ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-09513-2OCLC  5126158 。

外部リンク

• ncatlabの核空間