ベシコヴィッチ被覆定理

数学的解析において、アブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチにちなんで名付けられたベシコヴィッチ被覆は、ユークリッド空間R ^Nの部分集合Eを球で被覆したもので、 Eの各点は被覆内のある球の中心となる。

ベシコヴィッチ被覆定理は、次元Nのみに依存し、次の特性を持つ 定数c _{Nが存在することを主張します。}

• 有界集合Eの任意のベシコビッチ被覆Fが与えられたとき、Fには球のc _N個の部分集合A ₁  = { B _{n 1} }, …, A _{c N}  = { B _{n c N} } が存在し、各集合A _{i は}互いに素な球から構成され、

${\displaystyle E\subseteq \bigcup _{i=1}^{c_{N}}\bigcup _{B\in A_{i}}B.}$

Gをc _{N 個}の互いに素な族A ₁ ,..., A _{c N}に属するすべての球からなるFの部分集合とする。以下の記述はより正確性に欠けるが、明らかに真である：すべての点x  ∈  R ^Nは部分集合Gに属する最大でc _N個の異なる球に属し、G はEの被覆となる（すべての点y  ∈  Eは部分集合Gに属する少なくとも1つの球に属する）。この性質は、実際には定理と等価な形を与える（定数の値を除く）。

• 次元Nのみに依存し、次の特性を持つ定数b _Nが存在する:有界集合Eの任意のベシコビッチ被覆Fが与えられたとき、 Fの 部分集合Gが存在し、G は集合Eの被覆であり、すべての点x  ∈  Eは部分被覆Gから 最大でb _N個の異なる球に属する。

言い換えれば、Gのボールの指示関数の和に等しい関数S _Gは1 _Eより大きく、R ^N上で定数b _Nによって制限される。

${\displaystyle \mathbf {1} _{E}\leq S_{\mathbf {G} }:=\sum _{B\in \mathbf {G} }\mathbf {1} _{B}\leq b_{N}.}$

最大関数と最大不等式への応用

μ をR ^N上のボレル非負測度とし、コンパクト部分集合上で有限とし、を-積分関数とする。任意のに対して とすることで極大関数を定義する（規約 を用いる）。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \infty \times 0=0}$

$\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{r>0}{\Bigl (}\mu (B(x,r))^{-1}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,d\mu (y){\Bigr )}.}$

この極大関数は下半連続であり、したがって測定可能である。λ > 0 の任意の値に対して、次の極大不等式が満たされる。

${\displaystyle \lambda \,\mu {\bigl (}\{x:f^{*}(x)>\lambda \}{\bigr )}\leq b_{N}\,\int |f|\,d\mu .}$

証拠。

点xの集合Eλ_は、明らか に球Bによるベシコヴィッチ被覆Fλ_{を許容し、}${\displaystyle f^{*}(x)>\lambda }$

${\displaystyle \int \mathbf {1} _{B}\,|f|\ d\mu =\int _{B}|f(y)|\,d\mu (y)>\lambda \,\mu (B)。}$

E _λの任意の有界ボレル部分集合E´に対して、 E´を覆い、 S _G  ≤  b _Nを満たすF _λから抽出された部分集合Gを見つけることができる。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,\mu (E')&\leq \lambda \,\sum _{B\in \mathbf {G} }\mu (B)\\&\leq \sum _{B\in \mathbf {G} }\int \mathbf {1} _{B}\,|f|\,d\mu =\int S_{\mathbf {G} }\,|f|\,d\mu \leq b_{N}\,\int |f|\,d\mu ,\end{aligned}}}$

これは上記の不等式を意味します。

R ^N上のルベーグ測度を扱う場合、以前の最大不等式（異なる定数を使用）を導くために、 より簡単な（そして古い）ヴィタリ被覆補題を使用するのが一般的です。

参照

• ヴィタリ被覆補題

参考文献

• ベシコヴィッチ, AS (1945)、「被覆原理の一般形と加法関数の相対微分、I」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、41 (02): 103– 110、doi :10.1017/S0305004100022453。
  • ベシコヴィッチ, AS (1946)、「被覆原理の一般形と加法関数の相対微分、II」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、42 : 205–235、doi :10.1017/s0305004100022660。
• DiBenedetto、E (2002)、実分析、Birkhäuser、ISBN 0-8176-4231-5。
• Füredi, Zoltán ; Loeb, Peter A. (1994) 「ベシコヴィッチ被覆定理の最適定数について」アメリカ数学会紀要、121 (4): 1063– 1073, doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1249875-4 , JSTOR  2161215。