ベッセル過程

数学において、ベッセル過程はフリードリヒ・ベッセルにちなんで名付けられました。n次元ベッセル過程は、確率微分方程式（SDE） の解です 。

${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}}$

ここで、Wは1次元ウィーナー過程（ブラウン運動） である。

ベッセル過程の 3 つの実現。

正式な定義

n次のベッセル過程は、 （n≥2のとき ）次式 で表される実数値過程Xである。

${\displaystyle X_{t}=\|W_{t}\|,}$

ここで、||·|| はR ⁿにおけるユークリッドノルムを表し、Wはn次元ウィーナー過程（ブラウン運動）を表します。この SDE は任意の実パラメータに対して意味を持ちます（ただし、ドリフト項はゼロで特異です）。 ${\displaystyle n}$

表記

ゼロから始まるn次元のベッセル過程の表記は_BES0 ( n )である。

特定の次元において

n  ≥ 2の場合、原点で開始されたn次元ウィーナー過程は開始点から過渡的であり、確率 1 で、すなわち、すべてのt >  0 に対してX _t > 0 となります。ただし、 n = 2 の場合は近傍回帰的であり、 確率 1 で、任意のr > 0 に対して、 X _t  <  rとなる任意の大きなt が存在することを意味します。一方、n > 2 の場合は真に過渡的であり、十分に大きいすべてのtに対してX _t  ≥  rと なることを意味します。

n ≤ 0の場合 、ベッセル過程は通常 0 以外のポイントで開始されます。これは、0 へのドリフトが非常に大きいため、過程は 0 に達するとすぐに 0 で停止してしまうためです。

ブラウン運動との関係

0次元および2次元ベッセル過程は、レイ・ナイト定理を介してブラウン運動の局所時間と関連している。^{[ 1 ]}

x 極値付近のブラウン運動の法則は、3 次元ベッセル過程の法則です (田中の定理)。

参考文献

1. レヴズ、D.;ヨル、M. (1999)。連続マーチンゲールとブラウン運動。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-52167-4。

• Øksendal, Bernt (2003).確率微分方程式：応用入門. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。
• Williams D. (1979)拡散、マルコフ過程およびマーチンゲール、第 1 巻: 基礎。ワイリー。ISBN 0-471-99705-6。