ベッセル過程

数学において、ベッセル過程はフリードリヒ・ベッセルにちなんで名付けられました。n次元ベッセル過程は、確率微分方程式（SDE）の解です

dX_{t}=dW_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}

ここで、Wは1次元ウィーナー過程（ブラウン運動）である。

正式な定義

n次のベッセル過程は、（n≥2のとき）次式で表される実数値過程Xである

X_{t}=\|W_{t}\|,

ここで、||·|| はR ⁿにおけるユークリッドノルムを表し、Wはn次元ウィーナー過程（ブラウン運動）を表します。この SDE は任意の実パラメータに対して意味を持ちます（ただし、ドリフト項はゼロで特異です）。 $n$

表記

ゼロから始まる $n$ 次元のベッセル過程の表記は $BES 0 (n)$ です

特定の次元において

n ≥ 2の場合、原点から開始されたn次元ウィーナー過程は開始点から過渡的であり、確率 1 で、すなわち、すべてのt > 0 に対してX _t > 0 となります。しかし、n = 2 の場合、近傍回帰的であり、確率 1 で、任意のr > 0 に対して、 X _t < rとなる任意の大きなt が存在することを意味します。一方、n > 2 の場合、真に過渡的であり、十分に大きいすべてのtに対してX _t ≥ r となることを意味します

n ≤ 0の場合、ベッセル過程は通常 0 以外のポイントで開始されます。これは、0 へのドリフトが非常に大きいため、過程は 0 に達するとすぐに 0 で停止してしまうためです。

ブラウン運動との関係

0次元および2次元ベッセル過程は、レイ・ナイト定理を介してブラウン運動の局所時間と関連している。^[1]

x 極値付近のブラウン運動の法則は、3 次元ベッセル過程の法則です (田中の定理)。

参考文献

^ Revuz, D.; Yor, M. (1999).連続マルチンゲールとブラウン運動. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-52167-4。

Øksendal, Bernt (2003).確率微分方程式：応用入門. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。
ウィリアムズ・D. (1979)拡散、マルコフ過程、マルチンゲール第1巻：基礎編。ワイリー。ISBN 0-471-99705-6。

[1] Revuz, D.; Yor, M. (1999).連続マルチンゲールとブラウン運動. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-52167-4。