基底（普遍代数）

普遍代数において、基底とは、自由代数と呼ばれるいくつかの（普遍）代数の内部構造である。基底は、自身の元から代数演算によって独立にすべての代数元を生成する。また、基底は代数の自己準同型を代数元の特定の添字によって表現する。これは、自由代数がベクトル空間である場合の通常の行列に対応する。

定義

（普遍）代数の基底（または参照フレーム）は、代数要素を値として取り、次の2つの同値な条件のいずれかを満たす関数です。ここで、全体の集合は基底集合と呼ばれますが、多くの著者はこれを「基底」と呼んでいます。^{[ 1 ] [ 2 ]}その引数の集合は次元集合と呼ばれます。すべての引数が全体に含まれ、代数要素を値として取る（基底集合の外側であっても）関数は、 と表記されます。このとき、は になります。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b(i)}$ ${\displaystyle b(i)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle m}$

外部状態

この条件は、代数 の-元基本関数の集合によって基底を定義します。これらの関数は、 すべての を引数として受け取り、何らかの代数要素を値として取得する特定の関数です。実際、これらの関数は、 の各 に対して となる関数を含む、すべての射影と、代数の演算による「複数の合成」を繰り返すことによってそこから生じるすべての関数で構成されます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell (m).}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle p_{i}(m)=m(i)}$ ${\displaystyle m}$

（代数演算が単一の代数要素を引数として持つ場合、そのような合成関数の値は、合成の場合のように、演算が以前に計算された単一の -ary 関数の値から取得する値になります。そうでない場合、そのような合成では、代数演算の前に、その引数内の可能な代数要素ごとに 1 つずつ、多数の（またはゼロ引数演算の場合はまったく） -ary 関数を評価する必要があります。 の場合、および演算の引数内の要素の数、つまり「アリティ」が有限である場合、これは有限多重合成です。） ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

すると、外部条件によれば、基底は代数を生成する必要があり（つまり、 全体に及ぶとき、すべての代数要素を取得する）、独立である必要があります（つまり、任意の 2 つの-ary 基本関数が で一致するときはいつでも、それらはどこでも次のようになります。つまり を意味します）。^{[ 3 ]}これは、すべての代数要素を引数として取り、 -ary 基本関数を値として取得し 、内のすべての場合に を満たす単一の関数が存在することを要求するのと同じです。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ell (b)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell '(b)=\ell ''(b)}$ ${\displaystyle \ell '=\ell ''}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \chi ({\ell (b)})=\ell }$ ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle L}$

内部状態

この別の条件は、代数の自己準同型集合 E によって基底を定義する。自己準同型とは、代数からそれ自身への準同型であり 、基底による解析的表現を通して定義される。後者は、あらゆる自己準同型eを引数として関数m を値として得る関数である。ここで、このmはbにおけるeの値の「サンプル」であり、つまり次元集合内の すべてのiについてである。${\displaystyle \varrho}$ ${\displaystyle \varrho (e)=m}$ ${\displaystyle m(i)=[\varrho (e)]_{i}=e(b(i))}$

すると、内部条件bが基底であるという条件によれば、 がEからすべてのmの集合への全単射であるとき、すなわち各mに対して となる自己準同型写像eがただ1つ存在する。これは、拡張関数、 すなわちすべての（サンプル）m を引数として となる自己準同型写像に拡張する 関数が存在することを要求するのと同じである。^{[ 4 ]}${\displaystyle \varrho}$ ${\displaystyle m=\varrho (e)}$ ${\displaystyle \eta}$ ${\displaystyle \eta (m)}$ ${\displaystyle \varrho (\eta (m))=m}$

これら2つの条件の関係は恒等式によって与えられ 、これはすべてのmとすべての代数元aに対して成り立つ。^{[ 5 ]}普遍代数の基底を特徴付ける他のいくつかの条件は省略されている。 ${\displaystyle [\chi (a)]_{m}=[\eta (m)]_{a}}$

次の例が示すように、現在の基底はベクトル空間の基底の一般化である。したがって、「基底」という名称は「基準系」に置き換えられる。しかし、ベクトル空間の場合とは対照的に、普遍代数には基底が存在しない可能性があり、基底が存在する場合でも、その次元集合は異なる有限の正の濃度を持つ可能性がある。^{[ 6 ]}

例

ベクトル空間代数

有限次元のベクトル空間に対応する普遍代数において、基底は本質的にこのベクトル空間の順序付き基底である。しかし、この点については後で詳しく説明する。

ベクトル空間が有限次元の場合、例えばの場合、外部条件の集合Lに含まれる関数は、線型結合に形成と線型独立性を与える関数と全く同じであり、現在の生成元の性質は形成の性質となる。一方、線型独立性は現在独立性の単なる一例に過ぎず、そのようなベクトル空間では線型独立性と同値となる。（また、普遍代数に対する線型独立性の他のいくつかの一般化は、現在独立性を含意しない。） ${\displaystyle I=\{0,1,\ldots ,n-1\}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle \ell (b)=c_{0}b_{0}+c_{1}b_{1}+\ldots c_{n-1}b_{n-1}}$

内部条件の関数mは、ベクトル空間の自己準同型（つまり、それ自体への線型写像）を構築するのに役立つ体の元の正方配列（つまり、通常のベクトル空間正方行列）に対応します。次に、内部条件は、自己準同型から配列への一対一性も要求します。実際、そのような配列の各列は、基底bに関するn組の座標としてベクトルを表します。たとえば、ベクトルが基礎となる体からのn組の数であり、 bがクロネッカー基底である場合、mは列 から見たそのような配列であり、は参照ベクトルにおけるそのような線型写像のサンプルであり、このサンプルを以下のようにこの写像に拡張します。 ${\displaystyle m(i)}$ ${\displaystyle \varrho}$ ${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle {}\qquad \left({\begin{array}{rrc}0&-1&2\\-2&3&1\\1&0&2\end{array}}\right)\quad {\begin{array}{c}{\stackrel {\eta }{\longmapsto }}\\{\stackrel {\varrho }{\longleftarrow \!\!{}^{{}_{\!{}_{\mathsf {l}}}}}}\end{array}}\quad \left\{{\begin{array}{rcrccr}x'_{0}&=&&-x_{1}&+&2x_{2}\\x'_{1}&=&-2x_{0}&+3x_{1}&+&x_{2}\\x'_{2}&=&x_{0}&&+&2x_{2}\end{array}}\right.}$

ベクトル空間が有限次元でない場合は、更なる区別が必要となる。実際、関数は形式的にはあらゆる引数に無限のベクトルを持つものの、それらが評価する線形結合は無限個の加数を必要とせず、それぞれがすべての必要なiを含むの有限部分集合Jを決定する。すると、すべての値はに等しくなる。ここで、はmのJへの制約であり、は に対応するJ元基本関数である。を に置き換える と、無限基底関数の線形独立性とスパニング特性は、現在の外部条件から導かれ、逆もまた成り立つ。 ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle c_{i}m(i)}$ ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell (m)}$ ${\displaystyle \ell '(m')}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle \ell '}$ ${\displaystyle \ell}$ ${\displaystyle \ell '}$ ${\displaystyle \ell}$

したがって、正の次元のベクトル空間に関する限り、現在の普遍代数の基底とベクトル空間の順序付き基底との唯一の違いは、ここでは 上の順序付けが要求されないという点である。それでも、何らかの目的がある場合には順序付けが許容される。 ${\displaystyle I}$

空間が零次元の場合、その順序基底は空である。そして、空関数は現基底である。しかし、この空間は零ベクトルのみを含み、その自己準同型は恒等写像のみであるため、任意の集合（空でない集合も含む）からこの単元空間への任意の関数bは現基底として働く。これは普遍代数の観点からはそれほど奇妙なことではない。普遍代数において、「自明」と呼ばれる単元代数は、他にも一見奇妙な性質を多く備えているからである。 ${\displaystyle I}$

単語モノイド

を「アルファベット」、すなわち「文字」と呼ばれるオブジェクトの（通常は有限の）集合とします。Wは対応する単語または「文字列」の集合を表します。これは文字列のように、すなわち文字を順に書くか、空語の場合は で表されます（形式言語表記）。^{[ 7 ]}したがって、並置は2つの単語vとwの連結、すなわちvで始まりwが続く単語を表します。 ${\displaystyle I=\{{\mathsf {a,b,c,}}\ldots \}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle vw}$

連接はW上の二項演算であり、空語と組み合わせることで自由モノイド（ 上の語のモノイド）が定義されます。これは最も単純な普遍代数の一つです。すると、内部条件から、その基底の一つが関数bであり、各文字 から一文字の語 を生成することが直ちに証明されます。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {i}}$ ${\displaystyle {\mathsf {i}}}$ ${\displaystyle b({\mathsf {i}})=i}$

（シーケンスの集合論的実装によっては、b は恒等関数ではなく、つまり ではなく、 のようなオブジェクト、つまりシングルトン関数、またはやのようなペアになることがあります。^{[ 7 ]}） ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathsf {i}}}$ ${\displaystyle \{(\emptyset ,{\mathsf {i}})\}}$ ${\displaystyle (\emptyset ,{\mathsf {i}})}$ ${\displaystyle ({\mathsf {i}},\emptyset )}$

実際、 D0Lシステムの理論（Rozemberg & Salomaa 1980）では、このような「生成」テーブルが用いられ 、 W内の任意の単語uにおける各単語の同時置換を定義する。つまり、 ならば となる。そして、b は内部条件を満たす。なぜなら、関数 は、あらゆる単語の自己準同型性を任意のそのようなテーブルと同一視する、よく知られた一対一表現だからである。（与えられた「シード」単語から始まるこのような自己準同型性を繰り返し適用することで、多くの成長プロセスをモデル化することができる。そこでは、単語と連結は、単なる「シーケンス」ではなく、 Lシステムのようなかなり異質な構造を構築するのに役立つ。） ${\displaystyle m=\varrho (e)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w=m({\mathsf {i}})}$ ${\displaystyle u={i}_{0}{i}_{1}\cdots {i}_{k}}$ ${\displaystyle e(u)=m({\mathsf {i}}_{0})m({\mathsf {i}}_{1})\cdots m({\mathsf {i}}_{k})}$ ${\displaystyle \varrho}$

注記

1. グールド。
2. Grätzer 1968、198ページ。
3. 例えば、(Grätzer 1968, p.198)を参照。
4. 例えば、（Ricci 2007）の0.4と0.5を参照。
5. 例えば、（Ricci 2007）の0.4 （E）を参照。
6. グレーツァー 1979.
7. コンピュータサイエンスでは形式言語表記法が用いられており、集合論的な単語の定義と衝突することがあります。G. Ricci, An observation on a Formal Language notation, SIGACT News, 17 (1972), 18–23 を参照。

参考文献

1. グールド、V。独立代数、 Algebra Universalis 33（1995）、294–318。
2. Grätzer, G. (1968). Universal Algebra , D. Van Nostrand Company Inc..
3. Grätzer、G. (1979)。Universal Algebra 2-nd 2ed.、Springer Verlag。ISBN 0-387-90355-0。
4. Ricci, G. (2007).膨張は場を殺す, Int. J. Math. Game Theory Algebra, 16 5/6, pp. 13–34.
5. Rozenberg G.とSalomaa A. (1980). Lシステムの数学理論, Academic Press, New York. ISBN 0-12-597140-0