ベイトマン方程式
Mathematical model in nuclear physics

原子核物理学において、ベイトマン方程式は、崩壊系列における存在量と活性を、崩壊率と初期存在量に基づいて時間の関数として記述する数学モデルである。このモデルは1905年にアーネスト・ラザフォードによって定式化され[1]、解析解は1910年にハリー・ベイトマンによって示された[2]。

時刻tに、同位体 の原子が速度 で同位体 に崩壊すると、 kステップの崩壊系列 における同位体の量は次のように変化します。 N i ( t ) {\displaystyle N_{i}(t)} i {\displaystyle i} i + 1 {\displaystyle i+1} λ i {\displaystyle \lambda _{i}}

d N 1 ( t ) d t = − λ 1 N 1 ( t ) d N i ( t ) d t = − λ i N i ( t ) + λ i − 1 N i − 1 ( t ) d N k ( t ) d t = λ k − 1 N k − 1 ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}}

（これは崩壊分岐を扱うために適応できる）。これはi  = 2の場合には明示的に解くことができるが、鎖が長くなると式はすぐに複雑になる。[3]ベイトマン方程式は古典的なマスター方程式であり、遷移速度は1つの種（i）から次の種（i+1）への遷移のみが許可され、逆方向には許可されない（i+1からiへの遷移は禁止されている）。

ベイトマンは、変数の ラプラス変換を行うことで、量の一般的な明示的な式を見つけました。

N n ( t ) = N 1 ( 0 ) × ( ∏ i = 1 n − 1 λ i ) × ∑ i = 1 n e − λ i t ∏ j = 1 , j ≠ i n ( λ j − λ i ) {\displaystyle N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}}

（同位体iの原子が一定の割合で外部から供給される場合、ソース項で拡張することもできます）。[4]

ベイトマン関数によるプルトニウム241の数量計算

ベイトマンの式はコンピュータコードで実装できますが、一部の同位体対では、壊滅的な相殺によって計算エラーが発生する可能性があります。そのため、数値積分法や行列指数法などの他の手法も用いられています。[5] [6] λ j ≈ λ i {\displaystyle \lambda _{j}\approx \lambda _{i}}

例えば、3つの同位体の連鎖の単純なケースでは、対応するベイトマン方程式は次のように簡約される。

A → λ A B → λ B C N B = λ A λ B − λ A N A 0 ( e − λ A t − e − λ B t ) {\displaystyle {\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}

これにより、同位体の活性に関する次の式が得られる（ を代入することにより）。 B {\displaystyle B} A = λ N {\displaystyle A=\lambda N}

A B = λ B λ B − λ A A A 0 ( e − λ A t − e − λ B t ) {\displaystyle {\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}

参照

参考文献

  1. ^ ラザフォード、E.（1905年）『放射能』大学出版局、331ページ
  2. ^ ベイトマン, H. (1910年6月). 放射性変換理論に現れる微分方程式系の解. ケンブリッジ哲学協会紀要 (第15巻、第5号、423–427頁) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843
  3. ^ 「アーカイブコピー」（PDF） 。 2013年9月27日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2013年9月22日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
  4. ^ 「Nucleonica」.
  5. ^ Harr, Logan (2007-03-15). 「複雑な放射性崩壊連鎖の精密計算」(PDF) .学位論文集(2007年出版).
  6. ^ Snyder, W. Van (2017-08-16). 「アルゴリズム982：定数係数を持つ一次線形初期値常微分方程式の三角システムの明示的解」 ACM Transactions on Mathematical Software . doi :10.1145/3092892.
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