公平なコイン

確率論と統計学において、各試行の成功確率が1/2である独立したベルヌーイ試行の列は、比喩的に「公平なコイン」と呼ばれます。確率が1/2ではないコインは、「偏ったコイン」または「不公平なコイン」と呼ばれます。理論研究では、コインが公平であるという仮定は、しばしば理想的なコインを参照することによって行われます。

ジョン・エドマンド・ケリッチはコイン投げの実験を行い、王冠ほどの大きさの木の円盤で作られ、片面に鉛が塗られたコインは、 1000回中679回表（木の面を上にして）が出ることを発見した。^{[ 1 ]} この実験では、コインを人差し指の上に乗せて投げ、親指を使って約30センチほど空中で回転させてから、テーブルの上に広げられた平らな布の上に着地させた。エドウィン・トンプソン・ジェインズは、コインがバウンドするのではなく手にキャッチされる場合、コインの物理的な偏りは投げ方に比べて重要ではなく、十分に練習すれば100%の確率で表を出せるようになると主張した。^{[ 2 ]}コインが公平かどうかを確認する問題の探求は、統計学を教える際に確立した教育ツールである。

確率空間の定義

確率論では、公平なコインは確率空間として定義され、確率空間は標本空間、事象空間、確率測度によって定義されます。表の場合は、裏の場合はを用いて、コインの標本空間は次のように定義されます。 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $H$ $T$

$\Omega =\{H,T\}$

コインの事象空間には、標本空間から確率を割り当てることができるすべての結果の集合（全べき集合）が含まれます。したがって、事象空間は次のように定義されます。 $2^{\Omega}$

${\mathcal {F}}=\{\{\},\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$

$\{\}$ はどちらの結果も起こらない事象（あり得ないことなので確率0と割り当てられる）であり、はどちらかの結果が起こる事象（必ず起こるので確率1と割り当てられる）である。コインは公平なので、いずれの結果も起こり得る確率は50-50である。確率尺度は次の関数で定義される。 $\{H,T\}$

$x$	$\{\}$	$\{H\}$	$\{T\}$	$\{H,T\}$
$P(x)$	0	0.5	0.5	1

したがって、公平なコインを定義する完全な確率空間は、上で定義した三つ組です。これはランダム変数ではないことに注意してください。なぜなら、表と裏は、公平な二値サイコロのように固有の数値を持たないからです。ランダム変数は、それぞれの結果に数値を割り当てるという追加の構造を持ちます。一般的な選択肢は、またはです。 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $(H,T)\to (1,0)$ $(H,T)\to (1,-1)$

統計教育と理論における役割

コイン投げゲームの確率的・統計的性質は、入門書と上級書の両方で例として頻繁に用いられており、これらの前提は主にコインが公平、つまり「理想的」であるという仮定に基づいています。例えば、フェラーはこの前提を用いてランダムウォークの概念を導入し、また、ある観測系列における同一値の連続の特性を調べることで、観測系列内の均一性検定を開発しました。 ^{[ 3 ]}後者はラン検定へと繋がります。公平なコインを投げた結果からなる時系列は、ベルヌーイ過程と呼ばれます。

偏ったコインから得られる公正な結果

不正行為者がコインを改変し、片方の面をもう片方の面よりも有利にした場合（偏向コイン）、ゲームをわずかに変更することで、そのコインを公正な結果のために使用することができます。ジョン・フォン・ノイマンは、以下の手順を示しました。^{[ 4 ]}

コインを2回投げます。
結果が一致する場合は、両方の結果を忘れて最初からやり直します。
結果が異なる場合は、最初の結果を使用し、2 番目の結果は無視します。

このプロセスが公平な結果を生み出す理由は、コインは投げるたびに偏りが変わらず、2 回の投げは独立しているため、表と裏が出る確率は、裏と表が出る確率と同じでなければならないからです。これは、1 回の試行で 1 つの結果が得られても後続の試行の偏りが変わらない場合にのみ機能し、これはほとんどの非展性コインに当てはまります (ただし、ポリアの壷などのプロセスには当てはまりません)。この手順を繰り返すことで 2 回表と 2 回裏が出るイベントを除外すると、コイン投げをする人には、確率が等しい 2 つの結果だけが残ります。この手順は、投げたものが適切にペアになっている場合にのみ機能します。ペアの一部が別のペアで再利用されると、公平性が損なわれる可能性があります。また、コインは、一方の面の確率が 0になるほど偏ってはなりません。Edsger W. Dijkstra ^[⁵^]はこのプロセスについて書いています。

公平な「物理的な」コインを作るのは非常に難しい。なぜなら、自分がそれを持っていることをどうやって証明するのだろうか？検証することはできないからだ。ここに、構成上公平な「数学的な」コインがある。数学に万歳！

— エドガー・W・ダイクストラ、EWD-1069

この方法は、4回の投げのシーケンスも考慮することで拡張できます。つまり、コインを2回投げて結果が一致し、さらに2回投げて今度は反対側の結果が一致した場合、最初の結果を使用できます。これは、HHTTとTTHHが同確率であるためです。この方法は、2の倍数に拡張できます。

n 番目のゲームでのコイントスの期待値は計算が難しくありません。まず、ステップ 3 では、イベントが何であれ、コインを 2 回投げているので、ステップ 2 (または) ではやり直す必要があるため、2 回のコイントスと次のゲームのコイントスの期待値が得られます。ただし、最初からやり直すと、次のゲームの期待値は前のゲームまたはその他のゲームの値と同じになるため、実際には n に依存しません。したがって(このプロセスは、期待値を再度取得するとが得られるマルチンゲールであると理解できますが、総期待値の法則によりが得られます)、次のようになります。 $E(F_{n})$ $HT$ $TH$ $E(F_{n}|HT,TH)=2$ $TT$ $HH$ $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ $E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}$ $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ $E(F_{n+1})=E(E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1}))=E(F_{n})$

成功結果までの期待されるフリップ回数から遠いほどグラフが遠くなります ${\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}$ $P(H)$ $0.5$

{\displaystyle {\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}} — 成功結果までの期待されるフリップ回数から遠いほどグラフが遠くなります ${\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}$ $P(H)$ $0.5$

${\begin{aligned}E(F)&=E(F_{n})\\&=E(F_{n}|TT,HH)P(TT,HH)+E(F_{n}|HT,TH)P(HT,TH)\\&=(2+E(F_{n+1}))P(TT,HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))P(TT,HH))+2P(HT,TH)\\&=( 2+E(F))(P(TT)+P(HH))+2(P(HT)+P(TH))\\&=(2+E(F))(P(T)^{2}+P(H)^{2})+4P(H)P(T)\\&=(2+E(F))(1-2P(H)P(T))+4P(H)P(T)\\&=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\\\end{aligned}}$

$\therefore E(F)=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\Rightarrow E(F)={\frac {1}{P(H)P(T)}}={\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}$

コインの偏りが大きければ大きいほど、公正な結果を得るまでにより多くの試行を実行する必要がある可能性が高くなります。

P (H)が既知の場合のより良いアルゴリズム

バイアスが既知であると仮定する。本節では、コイン投げの期待値を向上させる単純なアルゴリズム^[⁶^]を示す。このアルゴリズムは、任意の確率でコインをシミュレートすることができ、の値は反復ごとに内部的に変化する。公平なコインを得るために、このアルゴリズムはまず以下のステップを設定し、実行する。 $b:=P({\mathtt {H}})$ $p$ $p$ $p=0.5$

偏ったコインを投げて、その結果を出してみよう。 $X\in \{{\mathtt {H}},{\mathtt {T}}\}$
の場合、反転結果がであればを使用します。それ以外の場合はに設定して手順 1 に戻ります。 $p\geq b$ ${\mathtt {H}}$ $X={\mathtt {H}}$ $p$ ${\frac {pb}{1-b}}$
それ以外の場合、反転結果がであればを使用します。それ以外の場合はに設定し、手順 1 に戻ります。 $p<b$ ${\mathtt {T}}$ $X={\mathtt {T}}$ $p$ ${\frac {p}{b}}$

上記のアルゴリズムは、コインを投げる回数の最適な期待値（ここでは2値エントロピー関数）に到達しないことに注意してください。この最適な期待値に到達するアルゴリズムは存在しますが、それらのアルゴリズムは上記のものよりも洗練されています。 $1/H(b)$ $H(b)$

上記のアルゴリズムでは、偏ったコイン投げの期待回数はであり、これはフォン・ノイマンのアプローチで期待されるコイン投げのちょうど半分です。 ${\frac {1}{2b(1-b)}}$

分析

上記のアルゴリズムの正しさは、条件付き期待値の完璧な例証です。次に、コインを投げる回数の期待値を分析します。

バイアスとの現在の値が与えられれば、結果が返されるまでにコインを投げる期待回数を表す関数を定義できます。の漸化式は次のように記述できます。 $b=P(H)$ $p$ $f_{b}(p)$ $f_{b}(p)$

$f_{b}(p)={\begin{cases}1+b\cdot f_{b}\left({\frac {p}{b}}\right)&{\text{if }}p<b\\1+(1-b)\cdot f_{b}\left({\frac {pb}{1-b}}\right)&{\text{if }}p\geq b\end{cases}}$

これは次の関数を解きます。

$f_{b}(p)={\frac {b+(1-2b)p}{b(1-b)}}$

のとき、コインを投げる回数の期待値は希望どおりになります。 $p=0.5$ $f_{b}(0.5)={\frac {1}{2b(1-b)}}$

参照

参考文献

^ケリッチ、ジョン・エドマンド (1946).確率論への実験的入門. E. ムンクスガード.
^ Jaynes, ET (2003).確率論：科学の論理. ケンブリッジ大学出版局, イギリス. p. 318. ISBN 97805215927102002年2月5日にオリジナルからアーカイブ。角運動量保存の法則に精通している人なら、少し練習すれば、いつものコイントスゲームでズルをして、100%の精度で結果を出せるようになります。表が出る頻度はいくらでも設定でき、コインの偏りは結果に全く影響を与えません！{{cite book}}: CS1 maint: bot: 元のURLステータス不明（リンク）
^フェラー, W (1968).確率論とその応用入門. Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0。
^フォン・ノイマン、ジョン (1951). 「乱数生成に用いられる様々な手法」.米国国立標準技術研究所応用数学シリーズ. 12:36 .
^ Dijkstra, Edsger W. "EWD-1069" (PDF) . EW Dijkstraアーカイブ. テキサス大学オースティン校アメリカ史センター.
^ヘンリー・ツァイ、2024年4月12日。

さらに読む

ゲルマン、アンドリュー、デボラ・ノーラン (2002). 「教師のコーナー：サイコロに不正操作を加えることはできるが、コインにバイアスをかけることはできない」. American Statistician . 56 (4): 308– 311. doi : 10.1198/000313002605 .アンドリュー・ゲルマンのウェブサイトから入手可能
「生涯にわたるデバンカーが中立的な選択の裁定者となる：マジシャンから数学者に転身した人物がコイン投げで偏りを暴く」スタンフォード・レポート、2004年6月7日。 2009年8月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年3月5日閲覧。
John von Neumann、「ランダムな数字に関連して使用されるさまざまな手法」、AS Householder、GE Forsythe、HH Germond 編、『モンテカルロ法』、米国標準局応用数学シリーズ、12 (ワシントン DC: 米国政府印刷局、1951): 36-38。

[Kerrich-1] ケリッチ、ジョン・エドマンド (1946).確率論への実験的入門. E. ムンクスガード.

[Jaynes-2] Jaynes, ET (2003).確率論：科学の論理. ケンブリッジ大学出版局, イギリス. p. 318. ISBN 97805215927102002年2月5日にオリジナルからアーカイブ。角運動量保存の法則に精通している人なら、少し練習すれば、いつものコイントスゲームでズルをして、100%の精度で結果を出せるようになります。表が出る頻度はいくらでも設定でき、コインの偏りは結果に全く影響を与えません！{{cite book}}: CS1 maint: bot: 元のURLステータス不明（リンク）

[feller-3] フェラー, W (1968).確率論とその応用入門. Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0。

[4] フォン・ノイマン、ジョン (1951). 「乱数生成に用いられる様々な手法」.米国国立標準技術研究所応用数学シリーズ. 12:36 .

[5] Dijkstra, Edsger W. "EWD-1069" (PDF) . EW Dijkstraアーカイブ. テキサス大学オースティン校アメリカ史センター.

[6] ヘンリー・ツァイ、2024年4月12日。

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