ベル・ロビンソンテンソル

一般相対性理論と微分幾何学において、ベル・ロビンソンテンソルは抽象指数表記法で次のように定義されるテンソルです。

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}+{\frac {1}{4}}\epsilon _{ae}{}^{hi}\epsilon _{b}{}^{ej}{}_{k}C_{hicf}C_{j}{}^{k}{}_{d}{}^{f}}$

あるいは、

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}-{\frac {3}{2}}g_{a[b}C_{jk]cf}C^{jk}{}_{d}{}^{f}}$

ここではワイルテンソルである。これは1959年にルイス・ベルによって導入された。^{[1] [2]}ベル・ロビンソンテンソルは、電磁応力エネルギーテンソルが電磁テンソルから構築されるのと類似した方法で、ワイルテンソルから構築される。電磁応力エネルギーテンソルと同様に、ベル・ロビンソンテンソルは完全に対称でトレースレスである。 ${\displaystyle C_{abcd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{abcd}&=T_{(abcd)}\\T^{a}{}_{acd}&=0\end{aligned}}}$

一般相対論では、重力場の局所エネルギーの唯一の定義は存在しない。ベル・ロビンソンテンソルは局所エネルギーの定義の一つであり、リッチテンソルが零（つまり真空中）となる場合、ベル・ロビンソンテンソルは発散フリーであることが示される。

${\displaystyle \nabla^{a}T_{abcd}=0}$

参考文献

1. Bel, L. (1959)、「 Introduction d'un Tenseur du quatrième ordre」、Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences、248 : 1297
2. Senovilla, JMM (2000)、「編集者注：ルイス・ベル著『一般相対性理論における放射状態とエネルギー問題』」、一般相対性理論と重力、32 (10): 2043、Bibcode :2000GReGr..32.2043S、doi :10.1023/A:1001906821162、S2CID  116937193