バイナリタイリング
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ポアンカレ円板上のバイナリタイリング
双曲面のポアンカレ円板モデルにおけるバイナリタイル。各タイルの辺は、ホロサイクル（円板内部の円として示される）または双曲直線（円板境界に垂直な弧）上に位置する。ホロサイクルと直線は、ポアンカレ円板の右側に位置する理想点に漸近する。

幾何学において、バイナリタイリング（ボレツキータイリングとも呼ばれる）[ 1 ]は、双曲面のタイリングであり、双曲面のポアンカレ半平面モデル上の四分木に類似する。タイルは合同であり、それぞれが他の5つのタイルと隣接している。それらは凸五角形、または4辺が線分とホロサイクリックアークを交互に繰り返し、4つの直角で交わる非凸形状である。

与えられたタイルの形状に対して、無数の異なるバイナリタイリングが存在する。それらはすべて弱非周期的であり、これは1次元対称群を持つことはできるが、2次元対称族を持つことはできないことを意味する。任意の小さな面積のタイルを持つバイナリタイリングも存在する。

バイナリタイリングは、1974年にカーロイ・ボレツキーによって初めて数学的に研究されました。密接に関連するタイリングは、1930年代後半から無線工学のスミスチャートで使用されており、1957年のM.C.エッシャーの版画にも登場しています。

タイル

浴室の正方形のタイル

表面のタイリングとは、タイルと呼ばれる幾何学的形状で、重なりや隙間なく表面を覆うことです。一例として、ユークリッド平面を正方形で端から端まで並べたおなじみのタイリングがあります[ 2 ]。これは、例えば多くの浴室で見られます。[ 3 ]すべてのタイルが同じ形状とサイズ（すべて合同）の場合、タイリングは単面体タイリングと呼ばれ、タイルの形状はタイリングの原型と呼ばれます。 [ 2 ]バイナリタイリングは、双曲平面の単面体タイリングであり、長さ、面積、合同、対称性の概念がユークリッド平面とは異なる非ユークリッド幾何学の一種です。[ 4 ]

双曲平面の一般的なモデルとして、ポアンカレ円板モデルとポアンカレ半平面モデルが2 つあります。これらでは、双曲平面の点はそれぞれ、ユークリッド平面、開円板、または水平線の上の半平面内の点でモデル化されます。双曲直線は、モデルの境界を垂直に横切るユークリッド円と直線でモデル化されます。モデルの境界点は理想点と呼ばれ、理想点を通る双曲直線は理想点に漸近すると言われています。半平面モデルには、すべての垂直線に漸近するもう 1 つの理想点、無限遠点があります。双曲曲線のもう 1 つの重要なクラスはホロサイクルと呼ばれ、モデルの境界に接する円、または半平面モデル内の水平線としてモデル化されます。ホロサイクルは接点に漸近するか、接点がない場合は無限遠点に漸近します。[ 5 ] [ 6 ]

バイナリ タイリングの 1 つのバージョンでは、各タイルは 2 本の双曲線と 2 本のホロサイクルで囲まれた形状になります。これらの 4 つの曲線は同じ理想的な点に漸近し、2 つのホロサイクルは互いに双曲距離にある必要があります。このように選択すると、タイルは長方形のように 4 つの直角を持ち、その辺は双曲線の線分とホロサイクルの弧が交互に配置されます。2つのホロサイクル間の距離として を選択すると、2 つのホロサイクルの弧のうちの 1 つ (漸近点から遠い方) の双曲距離が、反対側の弧の 2 倍になります。この形状のコピーを線分辺に沿って端から端まで接させることで、2 つのホロサイクル間のスラブまたは三日月形の領域をタイリングできます。これらのスラブや三日月形のタイルを入れ子状に並べることで、双曲面全体をタイル張りすることができます。その際、あるスラブの各タイルの長い弧が、次のスラブの2つのタイルの短い弧で覆われるように並べます。その結果、バイナリタイル張りが実現します。[ 1 ]ログ⁡2{\displaystyle \log 2}ログ⁡2{\displaystyle \log 2}

ポアンカレ半平面モデルで表示されたバイナリタイリングの一部。水平線は双曲面のホロサイクルに対応し、垂直線分は双曲線に対応する。

双曲幾何学のポアンカレ半平面モデルでは、各タイルを軸に平行な正方形または長方形としてモデル化できます。[ 4 ] [ 7 ]このモデルでは、タイルの垂直側を通る光線が無限遠点に漸近する双曲線線をモデル化し、タイルの水平側を通る線が同じ点に漸近するホロサイクルをモデル化します。[ 5 ]水平ホロサイクルの弧の双曲線長は、そのユークリッド長さを- 座標で割った値であり、同じ- 座標を持つ点間の双曲線距離は、それらの - 座標の比の対数です。[ 6 ]これらの事実から、双曲距離 にあるバイナリ タイリングの連続するホロサイクルは、 - 軸からのユークリッド距離が各ステップで 2 倍になる水平線によってモデル化され、バイナリ タイルの 2 つの下側の半弧はそれぞれ上側の弧と等しいことが計算できます。 y{\displaystyle y}×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}ln⁡2{\displaystyle \ln 2}×{\displaystyle x}

ポアンカレ半平面モデルにおける凸五角形タイルを使用したバイナリタイリング。

このタイリングの代替バージョンであり、組み合わせ的に等価なバージョンでは、頂点は同じ点に配置されますが、ホロサイクルの弧ではなく双曲線分で接続されるため、各タイルは双曲凸五角形になります。これにより、タイリングは真正五角形タイリングになります。[ 7 ] [ 8 ]これらのタイルの非垂直な辺を通る双曲線は、半平面モデルでは-軸を中心とする半円でモデル化され、辺はこれらの半円の弧を形成します。[ 6 ]×{\displaystyle x}

列挙と非周期性

バイナリ タイリングには対称性がないため、青いタイル (2 レベル上の黄色いタイルを基準として中央の位置にある) が赤いタイル (外側の位置にある) に配置されます。

ユークリッド平面の正方形タイル張りでは、2 つのタイルがすべて同じ位置に配置されます。つまり、タイル張り全体には対称性 (平行移動) があり、一方のタイルがもう一方のタイルに移動します。しかし、バイナリ タイル張りには、すべてのタイルが他のすべてのタイルに移動するような対称性はありません。たとえば、任意のタイルの 2 レベル下の 4 つのタイルでは、中央のタイルが外側のタイルに移動するような対称性はありません。さらに、正方形タイルでユークリッド平面を端から端までタイル張りする方法は 1 つしかありませんが、端から端までが一致するバイナリ タイル張りは無数に存在します。[ 1 ]バイナリ タイル張りのプロトタイプは、いくつかの側面に小さな突起を追加し、他の側面に一致する窪みを追加することで、タイル張りを端から端までになるように強制的に変更できます。[ 4 ]

一部のバイナリタイリングは、1次元の無限対称群を持つ。例えば、バイナリタイリングを半平面モデルで見ると、タイリング自体を変えずに、モデルを2の任意のべき乗で拡大縮小できる場合がある。これが可能な場合、タイリングは2のべき乗ごとに1つずつ、無限個の対称性を持つ。[ 1 ]しかし、バイナリタイリングには2次元対称群は存在しない。これは数学的に、タイリングの対称性によってすべてのタイルを有限集合にマッピングできるようなタイルの有限集合を見つけることは不可能である、と表現できる。より技術的に言えば、バイナリタイリングにはココンパクト対称群は存在しない。[ 4 ]

バイナリタイリングの原型は、そのタイリング全体が完全に周期的ではないタイルとして、双曲面におけるアインシュタイン問題に類似した問題を解く。この問題は、非周期的にのみタイリングする単一の原型を求める。バイナリタイリングの発見からずっと後、この問題はユークリッド平面において「帽子」タイリングと「スペクター」タイリングの発見によって解決された。しかし、バイナリタイリングは弱非周期的であり、つまり2次元対称群を持つタイリングは存在しない。バイナリタイリングは1次元対称性を持つことができるため、強非周期的ではない。[ 9 ]

バイナリタイリングでは、すべてのタイルが同じ形状であることよりも、タイルのすべての最初のコロナが同じ形状であることの方が重要です（おそらく反射後の形状）。最初のコロナとは、単一の中央タイルに接するタイルの集合です。ここで、コロナは互いに反射している場合、同じものとみなされます。ユークリッド平面のタイリングでは、すべての最初のコロナが同じであることは、タイリングが周期的かつ等面体であることを意味します。つまり、すべてのタイルが互いに対称であるということです。バイナリタイリングは、双曲面において、タイリングが等面体でなくても合同なコロナを持つことができることを示しています。[ 10 ]

バイナリタイリング（赤いアウトライン）とそのデュアルタイリング（黄色の曲線三角形と青と緑の曲線四辺形）

バイナリタイリングのデュアルタイリングは、バイナリタイリングの各タイル内の参照点を選択し、互いに辺を共有するタイルの参照点のペアを接続することによって形成されます。これらは単面体ではありません。バイナリタイリングは3つまたは4つのタイルが交わる頂点を持ち、それに対応してデュアルタイリングには三角形のタイルと四辺形のタイルが含まれます。バイナリタイリングが非周期的であるが単面体（タイルの形状が1つだけである）であるという事実は、デュアルタイリングについても同等の事実を言い換えると、非周期的であるが単冠状であり、各頂点を囲むタイルのパターンが同じであるということです。[ 7 ]

アプリケーション

タイルの平均赤点数は 1/3 (左) ですか、それとも 2/3 (右) ですか?

バイナリタイリングは、1974 年にKároly Böröczkyによって初めて数学的に研究されました。[ 4 ] [ 11 ] [ 12 ] Böröczky は、離散平面点集合の密度、つまり単位面積あたりの点の平均数を調査していました。この量は、たとえばDanzer 集合 の研究に使用されます。ユークリッド平面の単面体タイリングでタイルに 1 つずつ配置された点の場合、密度はタイル面積に反比例します。しかし、双曲面の場合は逆説的な問題が生じます。[ 4 ] [ 12 ]バイナリタイリングのタイルは、3 つのタイルのサブユニットにグループ化することができ、各サブユニットは 2 つ以上のタイルの上にある 1 つのタイルで構成されます (ポアンカレ半平面モデルで見たように)。各サブユニットの上部タイルの中心にある点は、サブユニットごとに 1 つの点を持ち、見かけの密度はバイナリタイルの面積の 3 分の 1 に等しくなります。しかし、同じ点とバイナリタイリングを異なる方法で再グループ化することができます。つまり、サブユニットごとに2つの点を配置​​し、各サブユニットの下2つのタイルの中心に配置し、見かけの密度を2倍にします。この例は、この方法でタイリングから双曲点集合の密度を決定することは不可能であることを示しています。[ 12 ] [ 13 ]

もう1つの応用として、単面体タイルの面積が挙げられます。2面体タイルの定義には、タイルの垂直辺間の距離という自由パラメータが用いられます。単一のタイルを構成するすべてのタイルは等しい双曲面積を持ちますが、この距離が変化すると、すべてのタイルの（等しい）面積も比例して変化します。この距離を任意に小さくすると、双曲面には任意に小さい面積を持つ合同なタイルによるタイル張りが存在することがわかります。[ 11 ]

Jarkko Kari は、 Wang タイルに類似したバイナリ タイリングからのタイルの色付けシステムを使用して、与えられた双曲型プロトタイプのシステムが双曲面をタイリングできるかどうかを判断することは決定不可能な問題であることを証明しました。[ 8 ]各タイルをグリッド グラフに置き換えるバイナリ タイリングの細分化は、グラフ アルゴリズムの細分化された複雑さの厳密な境界を得るために使用されています。[ 14 ]バイナリ タイリングに基づく、四分木に似た再帰データ構造は、双曲面における近似最近傍クエリに使用されています。[ 15 ]

エッシャーの平面の規則的な分割の構造VI
スミスチャート
バウムスラッグ・ソリター群のケーリーグラフの4枚のシートBS（1、2）{\displaystyle BS(1,2)}

1957年のM.C.エッシャーの版画「平面の正則分割VI」では、このタイリングが基礎構造となっており、2元タイリング（4分木形式で見られるように）の各正方形タイルは3つの直角二等辺三角形に分割されている。[ 16 ]これは、双曲面の半平面モデルに基づいたエッシャーの版画のうちの1つである。[ 17 ]この版画では、各三角形が様式化されたトカゲに置き換えられている。[ 16 ]

スミスチャートは、無線工学におけるパラメータを視覚化するグラフィカルな手法であり、双曲面のポアンカレ円板モデル上の2元タイリングに似ており、双曲幾何学やエッシャーの双曲タイリングとの関連が分析されてきた。[ 18 ]スミスチャートは、1930年代後半に水橋東作、[ 19 ]フィリップ・ヘイガー・スミス、[ 20 ]アミエル・R・ボルパートによって初めて開発された。[ 21 ]

バウムスラッグ・ソリター群のケイリーグラフは、群の元を頂点とし、その辺は群の標準生成元による乗算を表す。このグラフは「シート」に分解することができ、シートの頂点と辺は二分法のタイリングを形成する。二分法のタイリングの各レベルにおいて、次の上位レベルへのタイリングの継続方法について2つの選択肢がある。任意の2つのシートは、これらのレベルのいずれかで異なる選択を行うことで互いに分離するまで、いくつかのレベルで一致し、シートは無限二分木の構造を形成する。[ 22 ] [ 23 ]BS（1、2）{\displaystyle BS(1,2)}

この3次のアペロゴナルタイリング（ポアンカレディスクモデルで示されている）の各面は、ラディンによって修正されたバイナリタイリングの一部に置き換えることができます。[ 4 ]

ロジャー・ペンローズによる双曲面のタイリングは、隣接する2つの2つのタイルが上下に重なり、それらの和がL字型のタイルを形成すると解釈できる。2つのタイルのタイリングと同様に、これは弱非周期的である。[ 24 ]チャールズ・ラディンは、2つのタイルの下側と上側から対応する窪みを切り取るという、2つのタイルのタイリングの別の修正について述べている。これらの修正されたタイルは通常の2つのタイルのタイリングを形成できるが、アピロゴナルタイリングの各面を、ホロサイクルの内側にある2つのタイルのサブセットで置き換える、異なるタイリングの形成にも使用できる。（ポアンカレ半平面の水平ホロサイクルの場合、内側はホロサイクルの上にある。）これらの2つのタイルとアピロゴナルタイリングの混合タイリングは、2つのタイルのタイリングの密度パラドックスを回避する。[ 4 ]

バイナリタイリングのデュアルグラフは、各タイルに頂点があり、エッジを共有するタイルの各ペアにエッジがあります。これは、互いに同じレベルのツリーノード間のサイドツーサイド接続が追加された無限バイナリツリー（ルートなしで上下に無限に拡張）の形を取ります。 [ 1 ]有限完全バイナリツリーの類似の構造は、各レベルのサイドツーサイド接続がパスからサイクルに拡張され、並列コンピューティングのネットワークトポロジーとしてリングツリーとして研究されています。[ 25 ]リングツリーは、スモールワールドネットワークとの関連で双曲メトリック特性の観点からも研究されています。[ 26 ]サイドツーサイド接続を省略すると、無限バイナリツリーを双曲ツリー として埋め込むことができます。[ 15 ]

参照

参考文献

  1. ^ a b c d eドルビリン, ニコライ; フレトロー, ディルク (2010). 「高次元双曲空間におけるボレツキータイリングの特性」(PDF) .ヨーロッパ組合せ論ジャーナル. 31 (4): 1181– 1195. arXiv : 0705.0291 . doi : 10.1016/j.ejc.2009.11.016 .
  2. ^ a bアダムス、コリン (2022). 『タイリングブック：タイリングの数学的理論入門』アメリカ数学会. pp.  21–23 . ISBN 9781470468972。
  3. ^ Adams (2022)、232頁。
  4. ^ a b c d e f g h Radin, Charles (2004). 「Orbits of Orbs: Sphere Packing Meets Penrose Tilings」(PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (2): 137– 149. doi : 10.2307/4145214 . JSTOR 4145214 . 
  5. ^ a bラムゼイ, アーラン; リヒトマイヤー, ロバート D. (1995).双曲幾何学入門. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. p. 212. doi : 10.1007/978-1-4757-5585-5 . ISBN 0387943390。
  6. ^ a b cスタール、ソール (1993). 『ポアンカレ半平面：現代幾何学への入り口』 ボストン: ジョーンズ・アンド・バートレット出版社. pp.  64– 67. ISBN 0-86720-298-X. MR  1217085 .
  7. ^ a b c Frettlöh, Dirk; Garber, Alexey (2015). 「モノコロナルタイリングの対称性」.離散数学と理論計算機科学. 17 (2): 203– 234. arXiv : 1402.4658 . doi : 10.46298/dmtcs.2142 . MR 3411398 . 
  8. ^ a b Kari, Jarkko (2007). 「タイリング問題の再考（拡張アブストラクト）」Durand-Lose, Jérôme Olivier; Margenstern, Maurice (編).機械、計算、そして普遍性、第5回国際会議、MCU 2007、フランス、オルレアン、2007年9月10～13日、議事録。Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4664. Springer. pp.  72– 79. doi : 10.1007/978-3-540-74593-8_6 . ISBN 978-3-540-74592-1。
  9. ^スミス, デイビッド; マイヤーズ, ジョセフ・サミュエル;カプラン, クレイグ・S .;グッドマン＝ストラウス, チャイム(2024). 「非周期的モノタイル」.組合せ理論. 4 (1) 6. arXiv : 2303.10798 . doi : 10.5070/C64163843 . MR 4770585 . 
  10. ^ドルビリン, ニコライ; シュルテ, エゴン (2004年6月). 「モノタイプタイリングの局所定理」 . Electronic Journal of Combinatorics . 11 (2). 研究論文7. doi : 10.37236/1864 . MR 2120102 . 
  11. ^ a b Agol, Ian (2018年1月26日). 「双曲面をモザイク状に分割する最小のタイル」 . MathOverflow .
  12. ^ a b cボレツキー、カーロリ (1974)。「Gömbkitöltések állandó görbületű terekben I」。マテマティカイ・ラポック（ハンガリー語）。25 : 265–306 .Radin 氏の引用による。
  13. ^ Bowen, Lewis Phylip (2002).双曲空間における密度（博士論文）. テキサス大学オースティン校. hdl : 2152/10916 .セクション 1.2.4、「Böröczky のパッキング」、14 ～ 19 ページを参照してください。
  14. ^キスファルディ＝バク、サンダール;マサリコバ、ヤナ。ファン・レーウェン、エリック・ヤン。ヴァルチャック、バルトシュ。ウェグジツキ、カロル (2024)。 「平面双曲線グラフのセパレータ定理とアルゴリズム」。ヴォルフガングのミュルツァーで。フィリップス、ジェフ M. (編)。第 40 回計算幾何学に関する国際シンポジウム、SoCG 2024、2024 年 6 月 11 ～ 14 日、ギリシャ、アテネ。リップス。 Vol. 293. ダグシュトゥール城 - ライプニッツ情報センター。 67:1–67:17。arXiv : 2310.11283。土井: 10.4230/LIPIcs.SoCG.2024.67。ISBN 978-3-95977-316-4。
  15. ^ a bキスファルディ＝バク、サンダール;ファン・ワードラーゲン、ギアルト (2024)。 「四分木、シュタイナー スパナ、および双曲空間の近似最近傍」。ヴォルフガングのミュルツァーで。フィリップス、ジェフ M. (編)。第 40 回計算幾何学に関する国際シンポジウム、SoCG 2024、2024 年 6 月 11 ～ 14 日、ギリシャ、アテネ。リップス。 Vol. 293. ダグシュトゥール城 – Leibniz-Zentrum für Informatik。 68:1–68:15。arXiv : 2305.01356。土井：10.4230/LIPICS.SOCG.2024.68。
  16. ^ a bエッシャー, MC (1989). 「平面の規則的な分割」.エッシャー・オン・エッシャー：無限の探求. フォード, カリン訳. ハリー・N・エイブラムス社. pp.  90– 122. ISBN 0-8109-2414-5。特に、平面の正規分割 VIについて説明したテキスト(112 ページと 114 ページ)、概略図 (116 ページ)、および印刷物の複製 (117 ページ) を参照してください。
  17. ^ Dunham, Douglas (2012). 「MC Escherによる双曲幾何学のポアンカレ模型の利用」(PDF) . Bruter, Claude (編).数学と現代美術：2010年7月19～22日にパリで開催された第1回ESMA会議の議事録. Springer Proceedings in Mathematics. 第18巻. Springer. pp.  69– 77. doi : 10.1007/978-3-642-24497-1_7 . ISBN 9783642244971。
  18. ^ Gupta, Madhu S. (2006年10月). 「エッシャーの芸術、スミスチャート、そして双曲幾何学」. IEEE Microwave Magazine . 7 (5): 66– 76. doi : 10.1109/mw-m.2006.247916 .
  19. ^水橋東作（1937年12月）。 「Sì duānzƐ huílùのinpīdansu hensei toseigōkairo no riron」。J.Inst.電気通信工学日本。1937 (12): 1053–1058。
  20. ^ Smith, PH (1939年1月). 「伝送線路計算機」(PDF) .エレクトロニクス. 12 (1): 29– 31.
  21. ^アミエル・ラファイロヴィッチ、ヴォルパート（1940年2月）。 「ノモグラマ・ドリャ・ラシェタ・ドリニク・リニー」。Proizvodstvenno-tekhnicheskiy Byulleten。1940 (2): 14 ～ 18 歳。
  22. ^クック, ブリアナ; フレデン, エリック・M.; マッキャン, アリシャ (2004). 「ホワイトの定理の簡単な証明」. Geometriae Dedicata . 108 : 153– 162. doi : 10.1007/s10711-004-2304-3 . MR 2112672 . 
  23. ^オーブラン、ナタリー;シュラウドナー、マイケル（2024）。 「Baumslag–Solitar群上の有限型のサブシフトとしての置換起源の双曲面のタイリング」。コンテス・レンドゥス。数学。362 : 553–580.arXiv : 2012.11037。​​土井：10.5802/crmath.571。MR 4753921。BS（1、n）{\displaystyle BS(1,n)} 
  24. ^ペンローズ, R. (1979年3月). 「ペンタプレキシティ：平面の非周期的タイリングのクラス」.数学インテリジェンサー. 2 (1): 32– 37. doi : 10.1007/BF03024384 . MR 0558670 . 
  25. ^ Despain, Alvin M.; Patterson, David A. (1978). 「X-Tree: ツリー構造マルチプロセッサコンピュータアーキテクチャ」.第5回コンピュータアーキテクチャシンポジウム議事録, 米国カリフォルニア州パロアルト, 1978年4月. Association for Computing Machinery. pp.  144– 151. doi : 10.1145/800094.803041 .
  26. ^ Chen, Wei; Fang, Wenjie; Hu, Guangda; Mahoney, Michael W. (2013). 「スモールワールドおよびツリー状ランダムグラフの双曲性について」. Internet Mathematics . 9 (4): 434– 491. arXiv : 1201.1717 . doi : 10.1080/15427951.2013.828336 . MR 3173786 . 
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