バイアーク
図1

双円弧は2つの円弧から形成される滑らかな曲線です。[1]双円弧を滑らか（ G 1連続）にするには、2つの円弧が出会う接続点で 接線が同じである必要があります。

二円弧は、幾何学的モデリングやコンピュータグラフィックスでよく使用されます。二円弧の 2 つの外側の端点を近似する曲線に沿って配置し、 接線を曲線に一致させ、次に曲線に最も適合する中点を選択することにより、スプラインやその他の平面曲線を近似できます。この 3 つの点と 2 つの接線の選択により、一意の円弧のペアが決定され、これら2 つの円弧が二円弧を形成する中点の軌跡自体が円弧になります。特に、この方法でベジェ曲線を近似するには、二円弧の中点は、ベジェ曲線の 2 つの端点とそれらの 2 つの接線が交わる点によって形成される三角形の内心として選択する必要があります。より一般的には、滑らかな二円弧のシーケンスで曲線を近似できます。シーケンスで使用する二円弧の数を増やすと、一般に近似値が元の曲線に近くなります。

双弧曲線の例

  1. 以下の例では、二円弧は弦によって囲まれており、は接合点です。始点における接線ベクトルは、終点における接線はです。 A ( J ) B {\displaystyle A(J)B} A B , {\displaystyle AB,} J {\displaystyle J} A {\displaystyle A} n ( α ) {\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )} n ( β ) {\displaystyle \mathbf {n} (\beta )} B : {\displaystyle B:}
  2. 図2は6つのバイアークの例を示す。 A J B . {\displaystyle AJB.}
    • バイアーク1はバイアーク2～6で描かれ、 α = 100 ∘ , β = 30 ∘ . {\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =30^{\circ }.} α = 100 ∘ , β = − 30 ∘ . {\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =-30^{\circ }.}
    • 例1、2、6では曲率の符号が変わり、接合点は変曲点でもあります。二円弧3には直線部分が含まれます。 J {\displaystyle J} J B {\displaystyle JB}
    • 双弧1～4は、端点付近で曲がらないという意味で短い。一方、双弧5と6は長い。端点付近で曲がるということは、無限直線の弦の左または右の補線と交差することを意味する。
    • 二弧2～6は端接線を共有しています。これらは、図3の下の部分、共通接線を持つ二弧群の中に含まれています。
  3. 図 3 は、端点と端接線を共有する双弧ファミリの 2 つの例を示しています。
  4. 図4は、端点と端接線を共有し、端接線が平行である双弧ファミリの2つの例を示しています。 α = β . {\displaystyle \alpha =\beta .}
  5. 図5は、またはのいずれかの特定の家族を示しています。 | α | = π {\displaystyle |\alpha |=\pi } | β | = π . {\displaystyle |\beta |=\pi .}
図2. バイアークの例
図3. 共通接線を持つ双弧族（2つの例）
図4. 平行端接線を持つ双弧族
図5. またはのいずれかを持つBiarcsファミリー | α | = π {\displaystyle |\alpha |=\pi } | β | = π {\displaystyle |\beta |=\pi }

図3、4、5における異なる色は、以下でサブファミリー、、、として説明されます 。 特に 、茶色で陰影付きの背景に示された双弧（レンズ状または三日月状）については、以下が当てはまります。 B + {\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}} B 1 − {\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}} B 2 − {\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}

  • 曲線の全回転（回転角度）はちょうど（他の二円弧の回転である ではない）である。 β − α {\displaystyle \beta -\alpha } β − α ± 2 π {\displaystyle \beta -\alpha \pm 2\pi }
  • sgn ⁡ ( α + β ) = sgn ⁡ ( k 2 − k 1 ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta )=\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})} : 合計は、双円弧を覆うレンズ/三角錐の角度幅であり、その符号は、一般化されたフォークトの定理 (Теорема Фогта#Обобщение теоремы  [ru] ) に従って、双円弧の曲率が増加 (+1) または減少 (-1) することを示します。 α + β {\displaystyle \alpha +\beta }

共通の端接線を持つ二円弧の族

共通の端点、、および共通の端接線(1)を持つ二円弧の族は、 族パラメータとして表される。二円弧の性質については、以下の記事で説明する。[2] A = ( − c , 0 ) {\displaystyle A=(-c,0)} B = ( c , 0 ) {\displaystyle B=(c,0)} B ( p ; α , β , c ) , {\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c),} B ( p ) , {\displaystyle {\mathcal {B}}(p),} p {\displaystyle p}

  1. バイアークの構築は、
  2. 示す
    • k 1 {\displaystyle k_{1}} 、曲  率、回転角度、円弧の長さ：    ; θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} L 1 {\displaystyle L_{1}} A J {\displaystyle AJ} θ 1 = k 1 L 1 {\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1}}
    • k 2 {\displaystyle k_{2}} 、  弧についても同様です：    。 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} L 2 {\displaystyle L_{2}} J B {\displaystyle JB} θ 2 = k 2 L 2 {\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2}}
    すると （ （2） により、）。回転角度： k 1 ( p ) = − 1 c ( sin ⁡ α + p − 1 sin ⁡ ω ) , k 2 ( p ) = 1 c ( sin ⁡ β + p sin ⁡ ω ) , where ω = α + β 2 {\displaystyle k_{1}(p)=-{\frac {1}{c}}\left(\sin \alpha +p^{-1}\sin \omega \right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right),\quad {\text{where}}\quad \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}}} sin ⁡ ω ≠ 0 {\displaystyle \sin \omega \not =0} θ 1 ( p ) = 2 arg ⁡ ( e − i α + p − 1 e − i ω ) , θ 2 ( p ) = 2 arg ⁡ ( e i β + p e i ω ) . {\displaystyle \theta _{1}(p)=2\arg \left(e^{-i\alpha }+p^{-1}{e^{-i\omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(e^{i\beta }+p\,e^{i\omega }\right).}
  3. 接合点の軌跡は円 （図3、図5に破線で示す）である。この円（図4の直線）は、接線が である 点を通る。 この円は、一定角度で二円弧と交差する。   J {\displaystyle J} X J ( p ) = c ( p 2 − 1 ) p 2 + 2 p cos ⁡ γ + 1 , Y J ( p ) = 2 c p sin ⁡ γ p 2 + 2 p cos ⁡ γ + 1 , where γ = α − β 2 {\displaystyle X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad {\text{where}}\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}} γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} A , B , {\displaystyle A,B,} A {\displaystyle A} n ( γ ) . {\displaystyle \mathbf {n} (\gamma ).} − ω . {\displaystyle -\omega .}
  4. 接合点における 二円弧の接線ベクトルは であり、ここで B ( p ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(p)} n ( τ J ) {\displaystyle \mathbf {n} \left(\tau _{{}_{J}}\right)} τ J ( p ) = − 2 arctan ⁡ p sin ⁡ α 2 + sin ⁡ β 2 p cos ⁡ α 2 + cos ⁡ β 2 . {\displaystyle \tau _{\scriptscriptstyle J}(p)={-2}\arctan {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.}
  5. の双弧はY軸上に接合点を持ち、最小の曲率ジャンプを生じます 。 p = ± 1 {\displaystyle p=\pm 1} ( X J = 0 ) , {\displaystyle (X_{J}=0),} min | k 2 ( p ) − k 1 ( p ) | , {\displaystyle \min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,} J . {\displaystyle J.}
  6. 退化した二弧とは:
    • 双弧: 、 、 のとき、弧は消滅します。 B ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(0)} p → 0 {\displaystyle p\to 0} J ( p ) → A {\displaystyle J(p)\to A} A J {\displaystyle AJ}
    • 双弧: 、 、 のとき、弧は消滅します。 B ( ∞ ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )} p → ± ∞ {\displaystyle p\to \pm \infty } J ( p ) → B {\displaystyle J(p)\to B} J B {\displaystyle JB}
    • 不連続な二円弧は直線またはを含み、無限遠点を通ります 。 B ( p ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(p^{\ast })} A P ∞ J {\displaystyle AP_{\infty }J} J P ∞ B , {\displaystyle JP_{\infty }B,} P ∞ {\displaystyle P_{\infty }} p ∗ = { − sin ⁡ ω sin ⁡ α , if | α | ⩾ | β | ( | α | = π ⟹ p ∗ = − ∞ ) , − sin ⁡ β sin ⁡ ω , if | α | ⩽ | β | ( | β | = π ⟹ p ∗ = 0 ) . {\displaystyle p^{\ast }={\begin{cases}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},&{\text{if}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (|\alpha |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=-\infty ),\\[1ex]-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},&{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (|\beta |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=0).\end{cases}}}
    図 3、4 の暗いレンズ状の領域は、二弧で囲まれています。この領域は二弧を覆い、 不連続な二弧は赤い一点鎖線で示されています。 B ( 0 ) , B ( ∞ ) . {\displaystyle {\mathcal {B}}(0),\,{\mathcal {B}}(\infty ).} p > 0. {\displaystyle p>0.}
  7. ファミリー全体は、非退化二弧の 3 つのサブファミリーに細分できます。 サブファミリーが消滅する場合 サブファミリーが消滅する場合 図 3、4、5 では、二弧は茶色、二弧は青色、二弧は緑色で示されています。 B ( p ; α , β , c ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)} B + ( p ) : p ∈ ( 0 ; ∞ ) ; B 1 − ( p ) : p ∈ ( p ∗ ; 0 ) ; B 2 − ( p ) : p ∈ ( − ∞ ; p ∗ ) ; [ B − ( p ) = B 1 − ( p ) ∪ B 2 − ( p ) ] . {\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\\left[{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\right].\end{array}}} B 1 − {\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}} p ∗ = 0 {\displaystyle p^{\ast }=0}    ( | β | = π ) . {\displaystyle (|\beta |=\pi ).} B 2 − {\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}} p ∗ = − ∞ {\displaystyle p^{\ast }=-\infty } ( | α | = π ) . {\displaystyle (|\alpha |=\pi ).} B + {\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}} B 1 − {\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}} B 2 − {\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}

参考文献

  1. ^ Bolton, KM (1975). 「バイアーク曲線」.コンピュータ支援設計. 7 (2): 89– 92. doi :10.1016/0010-4485(75)90086-X.
  2. ^ Kurnosenko, AI (2013). 「Biarcs and bilens」（PDF） .コンピュータ支援幾何学設計. 30 (3): 310– 330. doi :10.1016/j.cagd.2012.12.002.
  • ナットボーン, AW; マーティン, RR (1988).曲線と曲面デザインへの微分幾何学の応用. 第1巻: 基礎. エリス・ホーウッド. ISBN 978-0132118224。
  • 二円弧補間
  • インタラクティブな視覚化とリンクリスト
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