ビテンソル

微分幾何学と一般相対性理論において、バイテンソル（またはバイテンソル^[1]）は、多様体内の2つの点に依存するテンソルオブジェクトであり、1つの点に依存する通常のテンソルとは対照的です。 ^{[2]バイテンソルは、}時空内の異なる点間の関係を記述するためのフレームワークを提供し、曲がった時空におけるさまざまな現象の研究に使用されます。

意味

バイテンソルは、通常のテンソルが1点に依存するのに対し、多様体内の2点に依存するテンソルオブジェクトです。^[3] バイテンソル体は、 積多様体から適切なベクトル空間への写像として正式に定義できます。ここで、は滑らかな多様体であり、は検討しているテンソル空間に対応するベクトル空間です。^{[3] [2]}${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B:M\times M\to V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$

ファイバー束の言語では、型 のバイテンソルは外テンソル積束の切断として定義され、 は階数のテンソル束を表し、は外テンソル積 を表し、 は切断空間を表す。^[3]${\displaystyle (r,s,r',s')}$ ${\displaystyle T_{s}^{r}M\boxtimes T_{s'}^{r'}M}$ ${\displaystyle T_{s}^{r}M}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle \boxtimes}$ ${\displaystyle B\in \Gamma (T_{s}^{r}M\boxtimes T_{s'}^{r'}M)}$ ${\displaystyle \Gamma}$

外テンソル積束は、積多様体の各因子に射影する射影演算子として構築され、各束の引き戻しを表す。 ^[3]${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}\boxtimes {\mathcal {V}}_{2}=\mathrm {pr} _{1}^{*}{\mathcal {V}}_{1}\otimes \mathrm {pr} _{2}^{*}{\mathcal {V}}_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}^{*}}$

座標表記において、成分を持つバイテンソルは、多様体中の2つの異なる点とに関連付けられた添え字を持つ。慣例的に、プライムなしの添え字（ 、 など）は最初の点を指し、プライム付き添え字（、など）は2番目の点を指す。バイテンソルの最も単純な例は、2点のスカラー関数であるバイスカラー場である。その応用としては、平行輸送、熱核、そして曲がった時空における量子場の理論で用いられる様々なグリーン関数などが挙げられる。 ^{[3] [2]}${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{\alpha \beta '\ldots }^{\mu \nu '\ldots }(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \nu '}$ ${\displaystyle \beta '}$

歴史

バイテンソルの概念は、数学者ハロルド・スタンレー・ルースが1931年に『 Quarterly Journal of Mathematics』誌に発表した論文「絶対偏微分計算」において初めて正式に提唱されました。ルースは、初等微分積分学における偏微分との類似性を示しながら、テンソル計算を2変数関数に一般化したものとしてバイテンソルを導入しました。彼はバイテンソル変換、共変微分、そしてスカラー接続の形式論を発展させ、「絶対偏微分計算」と名付けた理論の基礎を築きました。^{[4] [5]}

参照

• 平行輸送
• 引き戻し
• プロパゲーター
• リーマン曲率テンソル
• ストークスフロー
• シングの世界関数

参考文献

1. Gökler, Can (2021-02-18). 「推定理論と重力」. arXiv : 2003.02221 [quant-ph].
2. Allen, Bruce; Jacobson, Theodore (1986). 「最大対称空間におけるベクトル2点関数」. Communications in Mathematical Physics . 103 (4). Springer-Verlag : 669–692 . Bibcode :1986CMaPh.103..669A. doi :10.1007/BF01211169.
3. 「Bitensors」 . 2025年3月22日閲覧。
4. ルース, ハロルド (1931). 「絶対偏微分計算」.数学季刊誌. os-2 (1): 190– 202. doi :10.1093/qmath/os-2.1.190.
5. Procopio, Giuseppe; Giona, Massimiliano (2022). 「ストークス流れに対する特異点法のバイテンソル定式化」. Mathematics in Engineering . 5 (2): 1– 34. doi :10.3934/mine.2023046. hdl : 11573/1651830 .