ベルヌーイの三角形

パスカルの三角形（ピンクの斜体）からベルヌーイの三角形（青い太字）を導出する

ベルヌーイの三角形は、二項係数の部分和の配列です。任意の非負整数nと、 0 からnまでに含まれる任意の整数kについて、 n行k列の成分は次のように表されます。

${\displaystyle \sum _{p=0}^{k}{n \choose p},}$

n +1をk +1個の順序付き分割に合成する数はパスカルの三角形を形成するのと同様に、 n +1をk +1個以下の順序付き分割に合成する数はベルヌーイの三角形を形成する。

すなわち、最初のkn 次の二項係数の和である。[ ^1]ベルヌーイの三角形の最初の行は次の通りである。

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&k&0&1&2&3&4&5\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&2\\2&&1&3&4\\3&&1&4&7&8\\4&&1&5&11&15&16\\5&&1&6&16&26&31&32\end{array}}}$

パスカルの三角形と同様に、ベルヌーイの三角形の各要素は、前の行の2つの要素の和です。ただし、各行の最後の数は前の行の最後の数の2倍です。例えば、がn行k列の要素を表す場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle B_{n,k}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}&{\mbox{if }}k<n\\2B_{n-1,k-1}=2^{n}&{\mbox{if }}k=n\end{cases}}}$

ベルヌーイの三角形から導かれる数列

ベルヌーイの三角形における整数列のオンライン百科事典からの列

パスカルの三角形や同様に構成された他の三角形と同様に、^[2]ベルヌーイの三角形の対角線上の成分の和はフィボナッチ数列となる。^[3]

ベルヌーイの三角形の3列目（k = 2）は三角数プラス1なので、nカット（n ≥ 2 ）の怠け者の数列を形成します^。[4] 4列目（k = 3）は、 nカット（n ≥ 3）の3次元アナログで、ケーキ数として知られています。 ^[5]

5列目（k = 4）は、 n + 1点（n≥4）の円を領域に分割する問題における領域の最大数を示しています。^[6]

一般に、( k + 1)列目は、 n≥kに対して、k次元空間におけるn −1個の ( k −1)次元 超平面によって形成される領域の最大数を示す。[ ^7]また、n + 1をk + 1個以下の部分に合成（順序付けられた分割）できる数も示す。 ^[8]

参考文献

1. オンライン整数列百科事典
2. ホガット・ジュニア, VE, パスカルの三角形の新しい角度,フィボナッチ・クォータリー 6 (4) (1968) 221–234; ホガット・ジュニア, VE, 一般化フィボナッチ数のための畳み込み三角形,フィボナッチ・クォータリー 8 (2) (1970) 158–171
3. Neiter, D. & Proag, A.、「ベルヌーイの三角形とフィボナッチ数におけるパス上の和の間のリンク」、Journal of Integer Sequences、19 (2016) 16.8.3。
4. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A000124（中心多角形数（Lazy Catererの数列））」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
5. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA000125 (ケーキ番号)」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS財団.
6. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA000127」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
7. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA006261」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
8. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA008861」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.

外部リンク

• ベルヌーイの三角形によって形成される数列は、オンライン整数列百科事典で参照できます: https://oeis.org/A008949。