幾何学的位相

古典力学と量子力学において、幾何学的位相は、システムが周期的な断熱過程を受けるときに、サイクルの過程で得られる位相差であり、ハミルトニアンのパラメータ空間の幾何学的特性から生じます。^{[ 1 ]}この現象は、古典光学ではS. Pancharatnam (1956) ^{[ 2 ]} 、分子物理学ではH. C. Longuet-Higgins (1958) ^{[ 3 ]}によって独立に発見され、(1984) でMichael Berry によって一般化されました。^{[ 4 ]}これはPancharatnam–Berry 位相、Pancharatnam 位相、またはBerry 位相 とも呼ばれます。古典力学では、幾何学的位相はHannay 角として知られています。

これは、ポテンシャルエネルギー面の円錐交差^{[ 3 ] [ 5 ]}やアハラノフ・ボーム効果に見られる。C ₆ H ₃ F ₃ ⁺分子イオンの基底電子状態を含む円錐交差の周囲の幾何学的位相は、ブンカーとジェンセンの教科書の 385 ～ 386 ページで説明されている。^{[ 6 ]}アハラノフ・ボーム効果の場合、断熱パラメータは2 つの干渉経路で囲まれた磁場であり、これらの 2 つの経路がループを形成するという意味で循環的である。円錐交差の場合、断熱パラメータは分子座標である。量子力学とは別に、古典光学などのさまざまな他の波動システムで発生する。経験則として、トポロジー内の何らかの特異点または穴の近傍で波を特徴付けるパラメータが少なくとも 2 つある場合はいつでも発生する可能性がある。非特異状態の集合が単純に連結されないか、非ゼロのホロノミーが存在するため、 2 つのパラメータが必要になります。

波は振幅と位相によって特徴付けられ、それらのパラメータの関数として変化することがあります。幾何学的位相は、両方のパラメータが同時に、しかし非常にゆっくり（断熱的に）変化し、最終的に初期構成に戻るときに発生します。量子力学では、これには回転だけでなく粒子の並進も関係し、最終的には元に戻るように見えます。システム内の波は、振幅と位相によって特徴付けられる初期状態（および時間の経過を考慮）に戻ると予想されるかもしれません。ただし、パラメータの偏位が自己回帰的な前後の変化ではなくループに対応する場合、初期状態と最終状態の位相が異なる可能性があります。この位相差が幾何学的位相であり、その発生は通常、システムのパラメータ依存性が何らかのパラメータの組み合わせに対して特異である（状態が未定義である）ことを示します。波動システムの幾何学的位相を測定するには、干渉実験が必要です。

フーコーの振り子は古典力学における例であり、幾何学的位相を説明するために用いられることがあります。断熱駆動される調和振動子における幾何学的角度も古典力学におけるもう一つの単純な例です。^{[ 7 ]}

量子力学におけるベリー位相

n次固有状態にある量子系において、ハミルトニアンの断熱発展は、系がハミルトニアンのn次固有状態に留まると同時に位相因子を得ることを示している。得られる位相は、状態の時間発展と、ハミルトニアンの変化に伴う固有状態の変化からそれぞれ寄与する。第2項はベリー位相に対応し、ハミルトニアンの非周期的変化に対しては、発展の各点におけるハミルトニアンの固有状態に関連付けられた位相を異なる値に選択することで、ベリー位相をゼロにすることができる。

しかし、変化が周期的である場合、ベリー位相はキャンセルできず、不変であり、システムの観測可能な特性となる。Max BornとVladimir FockがZeitschrift für Physik 51、165 (1928)で示した断熱定理の証明を確認すると、断熱過程の変化全体を位相項として特徴付けることができる。断熱近似では、断熱過程におけるn番目の固有状態の係数は次のように与えられる 。 ここで、 はパラメータtに関するベリー位相である。変数tを一般化パラメータに変更すると、ベリー位相は次のように書き直すことができる 。 ここで、 は周期的断熱過程をパラメータ化する。 を正規化すると、積分関数が虚数になるので、 は実数になる点に留意する。すると、適切なパラメータ空間に閉経路が存在します。閉じた経路に沿った幾何学的位相は、で囲まれた表面上でベリー曲率を積分することによっても計算できます。 $${\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},}$$ ${\displaystyle \gamma_{n}(t)}$ ${\displaystyle {\bf {R}}(t),\partial /\partial t\rightarrow -i\partial /\partial {\bf {R}}(t),}$ $${\displaystyle \gamma_{n}[C]=i\oint_{C}\langle n({\bf{R}}(t))|{\bf{\nabla}}_{\bf{R}}|n({\bf{R}}(t))\rangle \,d{\bf{R}},}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |n,t\rangle }$ ${\displaystyle \gamma _{n}[C]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

幾何学的位相の例

フーコーの振り子

最も簡単な例の一つはフーコーの振り子である。ウィルチェクとシェイパーは幾何学的位相の観点から簡単な説明を与えている。^{[ 8 ]}

振り子は、一般的な経路Cを周回するとき、どのように歳差運動をするのでしょうか？赤道に沿った移動では、振り子は歳差運動をしません。[...] Cが測地線分で構成されている場合、歳差運動はすべて測地線分が交わる角度から生じます。歳差運動の合計は、正味の赤字角に等しく、これはCによって囲まれる立体角を法 2 πで割った値に等しくなります。最後に、任意のループを測地線分のシーケンスで近似できるため、最も一般的な結果（球面上または球面外）は、正味の歳差運動が囲まれる立体角に等しいということです。

言い換えれば、振り子を歳差運動させる慣性力は存在しないため、歳差運動（振り子が移動する経路の運動方向に対する相対的な運動）は、この経路の方向転換によってのみ生じる。したがって、振り子の向きは平行移動を受ける。元のフーコー振り子の場合、経路は緯度円であり、ガウス・ボネの定理により、位相シフトは囲まれた立体角によって与えられる。^{[ 9 ]}

導出

球面上の閉じたループ（球面三角形など）の周りのベクトルを考えます。ねじれる角度αはループ内の面積に比例し、以下で考慮されます。

地球と連動して動くが、地球自身の軸の周りの地球の自転を共有しない近似慣性系では、振り子の錘は 1恒星日の間に円形の軌跡を描きます。つまり、吊り棒に沿った振動はわずかであるため、平面の軌跡を描きます。

パリの緯度、北緯48度51分では、歳差運動の1周期は32時間弱かかります。そのため、1恒星日後、地球が1恒星日前と同じ方向に戻ると、振動面は270度強回転します。もし、当初の振動面が南北だったとしたら、1恒星日後には東西方向になります。

これはまた、運動量の交換が起こったことを意味します。地球と振り子の錘は運動量を交換したのです。地球の質量は振り子の錘よりもはるかに大きいため、地球の運動量の変化は目立ちません。しかしながら、振り子の錘の振れ面が移動したため、保存則によれば、交換が起こったに違いありません。

振動面の歳差運動は、微小回転を合成することで、歳差運動の速度が、地球の角速度を地球の法線方向に投影したものに比例していることが証明できます。 上で言及した球面三角形のループの面積は で、は球の半径、は球面角です。^{[ 10 ]}この球面三角形は、 となるループに拡張できます。 24時間後、地球フレームでのトレースの初期方向と最終方向の差は、α = −2 π sin φで、これはガウス・ボネの定理（はガウス曲率）で与えられた値に対応します。 αは、振り子のホロノミーまたは幾何学的位相とも呼ばれます。 地球上の動きを解析する場合、地球フレームは慣性フレームではなく、1日あたり2π sin φラジアンの有効速度で局所的な鉛直の周りを回転します。フーコーの振り子の振り面の回転角度は、地球の表面に接する円錐内の平行移動を利用する簡単な方法で記述できる。^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle (A+B+N-\pi )r^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A,B,N}$ ${\displaystyle N=2\pi ,}$ ${\displaystyle A+B=\pi +\alpha .}$ ${\displaystyle 1/r^{2}}$

地球境界座標系（測定円と観測者は地球境界にあり、観測者が動いても地形によるコリオリの力への反応が観測者に知覚されない場合も含む）の観点から、X軸が東、Y軸が北を指す直交座標系を用いると、振り子の歳差運動はコリオリの力によるものである（重力や遠心力などの他の架空の力には、直接的な歳差運動の要素はない）。小角近似において、一定の固有振動数ωを持つ平面振り子を考えてみます。振り子の錘には、重力とワイヤーによる復元力とコリオリの力の2つの力が作用します（重力による復元力とは反対の遠心力は無視できます）。緯度φにおけるコリオリの力は、小角近似では水平であり、次のように表されます。 ここで、 Ωは地球の自転周波数、F _{c, x}はコリオリの力のx方向の成分、F _{c, y}はコリオリの力のy方向の成分です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{{\text{c}},x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\F_{{\text{c}},y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi ,\end{aligned}}}$$

小角近似で遠心力を無視した場合の復元力は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x,\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$$

歳差周期と恒星日あたりの歳差角を緯度に対して表したグラフ。フーコーの振り子が南半球では反時計回り、北半球では時計回りに回転すると、符号が変わります。この例では、パリでは1恒星日あたり271°歳差運動し、1回転あたり31.8時間かかります。

ニュートンの運動法則を用いると、次の方程式系が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

複素座標z = x + iyに切り替えると、方程式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0.}$$

最初の注文をするにはΩ/ω⁠、この方程式の解は $${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right).}$$

時間を日数で測ると、Ω = 2 πとなり、振り子は1日で-2 π sin φの角度だけ回転します。これらの方程式の数学的な説明、すなわち導出などは、古典力学の多くの教科書に記載されています。^{[ 13 ]}

振り子の錘が1日に緯度 で掃引する立体角の導出は、パップスの定理^{[ 14 ]}を思い出せばほぼ自明である。この定理は、半径（ここでは地球の半径）の球の表面積、すなわち が、それを包囲する半径 の円筒の表面積、すなわち に等しいことを述べている。この定理は、簡単に確認できるように、この等式が球のどの部分に対しても当てはまることを述べている。したがって、振り子の錘の軌道によって定義される球面のキャップが緯度 で最大の高さを持つ場合、次の式が得られる。キャップによって囲まれる 立体角は、次のように与えられる。${\displaystyle \Omega '}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}=2\pi r\times 2r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle h=r-r\sin \phi .}$ ${\displaystyle \Omega '}$

${\displaystyle {\frac {\rm {area\;of\;cap}}{\rm {area\;of\;sphere}}}={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}={\frac {\Omega '}{4\pi }},}$

したがって、赤道と北極では振動周期は、${\displaystyle \Omega '=2h/r=2\pi (1-\sin \phi )=\Omega \;{\rm {modulo}}\;2\pi .}$ ${\displaystyle \phi =0,\Omega '=2\pi ,}$ ${\displaystyle \phi =\pi /2,\Omega '=0.}$ ${\displaystyle T=2\pi /\omega \sin \phi }$ ${\displaystyle \omega =2\pi /1\;{\rm {day}}=7.26\times 10^{-5}/s.}$

光ファイバー内の偏光

2 番目の例は、シングルモード光ファイバーに入る直線偏光です。ファイバーが空間内のある経路を描き、光が入ったのと同じ方向にファイバーから出ると仮定します。そして、最初の偏光と最後の偏光を比較します。半古典的近似では、ファイバーは導波路として機能し、光の運動量は常にファイバーに接します。偏光は、運動量に垂直な方向と考えることができます。ファイバーが経路を描くとき、​​光の運動量ベクトルは、運動量空間の球面上の経路を描きます。光の最初の方向と最後の方向が一致し、偏光が球面に接するベクトルであるため、経路は閉じています。運動量空間に行くことは、ガウス マップを取ることと同じです。偏光を回転させる力はなく、球面に接したままであるという制約があるだけです。したがって、偏光は平行移動し、位相シフトは囲まれた立体角 (スピンの積、光の場合は 1) によって与えられます。^{[ 15 ]}

確率的ポンプ効果

確率的ポンプとは、パラメータの周期的な変化に対して平均的にゼロではない電流で応答する古典的な確率システムである。確率的ポンプ効果は、確率的電流のモーメント生成関数の発展における幾何学的位相として解釈することができる。^{[ 16 ]}

スピン1 ⁄ 2

磁場中のスピン1⁄2粒子の幾何学的位相を正確に評価することができる。^{[ 1 ]}

アトラクター上で定義された幾何学的位相

ベリーの定式化はもともと線形ハミルトン系に対して定義されたが、すぐにニンとハーケン^{[ 17 ]}によって、ある種の巡回アトラクターを持つ非線形散逸系などのまったく異なる系に対しても、同様の幾何学的位相を定義できることがわかった。彼らは、そのような巡回アトラクターが、ある種の対称性を持つ非線形散逸系のクラスに存在することを示した。^{[ 18 ]}このベリーの位相の一般化には、いくつかの重要な側面がある。1) オリジナルのベリー位相のパラメーター空間の代わりに、このニン-ハーケンの一般化は位相空間で定義される。2) 量子力学系における断熱的発展の代わりに、位相空間における系の発展は断熱的である必要はない。時間的発展の時間スケールに制限はない。3) 線形減衰を持つエルミート系または非エルミート系の代わりに、系は一般に非線形かつ非エルミートであることができる。

分子断熱ポテンシャル面交差における露出

ボルン＝オッペンハイマーの枠組みでは、分子の幾何学的位相を計算する方法がいくつかある。1つの方法は、 で定義される「非断熱結合行列」を 用いる方法である。 ここでは、核パラメータ に依存する断熱電子波動関数である。非断熱結合は、場の理論におけるウィルソンループ（1974）に類似したループ積分を定義するために用いることができ、これはM. Baer (1975, 1980, 2000) によって分子の枠組みのために独立に開発された。でパラメータ化された閉ループ が与えられ、 はパラメータであり、 である。D行列は で与えられる （ここでは経路順序付け記号）。 が十分に大きい場合（つまり、十分な数の電子状態が考慮される場合）、この行列は対角行列となり、対角要素は となる。ここで は、 番目の断熱電子状態におけるループに関連付けられた幾何学的位相である。 ${\displaystyle M\times M}$ $${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle R_{\mu }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R_{\mu }(t),}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)}$ $${\displaystyle D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}}$$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle e^{i\beta _{j}},}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle j}$

時間反転対称電子ハミルトニアンの場合、幾何学的位相はループに囲まれた円錐交点の数を反映します。より正確には、 ループに囲まれた断熱状態を含む円錐交点の数は どこになりますか？$${\displaystyle e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},}$$ ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \psi _{j}}$ ${\displaystyle \Gamma .}$

D行列アプローチの代替として、パンチャラトナム位相を直接計算する方法があります。これは、単一の断熱状態の幾何学的位相のみに関心がある場合に特に便利です。このアプローチでは、ループに沿っていくつかの点を取り、j番目の断熱状態のみを用いて、重なりのパンチャラトナム積を計算します。 ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle (n=0,\dots ,N)}$ ${\displaystyle R(t_{n})}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{N}=1,}$ ${\displaystyle \psi _{j}[R(t_{n})]}$ $${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .}$$

極限では（説明といくつかの応用についてはRyb & Baer 2004を参照） ${\displaystyle N\to \infty }$ $${\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.}$$

サイクロトロン運動の幾何学的位相と量子化

磁場の影響を受ける電子は、円形（サイクロトロン）軌道上を運動する。^[2]古典的には、任意のサイクロトロン半径が許容される。量子力学的には、離散的なエネルギー準位（ランダウ準位）のみが許可され、は電子のエネルギーに関連しているため、これは の量子化された値に対応する。シュレーディンガー方程式を解くことによって得られるエネルギー量子化条件は、例えば、自由電子（真空中）またはグラフェン内の電子の場合は となり、ここで となる。^[3]これらの結果の導出は難しくないが、導出する別の方法があり、それはある意味でランダウ準位の量子化に関してよりよい物理的洞察を提供する。この別の方法は、電子がサイクロトロン軌道の閉ループに沿って（実空間で）運動する間に電子が拾う幾何学的位相を含む半古典的なボーア ・ゾンマーフェルトの 量子化条件に^基づく。^{[ 19}幾何学的位相は、自由電子とグラフェン内の電子 に直接関連していることがわかりました。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle R_{c}}$ ${\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ $${\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle \gamma =\pi }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

参照

• リーマン曲率テンソル– 数学との関連
• ベリー接続と曲率
• チャーンクラス
• 光学回転
• 巻数

注記

^簡単にするために、 2DEG などの平面に閉じ込められた電子と、平面に垂直な磁場を考えます。

^ はサイクロトロン周波数（自由電子の場合）であり、はフェルミ速度（グラフェン内の電子の場合）です。 ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m}$ ${\displaystyle v}$

脚注

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19. チュートリアルについては、Jiamin Xue：「グラフェンのベリー位相と非従来型の量子ホール効果」（2013）を参照してください。

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• CZ Ning, H. Haken (1992). 「非線形散逸系における幾何学的位相」. Mod. Phys. Lett. B. 6 ( 25): 1541– 1568. Bibcode : 1992MPLB....6.1541N . doi : 10.1142/S0217984992001265 .
• J., Cirilo-Lombardo, Diego; G., Sanchez, Norma (2024年8月). 「量子重力におけるエンタングルメントと一般化ベリー幾何学的位相」 . Symmetry . 16 (8): 1026. arXiv : 2408.11078 . Bibcode : 2024Symm...16.1026C . doi : 10.3390/sym16081026 . ISSN  2073-8994 .

さらに読む

• マイケル・V・ベリー「幾何学的位相」、サイエンティフィック・アメリカン259（6）（1988）、26-34。

外部リンク

• Wikiquoteにおける幾何学位相に関する引用
• 「幾何学的位相と世界の分離 マイケル・ベリー著」 YouTube国際理論科学センター。2020年2月10日。