副産物

圏論とその数学への応用において、零個の対象を持つ圏における有限個の対象集合の重積は、積と余積の両方である。前加法圏においては、積と余積の概念は有限個の対象集合に対して一致する。[1]重積は、加群の有限直和の一般化である。

意味

C を射がゼロである圏とする。C内のオブジェクトA 1 , ..., A nの有限（空の可能性もある）集合が与えられたとき、それらの副積はC内のオブジェクトと射がゼロである。 A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}

  • p k : A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n → A k {\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}} C （射影射影）​
  • i k : A k → A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}} （埋め込み射）

満足のいく

  • p k ∘ i k = 1 A k {\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}} 、およびの恒等射 A k , {\displaystyle A_{k},}
  • p l ∘ i k = 0 {\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0} の零射 は A k → A l , {\displaystyle A_{k}\to A_{l},} k ≠ l , {\displaystyle k\neq l,}

そして、

  • ( A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n , p k ) {\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)} は、および​ A k , {\textstyle A_{k},}
  • ( A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n , i k ) {\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)} は、​ A k . {\textstyle A_{k}.}

Cが前加法的で、最初の2つの条件が成り立つ場合、最後の2つの条件はそれぞれn > 0の場合と等価である。[2]空、あるいは零項積は常にカテゴリの終端対象であり、空余積は常にカテゴリの始端対象である。したがって、空、あるいは零項双積は常に零対象である。 i 1 ∘ p 1 + ⋯ + i n ∘ p n = 1 A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}

例

アーベル群のカテゴリでは、双積は常に存在し、直和によって与えられる。[3]零対象は自明群である。

同様に、体上のベクトル空間のカテゴリにも重積が存在する。重積は再び直和であり、零対象は自明なベクトル空間である。

より一般的には、環上の加群のカテゴリに双積が存在します。

一方、群のカテゴリには二重積は存在しない。[4]ここで、積は直積であるが、余積は自由積である。

また、集合の圏には双積は存在しません。なぜなら、積は直積で与えられ、余積は互いに素な和で与えられるからです。この圏には零対象はありません。

ブロック行列代数は行列のカテゴリにおける二重積に依存します。[5]

プロパティ

カテゴリC内のオブジェクトAとBのすべてのペアに対して二重積が存在し、Cにゼロ オブジェクトがある場合、すべての有限二重積が存在するため、C はデカルト モノイド カテゴリとコ デカルト モノイド カテゴリの 両方になります。 A ⊕ B {\textstyle A\oplus B}

あるオブジェクトA 1、A 2のペアに対して積と余積が両方存在する場合、次のような 唯一の射が存在する。 A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} A 1 ∐ A 2 {\textstyle A_{1}\coprod A_{2}} f : A 1 ∐ A 2 → A 1 × A 2 {\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}

  • p k ∘ f ∘ i k = 1 A k ,   ( k = 1 , 2 ) {\displaystyle p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}
  • p l ∘ f ∘ i k = 0 {\displaystyle p_{l}\circ f\circ i_{k}=0} [説明が必要] k ≠ l . {\textstyle k\neq l.}

したがって、 fが同型である場合にのみ、副積が存在することになります。 A 1 ⊕ A 2 {\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}

Cが前加法圏ならば、すべての有限積は二積であり、すべての有限余積は二積である。例えば、 が存在するならば、次のような 唯一の射が存在する。 A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} i k : A k → A 1 × A 2 {\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}

  • p k ∘ i k = 1 A k ,   ( k = 1 , 2 ) {\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}
  • p l ∘ i k = 0 {\displaystyle p_{l}\circ i_{k}=0} のために k ≠ l . {\textstyle k\neq l.}

が余積、つまり副積でもあることを確認するために、何らかのオブジェクト に対する射があると仮定します。定義すると、は から への射であり、に対しても射です。 A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} f k : A k → X ,   k = 1 , 2 {\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2} X {\textstyle X} f := f 1 ∘ p 1 + f 2 ∘ p 2 . {\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.} f {\textstyle f} A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} X {\textstyle X} f ∘ i k = f k {\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}} k = 1 , 2 {\textstyle k=1,2}

この場合、常に

  • i 1 ∘ p 1 + i 2 ∘ p 2 = 1 A 1 × A 2 . {\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.}

加法圏とは、すべての有限な双積が存在する前加法圏である。特に、アーベル圏においては双積は常に存在する。

参考文献

  1. ^ ボルセ、4-5
  2. ^ サンダース・マックレーン著『働く数学者のためのカテゴリー』第2版、194ページ。
  3. ^ ボルセ、8
  4. ^ ボルセ、7
  5. ^ HD Macedo、JN Oliveira、「線形代数の型付け：二積指向アプローチ」、Science of Computer Programming、第78巻、第11号、2013年11月1日、2160-2191ページ、ISSN  0167-6423、doi：10.1016/j.scico.2012.07.012。
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