抽象代数学において、基本部分群とは、巡回部分群の直和であり、かつ更なる技術的条件を満たすアーベル群の部分群である。この概念は、プリューファーの定理を超える無限アーベル群の分類理論を定式化する試みの中で、 L. Ya. Kulikov（ p群の場合）とLászló Fuchs（一般の場合）によって導入された。この概念は、分類問題を、よく知られた2つのアーベル群のクラス、すなわち巡回群の直和と可分群の間の可能な拡張の分類へと縮減するのに役立つ。
定義と特性
アーベル群Aの部分群 B は、固定された素数pに対して、次の条件が成り立つ場合 、 p基本群と呼ばれます。
条件1～3は、部分群BがBのp進位相においてハウスドルフであり、さらにAから誘導される位相と一致し、B がAにおいて稠密であることを意味する。 Bの各巡回直和項において生成元を選ぶと、 Bのp基底が生成され、これはベクトル空間または自由アーベル群の基底に類似する。
任意のアーベル群Aは、各pに対してp -基本部分群を含み、Aの任意の 2 つのp -基本部分群は同型である。唯一のp -基本部分群を含むアーベル群は完全に特徴付けられている。 p -基本部分群の場合、それらは割り切れるか、または有界である。すなわち、有界指数を持つ。一般に、商A / Bの基本部分群Bの同型類は、 Bに依存する場合がある。
参考文献
