ベータ双対空間

関数解析および関連する数学の分野において、ベータデュアルまたはβデュアルは、数列空間の代数的デュアルの特定の線型部分空間です。^[1]

意味

系列空間Xが与えられたとき、Xのβ-双対は次のように定義される。

${\displaystyle X^{\beta }:=\left\{x\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\ :\ \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}{\text{ converges }}\quad \forall y\in X\right\}.}$

ここで、は実数または複素数のスカラー フィールドを表します。 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

XがFK空間ならば、 Xβの各yはX上の連続線型形式を定義する^。

${\displaystyle f_{y}(x):=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\qquad x\in X.}$

例

• ${\displaystyle c_{0}^{\beta }=\ell ^{1}}$
• ${\displaystyle (\ell ^{1})^{\beta }=\ell ^{\infty }}$
• ${\displaystyle \omega ^{\beta }=\{0\}}$

プロパティ

FK空間Eのベータ双対は、 Eの連続双対の線型部分空間である。E が FK-AK 空間である場合、ベータ双対は連続双対と線型同型である。

参考文献

1. グレアム・ベネット (1987-09-01)。「小さなβ双対を持つシーケンス空間」。数学的ツァイシュリフト。194 (3): 321–329。土井:10.1007/BF01162240。ISSN  1432-1823。