ベリンスキー・ザハロフ変換

ベリンスキー・ザハロフ（逆）変換は、真空アインシュタインの場の方程式の新しい厳密解を生成する非線形変換です。 1978年にウラジミール・ベリンスキーとウラジミール・ザハロフによって開発されました。^{[ 1 ]}ベリンスキー・ザハロフ変換は、逆散乱変換の一般化です。この変換によって生成される解は、重力ソリトン（重力ソリトン）と呼ばれます。「ソリトン」という用語は重力ソリトンを表すために使用されていますが、その挙動は他の（古典的な）ソリトンとは大きく異なります。^{[ 2 ]}特に、重力ソリトンは時間的に振幅と形状を保存せず、2012年6月現在、その一般的な解釈は不明です。しかし、ほとんどのブラックホール（特にシュワルツシルト計量とカー計量）は重力ソリトンの特殊なケースである ことはわかっています

はじめに

ベリンスキー・ザハロフ変換は、次の形式の 時空区間に対して適用されます

${\displaystyle ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1})^{2})+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

ここで、についてはアインシュタインの総和規約を用いる。関数と行列はどちらも座標⁠ ⁠とのみに依存すると仮定する。これは2つの変数のみに依存する時空区間の特殊な形であるにもかかわらず、シュワルツシルト計量、カー計量、アインシュタイン・ローゼン計量など、特別なケースとして多くの興味深い解を含む。 ${\displaystyle a,b=2,3}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle x^{1}}$

この場合、アインシュタインの真空方程式は行列と関数の2組の方程式に分解されます。光円錐座標を用いると、行列の最初の方程式は ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \zeta =x^{0}+x^{1},\eta =x^{0}-x^{1}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (\alpha g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\alpha g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0,}$

ここで、⁠ ⁠の行列式の平方根、すなわち ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \det g=\alpha^{2}}$

2番目の方程式は

${\displaystyle (\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1})}$

${\displaystyle (\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1})}$

行列方程式のトレースをとると、波動方程式を満たすこと がわかる。${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \alpha_{,\zeta\eta}=0}$

ラックス対

で定義される 線型作用素を考えます。${\displaystyle D_{1},D_{2}}$

${\displaystyle D_{1}=\partial_{\zeta}+{\frac{2\alpha_{,\zeta}\lambda}{\lambda-\alpha}}\partial_{\lambda}}$

${\displaystyle D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +\alpha }}\partial _{\lambda }}$

ここで、は補助的な複素スペクトルパラメータです。簡単な計算で、は波動方程式を満たすので、であることがわかります。この作用素の対は可換であり、これはLax 対です ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \left[D_{1},D_{2}\right]=0}$

逆散乱変換の要点は、非線形アインシュタイン方程式を、新しい行列関数⁠ ⁠の過剰決定線形方程式系として書き直すことです。ベリンスキー・ザハロフ方程式を考えてみましょう。 ${\displaystyle \psi =\psi (\zeta,\eta,\lambda)}$

${\displaystyle D_{1}\psi ={\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi }$

${\displaystyle D_{2}\psi ={\frac {B}{\lambda +\alpha }}\psi }$

最初の方程式の左辺に を、2番目の方程式の左辺に を作用させ、その結果を引くと、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠の交換法則により、左辺はゼロになります。右辺については、簡単な計算で、 が非線形行列アインシュタイン方程式を満たすとき、まさにゼロになることが分かります。 ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle g}$

これは、過剰決定線形ベリンスキー・ザハロフ方程式が、非線形行列方程式を解くとき、まさに同時に解けることを意味する。行列値関数から簡単な極限処理によって容易に復元できる。ベリンスキー・ザハロフ方程式の極限を取り、右からを掛けると、以下のようになる。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \psi^{-1}}$

${\displaystyle \psi_{,\zeta}\psi^{-1}=g_{,\zeta}g^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\eta }\psi ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}}$

このように、非線形方程式の解は、線形ベリンスキー・ザハロフ方程式の解から簡単な評価によって得られる。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(\zeta ,\eta )=\psi (\zeta ,\eta ,0)}$

参考文献

1. Belinskii, V.; Zakharov, V. (1978). 「逆散乱問題法によるアインシュタイン方程式の積分と厳密なソリトン解の構築」Sov . Phys. JETP . 48 (6): 985–994 . ISSN  0038-5646
2. Belinski, V.; Verdaguer, E. (2001).重力ソリトン. Cambridge Monographs on Mathematical Physics.