ビスピノール

物理学 、特に量子場の理論において、ビスピノルはクォークや電子など、自然界の基本粒子の一部を記述するために用いられる数学的構成である。これはスピノルの具体的な具体例であり、特殊相対論の要件を満たすように特別に構築されている。ビスピノルは、ミンコフスキー時空の対称性を記述するローレンツ群の作用下で、特定の「スピノル的」な様式で変換される。ビスピノルは、ディラック方程式の相対論的スピン1/2波動関数解に現れる。

ビスピノルは、2つのより単純な成分スピノルであるワイルスピノルから構成されるため、このように呼ばれる。2つの成分スピノルはそれぞれ、ローレンツ群の2つの異なる複素共役スピン1/2表現の下で異なる変換を行う。この組み合わせは根本的に重要であり、表現された粒子が質量を持ち、電荷を持ち、電荷の流れを電流として表現し、そしておそらく最も重要なことに、角運動量を持つことができる。より正確には、質量はローレンツ群のカシミール不変量（エネルギーの固有状態）であり、ベクトルの組み合わせは運動量と電流を持ち、ローレンツ群の作用の下で共変である。角運動量は、スピン場に対して適切に構成されたポインティングベクトルによって運ばれる。 ^[1]

ビスピノルは、ディラックスピノルとほぼ「同じもの」です。ここで用いる慣例とは、ディラックスピノルに関する記事では、ガンマ行列のディラック規約を用いて、ディラック方程式の平面波解を提示することです。つまり、ディラックスピノルは、ディラック規約におけるビスピノルです。対照的に、以下の記事では、主にワイル表現、すなわちカイラル表現に焦点を当て、ディラック方程式よりも、ローレンツ群の幾何学を含む幾何学的構造に重点を置いています。したがって、以下で述べることの多くは、マヨラナ方程式にも当てはまります。

意味

ビスピノルは、ローレンツ群の4次元複素 ベクトル空間 ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0)⊕(0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) 表現の要素である。^[2]

ワイル基底では、ビスピノル

${\displaystyle \psi =\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{array}}\right)}$

は2つの（2成分）ワイルスピノルとから成り、これらはそれぞれ、群（パリティ変換のないローレンツ群）の（ ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0）および（0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ）表現の下で変換されます。パリティ変換の下では、ワイルスピノルは互いに変換されます。 ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (1,3)}$

ディラックビスピノルはディラック基底へのユニタリ変換によってワイルビスピノルと結びついている 。

${\displaystyle \psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{array}}\right).}$

ディラック基底は文献で最も広く使用されている基底です。

ビスピノルのローレンツ変換の表現

ビスピノル場は、次の規則に従って変換される。 ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{a}(x)\to {\psi ^{\prime }}^{a}\left(x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}\left(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x)}$

ここで、 はローレンツ変換です。ここで、物理的な点の座標は に従って変換されます。一方、 は行列であり、ローレンツ群の スピノル表現（スピン1/2の場合）の要素です。${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle S}$

ワイル基底では、ブーストと回転の明示的な変換行列は次のようになる: ^[3]${\displaystyle \Lambda _{\rm {boost}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\rm {rot}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[\Lambda _{\rm {boost}}]&=(e^{+\chi \cdot \alpha /2})\\S[\Lambda _{\rm {rot}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{+i\phi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

ここで、ブーストパラメータはラピディティに速度の正規化された方向を乗じたものであり、軸周りの回転を表します。はパウリ行列、はガンマ行列からなるベクトルです。指数関数は指数写像であり、この場合、行列を指数関数の通常のべき級数に当てはめることによって定義される 行列指数です。${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \phi ^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =\gamma _{t}(\gamma _{x},\gamma _{y},\gamma _{z})}$

プロパティ

ビスピノルの双線形形式は、 5 つの既約な (ローレンツ群の下で) オブジェクトに還元できます。

1. スカラー、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$
2. 擬似スカラー、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi }$
3. ベクトル、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$
4. 擬似ベクトル、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi }$
5. 反対称テンソル、、${\displaystyle {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\psi }$

ここで、およびはガンマ行列である。これら5つの量は、 Fierz恒等式によって相互に関連付けられている。これらの値は、異なるタイプのスピノルのLounestoスピノル場の分類に用いられる。ビスピノルはその1つに過ぎない。他には、旗柱型スピノル（マヨラナスピノルはその特殊ケース）、旗双極子型スピノル、およびワイルスピノルがある。旗柱型スピノル、旗双極子型スピノル、およびワイルスピノルはいずれも質量場と擬スカラー場がヌルである。旗柱型スピノルはさらに擬ベクトル場もヌルであり、ワイルスピノルは反対称テンソル（角運動量場）がヌルである。 ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\right\}}$

相対論的スピン⁠ 1 / 2 ⁠場に対する適切なラグランジアンはこれらから構築することができ、次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\bar {\psi }}\psi \;.}$

ディラック方程式は、オイラー・ラグランジュ方程式を使用してこのラグランジアンから導くことができます。

ビスピノル表現の導出

導入

この概要では、ローレンツ群の( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) 表現の特定の表現空間の要素として、ある種のビスピノルについて説明します。この表現空間は、記事「スピノル」で説明されているミンコフスキー時空上のクリフォード代数に含まれる( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )表現空間と関連していますが、同一ではありません。言語と用語は「ローレンツ群の表現論」で使用されているものを使用します。説明に不可欠なクリフォード代数の唯一の特性は、以下のD1で示される定義特性です。so ( 3,1)の基底元はM ^μνとラベル付けされています。

ローレンツ群O(3,1)のリー代数so (3,1)の表現は、時空上の複素クリフォード代数の基底（ベクトル空間）として選択される行列の中に現れます。これらの4×4行列をべき乗すると、SO(3,1) ⁺の表現が得られます。この表現は( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )表現となり、任意の 4 次元複素ベクトル空間（単にC ⁴とされる）に作用し、その要素はビスピノルとなります。

参考までに、 so (3,1)の交換関係は

${\displaystyle \left[M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }M^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }M^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }M^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }M^{\mu \sigma }\right)}$

M1

時空計量η = diag(−1, 1, 1, 1)とする。

ガンマ行列

γ ^μを4つの4次元ガンマ行列の集合とし、ここではディラック行列と呼ぶ。ディラック行列は次式を満たす。

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},}$ [4]

D1

ここで、{, }は反交換子、I ₄は4×4単位行列、η ^μνは符号(+,−,−,−)を持つ時空計量である。これはクリフォード代数の生成集合の定義条件である。クリフォード代数のさらなる基底元σ ^μνは次のように与えられる。

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right].}$ [5]

C1

行列σ ^μνのうち 6 つだけが線形独立です。σ ^μν = − σ ^νμであるため、これはその定義から直接得られます。それらは、次のように、 受動的意味で部分空間V _γおよび γ μ^スパンに作用します。

${\displaystyle \left[\sigma ^{\mu \nu },\gamma ^{\rho }\right]=-i\gamma ^{\mu }\eta ^{\nu \rho }+i\gamma ^{\nu }\eta ^{\mu \rho }.}$ [6]

C2

(C2)において、2番目の等式はクリフォード代数の 性質(D1)から導かれる。

so(3,1)のClにおけるリー代数埋め込み₄（C）

ここで、 σ ^μνへのso (3,1)の作用と、それらがCl ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _Cで張る線型部分空間V _σ ⊂ Cl ₄ ( C )を定義する。これは次のように与えられる。

${\displaystyle \pi \left(M^{\mu \nu }\right)\left(\sigma ^{\rho \sigma }\right)=\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\sigma \nu }\sigma ^{\rho \mu }-\eta ^{\mu \rho }\sigma ^{\nu \sigma }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \sigma }\right).}$

C4

(C4)の最後の等式は、 (C2)とガンマ行列の性質(D1)から導かれるが、 (C4)の交換関係がso (3,1 ) の交換関係と全く同じであることから、 σ ^{μν が}so (3,1)の表現を構成することを示している。 π(M ^μν )の作用は、M _n ( C )内のσ ^μνが張る空間が6次元であることから、6次元行列Σ ^μνに基底ベクトルσ ^{μνを乗じたものと考えることもできるし、} σ ^ρσ上の交換による作用と考えることもできる。以下では、π ( M ^μν ) = σ ^{μνである。}

γ μとσ ^{μν は}_{どちらも Cl 4} ( C )の基底元の（互いに素な）部分集合であり^、 4次元時空における4次元ディラック行列γ ^μによって生成される。したがって、 so (3,1)のリー代数は、 σ ^μνによって張られるCl ₄ ( C )の実部分空間πによってCl 4 ₍ C )に埋め込まれる。クリフォード代数のγ ^μとσ ^μν以外の残りの基底元に関する詳細な説明については、ディラック代数の記事を参照のこと。

ビスピノール導入

ここで、 γ ^μが行列の乗算として作用する任意の4次元複素ベクトル空間Uを導入する。ここではU = C ⁴で十分である。Λ = e ^{ω _μν M μν}をローレンツ変換とし、ローレンツ群のUへの作用を次のように 定義する。

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

(C4)によればσ ^μνはso (3,1)の表現を構成するので、誘導写像

${\displaystyle S:\mathrm {SO} (3,1)^{+}\rightarrow \mathrm {GL} (U);\quad \Lambda \rightarrow e^{i\pi (X)};\quad e^{iX}=\Lambda ,\quad X=\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\in {\mathfrak {so}}(3,1)}$

C5

一般理論によれば、 はSO(3,1) ⁺の表現または射影表現のいずれかである。射影表現となる。Uの元は、 Sによって与えられた変換規則が与えられている場合、ビスピノルまたは単にスピノルと呼ばれる。

ディラック行列の選択

スピン表現Sを得るためには^、ディラック行列γμの集合を選択する必要がある。超相対論的極限に適したそのような選択の一つは、

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\gamma ^{i}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\quad i=1,2,3\\\end{aligned}}.}$ [7]

E1

ここでσ _iはパウリ行列である。クリフォード代数生成子のこの表現では、σ ^μνは

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{i0}&={\frac {i}{2}}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\sigma ^{ij}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{k}&0\\0&\sigma _{k}\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}}.}$ [8]

E23

この表現は、行列がすべてブロック対角行列であるため、明らかに既約ではない。しかし、パウリ行列の既約性により、この表現はそれ以上簡約できない。これは4次元であるため、唯一の可能性は( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,0)⊕(0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )表現、すなわちビスピノル表現である。ここで、リー代数表現のべき乗法を用いてSO(3,1) ⁺の表現を得る。

${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\Lambda _{B}\right)&=e^{i\pi (\chi \cdot \mathbf {K} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{-{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )},\\S\left(\Lambda _{R}\right)&=e^{i\pi (\phi \cdot \mathbf {J} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}},}$

E3

射影的な2値表現が得られる。ここでφは0 ≤ φ ⁱ ≤ 2 πの回転パラメータのベクトルであり、χはブーストパラメータのベクトルである。ここで用いられる慣例を用いると、

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{R}\\\psi _{L}\end{pmatrix}},}$

E4

ビスピノル場の場合である。ここで、上側の成分は右 ワイルスピノルに対応する。この形式論に 空間パリティ反転を含めるために、

${\displaystyle \beta =i\gamma ^{0}={\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},}$ [9]

E5

P = diag(1, −1, −1, −1)の代表として。空間パリティ反転を考慮すると、この表現は既約であることがわかる。

例

X = 2 πM ¹²とすると、X はz軸を中心に2 π回転する。このとき、Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺となるが、e ^{iπ ( X )} = − I ∈ GL( U )となる。ここで、I は単位元を表す。代わりにX = 0を選択した場合でも、Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺となるが、e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL( U )となる。

これはスピン表現の二重値性を示しています。SO (3,1) ⁺の恒等式は、それを表現するリー代数元の選択に応じて、 − I ∈ GL( U )またはI ∈ GL( U )のいずれかに写像されます。前者の場合、角度2 πの回転によってビスピノルが反転し、ビスピノルを自身に戻すには4 π の回転が必要であると推測できます。実際には、 SO(3,1) ⁺の恒等式は、Xの不都合な選択によってGL( U )の− I に写像されます。

すべてのg ∈ SO(3,1) ⁺に対してX を連続的に選択してSが連続表現となるようにすることは不可能である。 SO(3,1)のループに沿ってSを定義し、 X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ t ≤ 1とする。これはSO(3,1)の閉ループ、すなわち指数写像の下でz軸の周りの0 から2 πまでの回転であるが、 GL( U )のループの「半分」にすぎず、 − Iで終わる。さらに、I ∈ SO(3,1)の値はあいまいである。t = 0とt = 2 πではI ∈ SO(3,1)に異なる値が生じるからである。

ディラック代数

ビスピノル上の表現Sは、 End( U )上のSO(3,1) ⁺の表現、つまりU上の線型作用素の集合を誘導する。この空間はクリフォード代数自体に対応するため、U上のすべての線型作用素は後者の要素となる。この表現と、それが既約なSO(3,1) ⁺表現の直和としてどのように分解されるかについては、ディラック代数に関する記事で説明されている。その結果の1つは、 U × U上の双線型形式の分解である。この分解は、任意のビスピノル場をラグランジアン内の他の場と結合してローレンツスカラーを生成する方法を示唆している。

ビスピノルとディラック代数

ディラック行列は、ディラック代数を形成する4 つの 4×4行列のセットであり、スピン方向をローカル参照フレーム(時空のローカル座標フレーム)と絡み合わせるために、また電荷( C 対称性)、パリティ、および時間反転演算子を定義するために使用されます。

コンベンション

物理学の文献では、一般的にシグネチャと表現方法の選択肢がいくつかあります。ディラック行列は通常、 と表記され、 は0から3までの範囲をとります。この表記法では、0は時間、1から3はx、y、zに対応します。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

+ − − − 署名はウェストコーストメトリックと呼ばれることもあり、 − + + +はイーストコーストメトリックと呼ばれます。現在では+ − − −署名の方が一般的に使用されており、この例ではこの署名を使用します。例を切り替えるには、すべての署名に を掛けます。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle i}$

符号を選択​​した後、4×4行列における表現を構築する方法は数多くあり、その多くは一般的に用いられています。この例を可能な限り一般化するため、最終ステップまで表現を指定しません。最終ステップでは、「カイラル」表現、すなわちワイル表現を代入します。

与えられたスピン方向と電荷を持つディラックスピノルの構築

まず、電子または陽電子のスピン方向を選択します。前述のパウリ代数の例と同様に、スピン方向は3次元の単位ベクトル(a, b, c)で定義されます。ペスキンとシュレーダーの慣例に従い、(a, b, c)方向のスピンに対するスピン演算子は、(a, b, c)とベクトルの ドット積として定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}}$

上記は単位根、つまり平方すると 1 になることに注意してください。したがって、そこから、(a, b, c) 方向に向いたスピンを持つディラック代数の部分代数を射影する射影演算子を作成できます。

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\right)}$

ここで、電荷を+1（陽電子）または-1（電子）のどちらかに選択する必要があります。ペスキンとシュローダーの慣例に従うと、電荷の演算子は となります。つまり、この演算子に関して、電子状態は固有値-1をとり、陽電子状態は固有値+1をとります。 ${\displaystyle Q=-\gamma ^{0}}$

は1の平方根でもあることに注意してください。さらに、は と可換です。これらはディラック代数の可換演算子の完全な集合を形成します。例を続けましょう。 ( a , b , c )方向のスピンを持つ電子の表現を探します。電荷 = −1 の射影演算子に変換すると、次のようになります。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)}$

したがって、私たちが求めるスピノルの射影演算子は、私たちが見つけた 2 つの射影演算子の積になります。

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

上記の射影演算子を任意のスピノルに適用すると、求める電子状態に対応するスピノルの部分が得られます。したがって、この演算子を、成分の1つが1で他の成分が0であるスピノルに適用すると、行列の列が得られます。例を続けると、( a , b , c ) = (0, 0, 1) と 置くと、

${\displaystyle P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)}$

そして、我々が望む射影演算子は

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)}$

ワイル表現で使用される4×4ガンマ行列は

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

k = 1, 2, 3で、通常の2×2パウリ行列である。これらをPに代入すると、 ${\displaystyle \sigma ^{i}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

答えは、上記の行列の0以外の列です。2で割るのは単なる正規化です。1列目と3列目は同じ結果になります。

${\displaystyle \left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

より一般的には、スピンが（a、b、c）方向に向いている電子と陽電子の場合、射影演算子は

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

ここで、上の符号は電子、下の符号は陽電子を表します。対応するスピノルは、任意の非ゼロ列として取ることができます。異なる列は同じスピノルの倍数であるため、結果として得られるスピノルのディラック基底における表現は、ビスピノルに関する記事で与えられた規則を用いて得られます。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$

参照

• 物理学ポータル

• ディラックスピノル
• Spin(3,1)、スピン群によるSO(3,1)の二重被覆
• ラリタ・シュウィンガー方程式

注記

1. ハンス・C・オハニアン (1986)「スピンとは何か？」アメリカ物理学会誌54、500ページ。doi : 10.1119/1.14580
2. Caban & Rembieliński 2005、p. 2
3. デイヴィッド・トン『量子場理論講義』（2012年）、講義4
4. Weinberg 2002、式5.4.5
5. Weinberg 2002、式5.4.6
6. Weinberg 2002、式5.4.7
7. Weinberg 2002, 方程式 (5.4.17)
8. Weinberg 2002、式(5.4.19)と式(5.4.20)
9. Weinberg 2002、式(5.4.13)

参考文献

• Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (2005年7月5日). 「ローレンツ共変縮約スピン密度行列とアインシュタイン-ポドルスキー-ローゼン–ボーム相関」. Physical Review A. 72 ( 1) 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Bibcode :2005PhRvA..72a2103C. doi :10.1103/physreva.72.012103. S2CID  119105796.
• ワインバーグ、S（2002）、場の量子論、第1巻、ISBN 0-521-55001-7。