ベル多項式

組合せ 数学において、エリック・テンプル・ベルにちなんで名付けられたベル多項式は、集合分割の研究に用いられます。ベル多項式はスターリング数やベル数と関連しています。また、ファア・ディ・ブルーノの公式やラグランジュ逆行列の明示的な公式など、多くの応用にも用いられます。

定義

指数ベル多項式

部分的または不完全な指数ベル多項式は、次式で表される多項式の 三角形配列である。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})&=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}\\&=n!\sum \prod _{i=1}^{n-k+1}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}},\end{aligned}}}$

ここで、合計は、次の2つの条件を満たす非負整数の すべてのシーケンスj ₁、j ₂、j ₃、...、j _{n − k +1にわたって行われます。}

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

合計

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\\&=n!\sum _{1j_{1}+\ldots +nj_{n}=n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}}\end{aligned}}}$

はn次の完全指数ベル多項式と呼ばれます。

通常のベル多項式

同様に、部分ベル多項式は次のように定義される。

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

ここで、和は、次の式を満たす非負整数の 列j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1すべてにわたって計算される。}

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

インデックスに関する最初の条件のおかげで、式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\binom {k}{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n-k+1}}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

ここでは多項式係数を使用しています。

通常のベル多項式は指数ベル多項式で表現できます。

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

一般に、ベル多項式は、明示的に別途記載されていない限り、指数ベル多項式を指します。

組み合わせの意味

指数ベル多項式は、集合を分割する方法に関する情報を符号化します。例えば、集合{A, B, C}を考えてみましょう。この集合は、空でなく重複しない2つの部分集合（部分集合またはブロックとも呼ばれます）に分割することができ、その方法は3通りあります。

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

したがって、これらのパーティションに関する情報は次のようにエンコードできます。

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

ここで、 B _3,2の添え字は、3 つの要素を持つセットを 2 つのブロックに分割することを検討していることを示しています。各x _iの添え字は、特定のパーティションにi個の要素を持つブロック(またはサイズiのブロック) が存在することを示します。したがって、ここでx ₂は、 2 つの要素を持つブロックが存在することを示します。同様に、x _{1 は、1 つの要素を持つブロックが存在することを示します。} x _i ^jの指数は、 1 つのパーティションにサイズiのブロックがj個あることを示します。ここで、 x ₁とx ₂の両方の指数が 1 であるという事実は、特定のパーティションにそのようなブロックが 1 つだけあることを示しています。単項式の係数は、そのようなパーティションがいくつあるかを示します。ここでは、3 つの要素を持つセットを 2 つのブロックに分割する 3 つのパーティションがあり、各パーティションで要素はサイズ 1 と 2 の 2 つのブロックに分割されます。

任意の集合を単一のブロックに分割する方法は1つしかないため、上記の解釈はB _{n ,1} = x _nを意味します。同様に、 n個の要素を持つ集合をn個のシングルトンに分割する方法は1つしかないため、B _{n , n} = x ₁ ⁿとなります。

より複雑な例として、

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}$

これは、6 つの要素を持つセットを 2 つのブロックに分割すると、サイズが 1 と 5 のブロックで 6 つのパーティション、サイズが 4 と 2 のブロックで 15 のパーティション、サイズが 3 のブロック 2 つで 10 のパーティションを作成できることを示しています。

単項式の添字の合計は、要素の総数に等しくなります。したがって、部分ベル多項式に現れる単項式の数は、整数n をk個の正の整数の和として表現できる方法の数に等しくなります。これは、 nをk個の部分に整数分割することと同じです。たとえば、上記の例では、整数 3 は 2+1 としてのみ 2 つの部分に分割できます。したがって、B _3,2には単項式が 1 つしかありません。ただし、整数 6 は、 5+1、 4+2、および 3+3 として 2 つの部分に分割できます。したがって、B _{6,2には 3 つの単項式があります。実際、単項式の変数の添字は、整数分割によって指定されたものと同じであり、異なるブロックのサイズを示します。したがって、完全ベル多項式}B _nに現れる単項式の総数は、nの整数分割の総数に等しくなります 。

また、各単項式の次数（単項式の各変数の指数の和）は、集合が分割されるブロックの数に等しい。つまり、j ₁ + j ₂ + ... = kである。したがって、完全ベル多項式B _nが与えられれば、次数kの単項式をすべて集めることで、部分ベル多項式B _n,kを分離することができる。

最後に、ブロックのサイズを無視し、すべてのx _i = xとすると、部分ベル多項式B _{n , k}の係数の総和は、 n個の要素を持つ集合をk個のブロックに分割する方法の総数を与え、これは第二種スターリング数と同じです。また、完全ベル多項式B _nのすべての係数の総和は、n個の要素を持つ集合を重複しない部分集合に分割する方法の総数を与え、これはベル数と同じです。

一般に、整数n を、"1" がj ₁回、"2" がj ₂回、というように合計に分割する場合、セットのメンバーが区別できなくなったときに整数nのその分割に縮小されるサイズnのセットの分割の数は、多項式の対応する係数になります。

例

例えば、

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

6つの要素の集合を2つのブロックに分割する方法は

6個のセットを5 + 1に分割する6つの方法

6個のセットを4 + 2に分割する15通りの方法、そして

6 個のセットを 3 + 3 に分割する 10 通りの方法。

同様に、

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

6つの要素の集合を3つのブロックに分割する方法は

6個のセットを4 + 1 + 1に分割する15通りの方法

6個のセットを3 + 2 + 1に分割する方法は60通りあり、

6 個のセットを 2 + 2 + 2 に分割する 15 通りの方法。

値の表

以下は不完全ベル多項式の三角形配列です。 ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

け n	0	1	2	3	4	5	6
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{1}}$
2	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{2}}$
3	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{3}}$	${\displaystyle 3x_{1}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}}$
4	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{4}}$	${\displaystyle 3x_{2}^{2}+4x_{1}x_{3}}$	${\displaystyle 6x_{1}^{2}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{4}}$
5	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{5}}$	${\displaystyle 10x_{2}x_{3}+5x_{1}x_{4}}$	${\displaystyle 15x_{1}x_{2}^{2}+10x_{1}^{2}x_{3}}$	${\displaystyle 10x_{1}^{3}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{5}}$
6	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{6}}$	${\displaystyle 10x_{3}^{2}+15x_{2}x_{4}+6x_{1}x_{5}}$	${\displaystyle 15x_{2}^{3}+60x_{1}x_{2}x_{3}+15x_{1}^{2}x_{4}}$	${\displaystyle 45x_{1}^{2}x_{2}^{2}+20x_{1}^{3}x_{3}}$	${\displaystyle 15x_{1}^{4}x_{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{6}}$

プロパティ

生成関数

指数部分ベル多項式は次の二変数生成関数を持ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

言い換えれば、同じことに相当する、k乗の級数展開によって、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

指数ベル多項式の生成関数は次のように 与えられる。${\displaystyle \Phi (t,1)}$

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

同様に、通常の部分ベル多項式 の生成関数は

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

特に、 の係数を取ると、次の式が得られます。 ${\displaystyle u^{k}}$

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

ベル多項式の生成関数変換、数列生成関数の合成の関数展開、数列生成関数のべき乗、対数、指数についても参照のこと。これらの公式はそれぞれ、Comtetのそれぞれの節で引用されている。 ^[1]

再帰関係

完全ベル多項式は再帰関係を満たす：

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}$

初期値 を使用します。 ${\displaystyle B_{0}=1}$

部分ベル多項式は再帰関係によって効率的に計算することもできます。

${\displaystyle B_{n+1,k+1}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n}{i}}x_{i+1}B_{n-i,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k-i+1})}$

どこ

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}$

さらに：^[2]

${\displaystyle B_{n,k_{1}+k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k_{1}-k_{2}+1})={\frac {k_{1}!\,k_{2}!}{(k_{1}+k_{2})!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}B_{i,k_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{i-k_{1}+1})B_{n-i,k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k_{2}+1}).}$

いつ、 ${\displaystyle 1\leq a<n}$

${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}x_{1}^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

完全ベル多項式は次の再帰微分公式も満たす：^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

デリバティブ

完全ベル多項式の偏微分は[4]で与えられる^。

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).}$

同様に、偏ベル多項式の偏微分は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).}$

ベル多項式の引数が1次元関数である場合、連鎖律を用いて

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).}$

スターリング数とベル数

階乗の列上のベル多項式B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...)の値は、第一種符号なしスターリング数に等しい。

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}$

これらの値の合計は、階乗のシーケンス上の完全なベル多項式の値を与えます。

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.}$

1のシーケンス上のベル多項式B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...)の値は、第2種のスターリング数に等しい。

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

これらの値の合計は、1 のシーケンス上の完全なベル多項式の値を与えます。

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}$

これはn番目のベル数です。

${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}$

これはLah 数を与えます。

タッチャード多項式

タッチャード多項式は、すべての引数がxである完全なベル多項式の値として表すことができます。 ${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

逆関係

定義すると

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

すると逆の関係が成り立つ

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

より一般的には、^{[5] [6]}逆関数を許容する関数が与えられた場合、${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{-1}}$

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\,B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})\quad \Leftrightarrow \quad x_{n}=\sum _{k=0}^{n}g^{(k)}{\big (}f(a){\big )}\,B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

行列式形式

完全なベル多項式は行列式として表すことができます。

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.}$

畳み込みの恒等式

シーケンスx _n、y _n、n = 1、2、... に対して、次のように畳み込みを定義します。

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

合計の境界は 0 と n ではなく、 1 とn −  1です。

を数列の n番目の項とする${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

その後^[2]

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

例えば、 を計算してみましょう。 ${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}$

そしてこうして、

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

その他のアイデンティティ

• ${\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}}$ これはべき等数を与える。
• ${\displaystyle B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\ldots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})}$ 。
• 完全なベル多項式は二項型関係を満たす。

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),}$

  ${\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).}$

これはコンテの著書における要素の省略を修正するものである。 ^[7]${\displaystyle (q!)^{k}}$

• 部分ベル多項式の特殊なケース:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\B_{n,n}(x_{1})={}&x_{1}^{n}\\B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}x_{1}^{n-2}x_{2}\\B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}x_{1}^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{2}^{2}\\B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}x_{2}^{3}\\B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}(3x_{2}x_{4}+2x_{3}^{2})+105{\binom {n}{7}}x_{1}^{n-7}x_{2}^{2}x_{3}\\&+105{\binom {n}{8}}x_{1}^{n-8}x_{2}^{4}.\end{aligned}}}$

例

最初のいくつかの完全なベル多項式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}$

アプリケーション

ファア・ディ・ブルーノの式

ファア・ディ・ブルーノの公式は、ベル多項式を使って次のように表すことができます。

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

同様に、ファア・ディ・ブルーノの公式の冪級数版は、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}$

それから

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}$

特に、完全なベル多項式は、形式的な冪級数の指数関数に現れる。

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

これは、固定された引数のシーケンス上の完全なベル多項式の指数生成関数も表します。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$

シリーズの逆転

2つの関数fとgを次のように 形式的な冪級数で表すとします。

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

gはfの合成逆関数であり、g ( f ( w ) ) = wまたはf ( g ( z )) = zで定義される。f ₀ = 0 かつf ₁ ≠ 0 の場合には、逆関数の係数の明示的な形はベル多項式を用いて次のように表すことができる^[8]。

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,}$

であり、は上昇階乗であり、${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$ ${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$ ${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

ラプラス型積分の漸近展開

形式の積分を考える

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

ここで、( a , b ) は実数（有限または無限）区間、λ は大きな正のパラメータ、関数fとgは連続である。fは[ a , b ] においてx  =  aで唯一の最小値を持つとする。x  →  a ⁺のとき、

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-a)^{k+\alpha },}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(x-a)^{k+\beta -1},}$

ここで、 α > 0、Re( β ) > 0であり、 fの展開は項ごとに微分可能である。すると、ラプラス・エルデイの定理によれば、積分I ( λ )の漸近展開は次のように与えられる 。

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{as}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,}$

ここで係数c _nは、キャンベル・フロマン・ウォレス・ウォジロの式で与えられる 部分ベル多項式a _nとb _nを用いて表現できる。

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

対称多項式

基本対称多項式 とべき乗和対称多項式は、ベル多項式を使用して次のように関連付けることができます。 ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

これらの公式は、モニック多項式の係数をその零点のベル多項式で表すことを可能にする。例えば、ケーリー・ハミルトン定理と組み合わせることで、 n × n正方行列Aの行列式をその冪の軌跡で表すことができる。

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),~\qquad {\text{where }}s_{k}=-(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).}$

対称群のサイクル指数

対称群のサイクル指数は、次のように完全なベル多項式で表すことができます。 ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}$

モーメントとキュムラント

合計

${\displaystyle \mu _{n}'=B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}$

は、最初のn個のキュムラントがκ ₁ , ..., κ _nである確率分布のn次の生のモーメントである。言い換えれば、n次のモーメントは、最初のn個のキュムラントで評価されたn次の完全ベル多項式である。同様に、n次のキュムラントは、モーメントを用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}).}$

エルミート多項式

エルミート多項式はベル多項式で次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$

ここで、すべてのi > 2に対してx _i = 0となる。これにより、エルミート多項式の係数の組み合わせ論的解釈が可能になる。これは、エルミート多項式の生成関数を

${\displaystyle \exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

ベル多項式の場合と同様です。

二項式型の多項式列の表現

任意のスカラー列a ₁ , a ₂ , …, a _nに対して、

${\displaystyle p_{n}(x)=B_{n}(a_{1}x,\ldots ,a_{n}x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}$

この多項式列は二項型であり、二項恒等式を満たす。

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$

例: a ₁ = … = a _n = 1の場合、多項式はタッチャード多項式を表します。${\displaystyle p_{n}(x)}$

より一般的には、次の結果が得られます。

定理:二項型のすべての多項式シーケンスはこの形式です。

形式的な冪級数を定義すると

${\displaystyle h(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}x^{k},}$

すると、すべてのnに対して、

${\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

ソフトウェア

ベル多項式は次のように実装されています。

• BellYとしてのMathematica
• メープルをIncompleteBellBとして
• SageMathを bell_polynomial として

参照

• ベル行列
• 指数式

注記

1. コンテット 1974.
2. Cvijović 2011による。
3. アレクセーエフ、ポロゴワ、アレクセーエフ 2017、宗派。 4.2.
4. Bell 1934、同一性（5.1）p.266。
5. Chou, W.-S.; Hsu, Leetsch C.; Shiue, Peter J.-S. (2006-06-01). 「逆関係の特性評価におけるFaà di Brunoの公式の応用」. Journal of Computational and Applied Mathematics . 190 ( 1–2 ): 151– 169. doi : 10.1016/j.cam.2004.12.041 .
6. Chu, Wenchang (2021-11-19). 「ベル多項式と非線形逆関係」. The Electronic Journal of Combinatorics . 28 (4) P4.24. doi : 10.37236/10390 . ISSN  1077-8926.
7. Comtet 1974、136ページの同一性[3l"]。
8. チャラランビデス 2002、p.437、式（11.43）。

参考文献

• Abbas, M.; Bouroubi, S. (2005). 「ベル多項式の新しい恒等式について」.離散数学. 293 ( 1–3 ): 5–10 . doi : 10.1016/j.disc.2004.08.023 . MR  2136048.
• Alexeev, N.; Pologova, A.; Alekseyev, MA (2017). 「一般化ハルトマン数とブレークポイントグラフのサイクル構造」. Journal of Computational Biology . 24 (2): 93– 105. arXiv : 1503.05285 . doi :10.1089/cmb.2016.0190. PMID  28045556. S2CID  9678733.
• アンドリュース, GE (1998). 『分割理論』 ケンブリッジ数学図書館 (第1版).ケンブリッジ大学出版局. pp.  204– 211. ISBN 0-521-63766-X。
• ベル, ET (1927–1928). 「分割多項式」. Annals of Mathematics . 29 (1/4): 38– 46. doi :10.2307/1967979. JSTOR  1967979. MR  1502817.
• Bell, ET (1934). 「指数多項式」. Annals of Mathematics . 35 (2): 258– 277. doi :10.2307/1968431. JSTOR  1968431. MR  1503161.
• Boyadzhiev, KN (2009). 「指数多項式、スターリング数、およびいくつかのガンマ積分の評価」. Abstract and Applied Analysis . 2009 168672: 1– 18. arXiv : 0909.0979 . Bibcode :2009AbApA2009....1B. doi : 10.1155/2009/168672 . S2CID  1608664.（ベル多項式の概念の初歩的な復習も含まれています）
• チャラランビデス, CA (2002).列挙的組合せ論. チャップマン＆ホール / CRC. p. 632. ISBN 9781584882909。
• コムテット, L. (1974). 『Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions』 ドルドレヒト（オランダ）/ボストン（米国）: Reidel Publishing Company. ISBN 978-90-277-0380-4. 2017年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年7月2日閲覧。
• Cvijović, D. (2011). 「部分ベル多項式の新しい恒等式」(PDF) .応用数学レターズ. 24 (9): 1544– 1547. arXiv : 1301.3658 . doi :10.1016/j.aml.2011.03.043. S2CID 45311678. 2020年3月9日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF) . 2020年6月5日閲覧.
• グリフィス, M. (2012). 「多項式和のクラスから得られるシーケンスの族」. Journal of Integer Sequences . 15 : Article 12.1.8. MR  2872465. 2014年5月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年6月27日閲覧。
• Kruchinin, VV (2011). 「第二種ベル多項式の導出」. arXiv : 1104.5065 [math.CO].
• Noschese, S.; Ricci, PE (2003). 「多変数合成関数とベル多項式の微分」. Journal of Computational Analysis and Applications . 5 (3): 333– 340. doi :10.1023/A:1023227705558. S2CID  118361207.
• ローマン、S. (2013). 『陰影計算』ドーバー出版. p. 208. ISBN 9780486153421。
• Voinov, VG; Nikulin, MS (1994). 「冪級数、ベル多項式、ハーディ・ラマヌジャン・ラーデマッハ問題とその統計的応用について」Kybernetika . 30 (3): 343– 358. ISSN  0023-5954.