ベルトランの箱のパラドックスは、初等確率論における真実のパラドックスである。これは、ジョゼフ・ベルトランが1889年の著書『確率計算』で初めて提起した。
ボックスは3つあります。
- 2枚の金貨が入った箱、
- 銀貨2枚が入った箱、
- 金貨1枚と銀貨1枚が入った箱。
3つの箱のうち1つからランダムに取り出したコインがたまたま金貨だったとします。同じ箱から取り出したもう1つのコインも金貨である確率はどれくらいでしょうか？
真実のパラドックスとは、正しい解決法が直感に反するように見えるパラドックスです。残っているコインが金貨である確率は1/2ですが、実際には確率は2/3 . [1]ベルトランは、もし1/2が正しければ矛盾が生じるので、1/2は正しくありません。
この単純だが直感に反するパズルは、確率論の教育における標準的な例として用いられています。その解答は、コルモゴロフの公理を含むいくつかの基本原理を示しています。
解決
この問題は、箱の両面にそれぞれ引き出しが1つずつあると仮定することで再構成できます。それぞれの引き出しにはコインが1枚ずつ入っています。1つの箱には両面に金貨（GG）、もう1つの箱には両面に銀貨（SS）、そしてもう1つの箱には片面に金貨、反対側に銀貨（GS）が入っています。箱をランダムに1つ選び、ランダムに引き出しを開けると、中に金貨が1枚入っています。反対側のコインが金貨である確率はどれくらいでしょうか？
次の推論により、確率は 1/2 になると思われます。
- もともと、3 つのボックスすべてが選択される可能性は同等でした。
- 選択されたボックスはボックスSSではありません。
- したがって、ボックスGGまたはGSである必要があります。
- 残りの2つの可能性はどちらも同じ確率です。つまり、箱がGGで、もう1枚のコインも金である確率は 1/2 です。
2/3 の理由は次のとおりです。
- もともと、6 枚のコインすべてが選ばれる可能性は等しかったのです。
- 選択されたコインは、ボックスGSの引き出しSから、またはボックスSSのいずれかの引き出しから選択されることはできません。
- したがって、ボックスGSのG引き出し、またはボックスGGのいずれかの引き出しから取り出す必要があります。
- 残りの3つの可能性は同等の確率なので、引き出しがGGボックスからのものである確率は2/3 です。
ベルトランがこの例を構築した目的は、単に事例を数えるだけでは必ずしも適切ではないことを示すことでした。その代わりに、事例が観測された結果を生み出す確率を合計すべきです。
実験データ
心理学の入門確率論の授業を受けている新入生を対象に、同様の3枚カード問題への解答を評価するための調査が行われました。3枚カード問題では、3枚のカードが帽子に入れられます。1枚は両面が赤、1枚は両面が白、1枚は片面が白でもう片面が赤です。帽子から引いたカードの片面が赤の場合、もう片面も赤である確率は2/3。
53人の学生が参加し、反対側が赤である確率を尋ねられました。35人が誤って回答しました。1/2 ; 正しく回答したのは3人の生徒のみでした。2/3 . [2]
関連する問題
その他の確率に関する真実のパラドックスには以下のものがあります:
モンティ・ホール問題と三人の囚人問題は、数学的にはベルトランの箱のパラドックスと同一です。ボーイ・ガール・パラドックスの構成も同様で、基本的には金貨と銀貨が入った4つ目の箱を追加します。その答えは、「引き出した人」が選ばれたと仮定する考え方によって議論を呼んでいます。
参考文献
- ^ 「ベルトランの箱のパラドックス」オックスフォード・リファレンス。
- ^ Bar-Hillel, Maya ; Falk, Ruma (1982). 「条件付き確率に関するいくつかのティーザー」.認知. 11 (2): 109–22 . doi :10.1016/0010-0277(82)90021-X. PMID 7198956. S2CID 44509163.
- ニッカーソン、レイモンド（2004年）『認知と偶然：確率的推論の心理学』ローレンス・アールバウム著。第5章「指導問題：3枚のカード」、157～160頁。ISBN 0-8058-4898-3
- マイケル・クラーク『パラドックスAからZ』16ページ
- ハワード・マーゴリス、ウェイソン、モンティ・ホール、そして逆デフォルト。
外部リンク
- ランダムボックスと名前による確率の推定、シミュレーション
