ベルヌーイ四分問題

三角形の2つの垂直な四等分線。示されている三角形は、正確に2つの垂直な四等分線が存在する唯一の二等辺三角形である。^{[ 1 ]}

三角形幾何学において、ベルヌーイ四等分問題は、与えられた三角形を2本の垂直線で4つの等面積の部分に分割する方法を問う問題である。ヤコブ・ベルヌーイによるその解は1687年に発表された^{[ 1 ] [ 2 ]。}レオンハルト・オイラーは1779年に完全な解を定式化した^{[ 1 ] [ 3 ]。}

オイラーが証明したように、不等辺三角形では、直線と三角形の 4 つの交点のうち 2 つが三角形の中央の辺上にあるように分割することができ、その辺から三角形領域が切り離され、他の 3 つの領域は四辺形のままになります。^{[ 1 ] [ 3 ]}また、3 つの辺のうち最短の辺に 2 つの交点があるように、別の方法で分割される三角形もあります。ただし、最長の辺に 2 つの交点があることはあり得ません。二等辺三角形では、頂点の高さが底辺の長さの 8/9 である三角形だけが、ちょうど 2 つの垂直な四分線を持つ唯一の三角形です。2 つのうちの 1 つは対称軸を 2 本の垂直線の 1 つとして使用し、もう 1 つは 2 本の傾斜線があり、それぞれが底辺と 1 つの辺と交差します。^{[ 1 ]}${\displaystyle \pm 1}$

この三角形の分割は、リチャード・クーラントとハーバート・ロビンスの定理の特殊なケースであり、任意の平面領域は2本の垂直線で4つの等しい部分に分割できるという結果であり、ハムサンドイッチ定理に関連しています。^{[ 4 ]}三角形の四分割には低次多項式の根を含む解がありますが、^{[ 1 ]}クーラントとロビンスのより一般的な四分割は大幅に困難です。つまり、任意の計算可能な数に対して、多項式時間で任意の誤差内で境界を正確に近似できる凸形状が存在し、その構築には が計算されます。^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$

2022年、アイルランドの中等学校科学コンテスト「若手科学者技術展」で1位を獲得したのは、メタヒューリスティック手法を用いてベルヌーイ四分問題の数値解を求めるアディティア・ジョシとアディティア・クマールのプロジェクトでした。^{[ 6 ]}

注釈と参考文献

1. エバーハート、カール（2018）「ヤコブ・ベルヌーイの四分問題の再考」（PDF）、フォーラム幾何学、18：7–16、arXiv：1611.06658、MR  3755894
2. ベルヌーイ、ヤコブ; Battier、Jean Jacques (1744)、「XXIX: Solutio algebraica questionatis de quadrisectione trianguli scaleni, per duas Normales Rectas」、Jacobi Bernoulli、Basileensis、Opera (ラテン語)、Sumptibus Hæredum Cramer & Fratrum Philibert、pp.  228–335、doi : 10.3931/E-RARA-3584
3. オイラー、レオンハルト( 1779)、「Solutio completa questionatis de fourrisectione trianguli per duas rectas inter se Normales」、サンクトペテルブルクの科学アカデミーに関するメモワール(ラテン語)、1 : 49–87
4. クーラント、リチャード、ロビンズ、ハーバート（1941年）「6.1. ボルツァーノの定理のいくつかの応用：幾何学的応用」『数学とは何か』、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、pp.  317– 319、MR 0005358 
5. Yu, Fuxiang (2007)、「パンケーキ問題の複雑さについて」、数学論理季刊誌、53 ( 4–5 ): 532– 546、doi : 10.1002/malq.200710016、MR 2351948 
6. エル・ハッサニー、リーム (2022 年 1 月 15 日)、ダブリンの学生が BT ヤングサイエンティストで最優秀賞を受賞、ライディオ・テイリフィス・エイリアン