ベルグマン計量

微分幾何学において、ベルクマン計量とは、特定の種類の複素多様体上で定義できるエルミート計量である。ベルクマン計量はベルクマン核から派生しており、ベルクマン核とベルクマン核はどちらもシュテファン・ベルクマンにちなんで名付けられている。

意味

を領域とし、をG上 のベルグマン核とする。接束上のエルミート計量を次のように 定義する。${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle K(z,w)}$ ${\displaystyle T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K(z,z),}$

について。すると、接ベクトルの長さは次のように与えられる。 ${\displaystyle z\in G}$ ${\displaystyle \xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{i}{\bar {\xi }}_{j}}}.}$

この計量はG上のベルグマン計量と呼ばれます。

（区分的） C ¹曲線 の長さは次のように計算される。 ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to {\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B,\gamma (t)}dt.}$

2点間の距離は次のように定義される。 ${\displaystyle d_{G}(p,q)}$ ${\displaystyle p,q\in G}$

${\displaystyle d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ すべての区分的 }}C^{1}{\text{ 曲線 }}\gamma {\text{ で、}}\gamma (0)=p{\text{ かつ }}\gamma (1)=q\} となる。}$

距離d _Gはベルグマン距離と呼ばれます。

Gが有界領域である場合、ベルグマン計量は各点において正定値行列となります。さらに重要な点として、距離d _GはGから別の領域への双正則写像に対して不変です 。つまり、f がG の双正則写像であり、である場合、 となります。 ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle d_{G}(p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))}$

参考文献

• スティーブン・G・クランツ著『複素変数関数理論』 AMSチェルシー出版、ロードアイランド州プロビデンス、1992年。

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